1 / 27
Lesduur is: 50 minIntroductie
Maak van je leerlingen echte wiskundige probleemoplossers door ze met differentiëren en de strategie van Pólya de ideale kabelroute voor het Quantum Internet te laten ontwerpen. Een uitdagende en motiverende les die abstracte wiskunde direct relevant maakt!
Instructies
Voorkennis van leerlingen
Leerlingen moeten bekend zijn met de stelling van Pythagoras en kwadratische en wortelfuncties kunnen differentiëren (inclusief de kettingregel).
Voorbereiding van de docent
- Neem de les een keer door.
- Download en print het werkblad. En download en print eventueel de uitwerkingen.
- Zorg dat elke leerling een laptop en een grafische rekenmachine heeft.
- Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen.
Leerdoelen/vaardigheden
- De leerling kan de fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.
- De leerling kan een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.
- De leerling kan met behulp van de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.
Aansluiting curriculum
Deze les sluit specifiek aan op het examenprogramma Wiskunde B voor het vwo (bovenbouw), met name in de volgende domeinen:
Domein A (Vaardigheden):
- Subdomein A7 (Modelleren): De leerling vertaalt een technisch probleem (kabelroute) naar een wiskundig model en analyseert de resultaten.
Domein B (Formules, functies en grafieken):
- Subdomein B1 (Formules en functies): Manipuleren van formules om kosten en afstanden uit te drukken.
- Subdomein B2 (Standaardfuncties): Werken met wortelfuncties die voortkomen uit de Stelling van Pythagoras.
Domein C (Differentiaal- en integraalrekening):
- Subdomein C1 (Afgeleide functies): Gebruik van de afgeleide om eigenschappen van de functie (het minimum) te vinden.
- Subdomein C2 (Technieken voor differentiëren): Toepassen van de kettingregel bij samengestelde wortelfuncties.
Domein E (Meetkunde met coördinaten):
- Subdomein E1 (Meetkundige vaardigheden) & E2 (Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde): Vertalen van een meetkundige situatie naar algebraïsche formules.
- Subdomein E4 (Toepassingen): Optimaliseren van een route in een meetkundige context.
Feedback
De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!
Werkbladen
Onderdelen in deze les
Slide 1 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 2 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 3 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 4 - Video
Tekst
In deze les ga je aan de slag met het oplossen van wiskundige problemen. Die zijn vaak lastig en misschien lukt het je ook niet ze in één keer op te lossen. Aan de hand van drie problemen ga je werken aan je wiskundige problem solving vaardigheden. Je leert daarbij de strategie van een bekend wiskundige (George Pólya) toe te passen.
Super handig als je weer eens een moeilijke opgave tegenkomt bij een toets!
De problemen waarmee we aan de slag gaan, gaan over het Quantum Internet. Maar wat is dat eigenlijk?
Voor de docent
Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen. Je kunt de laatste opdracht overslaan of als huiswerk meegeven.
Slide 5 - Tekstslide
Instructie
Vertel kort over de context. Het gaat niet om 'een sommetje uit het boek', maar om echte ontwerpkeuzes die ingenieurs maken over waar kabels moeten liggen.
Slide 6 - Tekstslide
Tekst
Slide 7 - Tekstslide
Tekst
Ingenieurs moeten voortdurend afwegingen maken tussen kosten, afstand en terreinomstandigheden.
Om complexe problemen zoals deze aan te pakken, gebruiken we de wereldberoemde strategie van de wiskundige George Pólya.
In zijn boek How to Solve It (1945) beschrijft hij vier essentiële stappen voor het oplossen van elk wiskundig probleem:
1. Begrijp het probleem: Wat is het onbekende? Wat zijn de gegevens? Maak een schets en introduceer geschikte notaties (zoals x of L(x)).
2. Maak een plan: Zoek naar een verband tussen de gegevens en het onbekende. Heb je een soortgelijk probleem eerder gezien? Kun je het probleem in delen opsplitsen?
3. Voer het plan uit: Voer de berekeningen nauwkeurig uit. Controleer elke stap.
4. Kijk terug en reflecteer: Klopt je uitkomst? Is het antwoord logisch in de context? Kun je het resultaat op een andere (slimmere) manier afleiden?
Slide 8 - Tekstslide
Instructie
Stel de formule L(x) op.
Leerlingen werken in stilte of in duo's. Loop rond en help bij het opstellen van de wortelfuncties (Pythagoras). Differentieer de functie en vindt het minimum.
Of, gebruik de spiegeltruc.
Slide 9 - Tekstslide
Terugkijken
Kan dit anders of zelfs slimmer? Ja! De spiegeltruc.
Als de kosten voor de aanleg overal gelijk zijn, werkt het als lichtbreking van een spiegel.
Trek een lijn van A' naar B. Het snijpunt van deze lijn met de x-as vormt de oplossing. Je hebt dan geen afgeleide nodig!
Slide 10 - Tekstslide
Uitwerking met behulp van differentiëren.
Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden.
Slide 11 - Tekstslide
Uitwerking met behulp van meetkunde.
Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden.
Slide 12 - Tekstslide
Tekst
Je gaat nu met een vergelijkbare casus aan de slag, maar het probleem is iets lastiger doordat de kosten voor de aanleg van de verbinding niet overal gelijk zijn.
Slide 13 - Tekstslide
Tekst
Je krijgt de volgende gegevens.
Opdracht
Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.
Instructie
Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.
Slide 14 - Tekstslide
Bespreek de antwoorden en oplosstrategieën. Benadruk dat wiskunde B hier de tool is die je nodig hebt als meetkunde tekortschiet.
De spiegeltruc toepassen kan hier niet.
Slide 15 - Tekstslide
Uitwerking met behulp van differentiëren.
Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden.
Slide 16 - Tekstslide
Instructie
Laat de leerlingen zelfstandig de strategie van Pólya toepassen om het derde probleem op te lossen.
Leerlingen hebben hier een grafische rekenmachine voor nodig.
Slide 17 - Tekstslide
Tekst
Je krijgt de volgende gegevens.
Opdracht
Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.
Instructie
Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.
Slide 18 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 19 - Tekstslide
Uitwerking met behulp van differentiëren.
Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden.
Slide 20 - Tekstslide
Uitwerking met behulp van de Wet van Snellius.
Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden.
Vraag
Stel je krijgt op je volgende toets een compleet nieuw, ingewikkeld probleem. Wat doe je?
Ik duik direct in de formules en begin met rekenen.
Ik neem eerst de tijd om het te schetsen en te begrijpen, ook al kost dat tijd.
Ik zoek meteen naar een vergelijkbaar of simpeler probleem om het op te lossen.
Slide 21 - Poll
Instructie
Gebruik deze vraag om te peilen of leerlingen de kern van de les (eerst denken, dan doen) hebben begrepen.
Je kunt na de stemming direct bespreken waarom 'A' vaak fout gaat en waarom 'B' en 'C' de kenmerken zijn van een goede ingenieur (en een goede wiskunde B-leerling).
Slide 22 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 23 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 24 - Tekstslide
Link naar vragenlijst voor leerlingen:
ut.onl/leerling4tu
Slide 25 - Tekstslide
Link naar vragenlijst voor docenten:
ut.onl/docent4tu
Slide 26 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies
Slide 27 - Tekstslide
Deze slide heeft geen instructies