Hoofdstuk 4

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Hanne kan kiezen uit 6 verschillende kleuren rokjes en 5 soorten panty's óf ze kan kiezen uit 4 verschillende broeken en 7 soorten sokken. Uit hoeveel mogelijke outfits kan ze kiezen?

Tellen met herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters 

de vijf klinkers (A,E,I,O en U)  worden niet gebruikt. Als voor letters en cijfers herhaling is toegestaan zijn de mogelijke combinaties: 

C C - L L - L L=  

 

10 x 10  x  21 x 21  x  21 x 21 =19 448 100

dus er zijn 12 927 600 combinaties mogelijk

Alfabet: 26 letters - 5 klinkers = 21 letters

Tellen zonder herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers (A,E,I,O en U)  worden niet gebruikt. Als letters en cijfers maar 1 keer gebruikt mogen worden zijn de mogelijke combinaties:

C C - L L - L L= 

10 x 9  x  21 x 20  x  19 x 18 =12 927 600

dus er zijn 12 927 600 combinaties mogelijk

Alfabet: 26 letters - 5 klinkers = 21 letters

Bij een bedrijf krijgt elk artikel een code. Men gebruikt hiervoor de letters a, b, c, d, e, f en g. Een voorbeeld van een drie-lettercode is d b b en een voorbeeld van een vier-lettercode is c a f d

a. Hoeveel 3- lettercodes zijn mogelijk als herhaling is toegestaan?

Bij een bedrijf krijgt elk artikel een code. Men gebruikt hiervoor de letters a, b, c, d, e, f en g. Een voorbeeld van een drie-lettercode is d b b en een voorbeeld van een vier-lettercode is c a f d

b. Hoeveel 4-lettercodes zijn mogelijk als herhalingen niet zijn toegestaan?

Bij een bedrijf krijgt elk artikel een code. Men gebruikt hiervoor de letters a, b, c, d, e, f en g.

c. Het bedrijf gebruik per artikel een 2-lettercode waarbij herhalingen niet zijn toegestaan of een 3-lettercode waarbij herhalingen wel zijn toegestaan. Hoeveel codes zijn mogelijk?

jh

Permutaties: De volgorde is wel van belang. bv kiezen van mensen in de gemeenteraad.

combinaties: De volgorde is niet van belang. Bv kiezen van een schoonmaakploeg, iedereen heeft dezelfde taak.

In een klas van 24 personen wordt door loting een groep van 4 personen samengesteld. Deze vier personen krijgen elk een andere taak.
Op hoeveel manieren kan dit als er per taak wordt geloot?

In een klas van 24 personen wordt door loting een groep van 4 personen samengesteld. Deze vier personen krijgen elk een andere taak.
Op hoeveel manieren kan dit als deze vier personen pas na de loting hun taken onderling verdelen?

9. Er staan 7 boeken in de kast: K, L, M, N, O, P en Q. In de kerstvakantie lees ik één van deze boeken, daarna nog één en daarna nog één (nooit twee keer dezelfde natuurlijk). Bijvoorbeeld: eerst P, dan K, dan M. Hoeveel van zulke mogelijkheden zijn er?​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

 ​

“Eerst P, dan K, dan M” en​

“Eerst M, dan K, dan P”?​

 ​

Ja, dat zijn twee verschillende mogelijkheden. Dus je gebruikt hier permutaties, dus 7 nPr 3 ​

12. Een muziekband heeft een repertoire van 10 liedjes. Voor een optreden mogen ze drie liedjes uitkiezen. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die keuze?​

De volgorde is niet van belang: Liedje A, B en C uitkiezen, is hetzelfde als liedje C, A en B uitkiezen. ​

Dus 10 nCr 3=120. Nota bene: als gevraagd wordt naar hoeveel mogelijkheden er voor het optreden zijn, dan kun je nog onderscheid maken tussen “eerst C spelen, dan A, dan B” en “Eerst A, dan B, dan C” of “Eerst B, dan C, dan A” enzovoorts. ​

In dat geval is het dus 10 nPr 3=720.​

10. In een kamer hangen 5 TL-buizen. Twee hiervan branden. Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

Noem de lampen bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4 en 5. Twee branden er, bijvoorbeeld 3 en 5.​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

“TL-buizen 3 en 5 branden” en​

“TL-buizen 5 en 3 branden”?​

 Nee, dat komt op hetzelfde neer. Dus je gebruikt hier combinaties, dus 5 nCr 2 .​(=10)

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes? 

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Dus er zijn 840 mogelijke combinaties

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

(​0​6​​)⋅(​1​6​​)⋅(​2​6​​)⋅(​3​6​​)⋅(​4​6​​)⋅(​5​6​​)⋅(​6​6​​)=64

Op de GR 6nCr0+6nCr1+6nCr2+6nCr3+6nCr4+6nCr5+6nCr6

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6 B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

Dit kan ook makkelijker: 

op de eerste plek staat een A of een B, 2 mogelijkheden dus. 

Dat is bij 6 plekken zo dus 

2​6​​=64

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C via B te komen zonder omwegen? 

Van A naar B zijn 6 stappen, waarvan 2 omhoog EN van B naar C zijn 7 stappen waarvan 3 omhoog dus: 

(​2​6​​)

(​4​6​​)⋅(​4​7​​)

Hier kan dus ook:

(​3​7​​)

⋅

=525

Er zijn dus 525 mogelijkheden

Van een klas van 30 leerlingen wil ik groepjes maken van 5 leerlingen. Hoeveel mogelijkheden heb ik?

in deze opgave gaat het oml