cross

Meetkundige berekeningen

Meetkundeproblemen
Havo 5 wiskunde B
1 / 45
volgende
Slide 1: Tekstslide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 5

In deze les zitten 45 slides, met interactieve quizzen, tekstslides en 2 videos.

time-iconLesduur is: 121 min

Onderdelen in deze les

Meetkundeproblemen
Havo 5 wiskunde B

Slide 1 - Tekstslide

SOSCASTOA
  •                                                           o = overstaande rechthoekszijde

  •                                                           a = aanliggende rechthoekszijde

  •                                                           s = schuine zijde
sin(α)=so
cos(α)=sa
tan(α)=ao

Slide 2 - Tekstslide

cosinusregel


2 zijden + ingesloten hoek gegeven -> zijde tegenover hoek gevraagd
3 zijden gegeven -> hoek gevraagd
a2=b2+c22bccos(α)
b2=a2+c22accos(β)
c2=a2+b22abcos(γ)

Slide 3 - Tekstslide

Sinusregel:




zijde +overstaande hoek moet gegeven/te berekenen zijn!
vb : bereken a, zie het figuur hiernaast

sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c
γ=180°48°76°=56°
sin(48°)a=sin(56°)12
a=sin(56°)12sin(48°)10,8

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Video

Slide 6 - Video

Bereken BC
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Slide 7 - Open vraag

Antwoord met uitwerking
In driehoek ACD cosinusregel om AC te berekenen


In driehoek ACD hoek CAD berekenen met de sinusregel


In driehoek ABC cosinusregel om BC te berekenen

AC2=42+62246cos(130°)
AC9,10....
sin(130°)9,10...=CAD6
CAD30,3...dusBAC7030,3...39,67....
BC2=9,102+10229,1010cos(39,67)
BC6,54

Slide 8 - Tekstslide

Gelijkvormige driehoeken
  •  2 hoeken gelijk in 2 driehoeken? -> driehoeken zijn                      gelijkvormig
  •  denk aan Z-hoeken (zandloperfiguur), F-hoeken                            (snavelfiguur) en overstaande hoeken
  • met behulp van een verhoudingstabel kun je de                             ontbrekende zijde berekenen (gebruik eventueel een variabele)

Slide 9 - Tekstslide

Gegeven het figuur hiernaast.
Bereken AE.

Slide 10 - Open vraag

Uitwerking

Slide 11 - Tekstslide

Bereken DS in 2 decimalen nauwkeurig.

Slide 12 - Open vraag

Slide 13 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekige driehoeken
  •  De zijden van een gelijkbenige
rechthoekige driehoek verhouden
zich als 1:1:

  •  De zijden van een driehoek met
hoeken van
verhouden zich als 1:2:
2
°
30°en60°
3

Slide 14 - Tekstslide

Vergelijkingen en bijzondere rechthoekige driehoeken
Zie som op de volgende pagina voor een voorbeeld

Slide 15 - Tekstslide

Gegeven is de vierhoek ABCD met :


De oppervlakte van de vierhoek is
Bereken exact de lengte van BD en AB.

A=60°enC=45°
ADB=CBD=90°
721

Slide 16 - Open vraag

Slide 17 - Tekstslide

vergelijkingen en Pythagoras

Slide 18 - Tekstslide

Onderlinge ligging van lijnen

Slide 19 - Tekstslide

Afstand tussen 2 punten
Gegeven A(xA,yA) en B(xB, yB)
  • Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d:distance) tussen A en B:

d(A,B)=(yByA)2+(xBxA)2

Slide 20 - Tekstslide

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.


Slide 21 - Open vraag

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 
(42)2+(51)24,47

Slide 22 - Tekstslide

Afstand punt-lijn d(A,k)
  •  Stel de vergelijking op van de lijn l door A loodrecht op k
   -> als de vergelijking in de vorm y=ax+b staat
        dus a
   en anders k: ax+by=c ->l: bx-ay=d
   A invullen om de ontbrekende waarde te berekenen (b/d)
  • Bereken de coordinaten van het snijpunt B van k en l.
  • Gebruik d(A,k)=d(A,B) om d(A,k) te berekenen.

rclrck=1
rcl=rck1

Slide 23 - Tekstslide

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Slide 24 - Open vraag

Antwoord + uitwerking
  • vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 
       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26
  • snijpunt S van lijn l en lijn f:
       3x-7y=4
       7x+3y=26
       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83
  • d(A,f) =d (A,S) = 




72+34=26
(1,834)2+(2,932)22,36

Slide 25 - Tekstslide

Hoek tussen 2 krommen
  • Stel een vergelijking op van de raaklijnen l en k aan de           krommen in het snijpunt 


  • gevraagde hoek:
       of
tan(β)=rck
ϕ=αβ
ϕ=180°(αβ)
tan(α)=rcl

Slide 26 - Tekstslide

vraag 8 blz 195

Slide 27 - Open vraag

Zijdexhoogte-methode
Voor driehoeken geldt:
ene zijde x bijbehorende hoogte= andere zijde x bijbehorende hoogte

Vaak te gebruiken als je een rechte hoek ziet ergens in het figuur.

Slide 28 - Tekstslide

Gegeven vierkant ABCD hiernaast.
Bereken CF.
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Slide 29 - Open vraag

Antwoord met uitwerking
  • Teken EC en teken EG loodrecht op BC met G op BC.

  • De zijde x hoogte-methode in driehoek BCE geeft


BE=62+42=52
BECF=BCEG
52CF=66
CF=52364,99

Slide 30 - Tekstslide

Cirkelvergelijking herschrijven
Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

  • Herschrijven tot:



Zodat je weet: M(2,4) en straal r =
x24x+y28y+10=0
(x2)24+(y4)216+10=0
(x2)2+(y4)2=10
10

Slide 31 - Tekstslide

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?
  • Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
  • bereken d(A,M)
  • vergelijk d(A,M) met de straal
         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel
         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel
         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Slide 32 - Tekstslide

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?
x2+y22x+6y=26
A
buiten
B
binnen
C
op

Slide 33 - Quizvraag

Uitwerking



      dus M(1,-3) en straal=6
  •     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

  •  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
x2+y22x+6y=26
(x1)21+(y+3)29=26
(x1)2+(y+3)2=36
(23)2+(61)2507,07

Slide 34 - Tekstslide

Cirkels en raaklijnen
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Slide 35 - Tekstslide

Raaklijnprobleem 1
Stel vgl op van c met M(xM, yM) die lijn k raakt
  • Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

  • stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
  • bereken snijpunt m en k (S)
  • r =d(M,k) = d(M,S)
(xxm)2+(yym)2=r2

Slide 36 - Tekstslide

Raaklijnprobleem 2
Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B
  • Bereken rc van de lijn k door M en B
      rck=

  •  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt
       bereken hiermee rcl=a
  • Bereken b door B in te vullen.
(xBxM)(yByM)
rclrck=1

Slide 37 - Tekstslide

Raaklijnprobleem 3
Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.
- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie
- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 
waarvan je discriminant D kunt berekenen
- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b
ax2+bx+c=0
D=b24ac

Slide 38 - Tekstslide



De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.
c1x2+y2=16
c2x210x+y2+16=0

Slide 39 - Open vraag

Uitwerking
  • De straal r1 van c1 is 4


       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3
  • In OAM geldt
  • Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden

x210x+y2+16=0
(x5)225+y2+16=0
(x5)2+y2=9
OA2+AM2=OM2want42+32=52

Slide 40 - Tekstslide

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

y=1216x+356

Slide 41 - Open vraag

Uitwerking
  • k gaat door M en staat loodrecht op l dus
       k:y=ax+b
       a=

      M invullen om b te berekenen:  geeft b =
       k:
  •  k snijden met l geeft x =              en y=
  • dus P(       ,              )
rkrcl=1
rck=1261=61266=26
106
y=26x106
553
1516
553
1516

Slide 42 - Tekstslide

Cirkels en afstanden
  • Afstand punt A tot cirkel c met M en r
        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r
  •  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  
        middelpunt N
        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Slide 43 - Tekstslide

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Slide 44 - Open vraag

Uitwerking

Slide 45 - Tekstslide