Kwadratische verbanden

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

Kwadratische verbanden

Na deze les kan je...

...een parabool tekenen,

 ...de top van een parabool berekenen 

...kwadratische vergelijkingen oplossen

...tweetermen oplossen

...drietermen oplossen

Een parabool

Een parabool heeft een kwadratische formule: 

als a>0 dalparabool

als a<0 bergparabool

Een parabool is altijd symmetrisch

 

y=ax​2​​+bx+c

De top van een parabool

Je kan de x-coördinaat  van een parabool berekenen met de formule:

de y-coördinaat van de top bereken je door de             in de formule in te vullen

 

 

x​top​​=−​2a​​b​​

y​top​​=a⋅(x​top​​)​2​​+b⋅x​top​​+c

x​top​​

1. a, b en c opschrijven
   
   
2.           uitrekenen 
   
   
3.           uitrekenen
   
   
4. coördinaten opschrijven

1. a=1, b=-6, c=5
   
   
2.  
   
   
3.  
   
   
4. top: (3,-4)

Stappenplan top berekenen

x​top​​

y​top​​

y=x​2​​−6x+5

y​top​​=3​2​​−6⋅3+5=−4

x​top​​=​2a​​−b​​=​2⋅1​​−−6​​=3

1. a, b en c opschrijven
   
2.           uitrekenen 
   
3.           uitrekenen
   
4. coördinaten opschrijven
5. tabel maken met 7 punten (de top in het midden)
6. grafiek tekenen

1. a=1, b=-6, c=5
   
2.  
   
3.  
   
4. top: (3,-4)

Stappenplan parabool tekenen

x​top​​

y​top​​

y=x​2​​−6x+5

y​top​​=3​2​​−6⋅3+5=−4

x​top​​=​2a​​−b​​=​2⋅1​​−−6​​=3

Weet je nog? Haakjes wegwerken

  

4(x+5)=4x+20

4(x−5)=4x−20

−4(x−5)=−4x+20

4⋅x+4⋅5

4⋅x+4⋅−5

−4⋅x−4⋅−5

Dat kan ook andersom: ontbinden in factoren 

  

3w​2​​+6w=3w(w+2)

2x+6=2(x+3)

2 is de gemeenschappelijke factor, beide kanten kan je door 2 delen

3w is de gemeenschappelijke factor, beide kanten kan je door 3w delen

Ontbind in factoren:

3ab+9b

Ontbind in factoren:

4x​2​​−16x

Ontbind in factoren:

20x−4yz

x

x

4

6

Sleep de oppervlakte naar het goede vlak

24

4x

6x

x²

Weet je nog? Dubbele haakjes wegwerken

De oppervlakte van deze driehoek is:

(x+2)(x+3)

x​2​​+2x+3x+6

x

x

2

3

x​2​​+5x+6

x²

3x

2x

6

Dubbele haakjes herleiden

  

x​2​​−5x+3x−15

(x+3)(x−5)

x​2​​−2x−15

x⋅x+x⋅−5+3⋅x+3⋅−5

vereenvoudigen -5x+3x=-2x

Dat kan ook andersom:

De oppervlakte van deze vierhoek is:

hoe lang zijn de zijden?               

(x+2)(x+7)

  ??

x

x

?

?

x​2​​+9x+14

Zoek 2 getalen die bij elkaar opgeteld 9 zijn 

en keer elkaar 14 

x⋅x+7x+2x+7⋅2=x​2​​+9x+14

controle

x2

?x

?x

 Product-som-methode

de som van 3 en 5 is  8 (3+5=8)

het product van 3 en 5 is 15 (3x5=15)

  

(x+3)(x+5)

x​2​​+8x+15

 Product-som-methode

de som van -2 en 8 is  6 (-2+8=6)

het product van -2 en 8 is -16 (-2x8=-16)

  

(x−2)(x+8)

x​2​​+6x−16

Ontbind in factoren:

x​2​​+5x+6

Ontbind in factoren:

x​2​​−13x+42

Ontbind in factoren:

x​2​​−2x−80

Ontbinden in factoren en oplossen

  

x(x+6)=0

x​2​​+6x=0

x=0∨x=−6

x=0∨x+6=0

(−6)​2​​+6⋅−6=0

0​2​​+6⋅0=0

controleren

klopt

Als de uitkomst van een keersom nul is, 

is één van de twee producten nul

Eerst naar 0 herleiden, dan oplossen

  

5x​2​​−25x=0

5x​2​​=25x

5x=0∨x−5=0

5x(x−5)=0

x=0∨x=5

5⋅0​2​​=25⋅0∨5⋅5​2​​=25⋅5

controle

Drietermen oplossen

  

(x−2)(x+8)=0

x​2​​+6x−16=0

x=2∨x=−8

x−2=0∨x+8=0

2​2​​+6⋅2−16=0∨(−8)​2​​+6⋅−8−16=0

controle

Drietermen oplossen

  

−2x​2​​+10x−8=0

10x−8=2x​2​​

x​2​​−5x+4=0

x=4∨x=1

:−2

(x−4)(x−1)=0

x−4=0∨x−1=0

10⋅4−8=2⋅4​2​​∨10⋅1−8=2⋅1​2​​

controle

Los op:

x​2​​−2x−80=0

Los op:

4x​2​​−16x=0

Los op:

x​2​​+5x+6=0

Los op:

x​2​​−13x+42=0

Drietermen oplossen

Belangrijk:

• zet de formule in de juiste volgorde
• op '0' herleiden

  

In deze les hebben we behandeld...

...het tekenen van een parabool,

 ...het berekenen van de top van een parabool, 

...het oplossen van kwadratische vergelijkingen,

...het oplossen van tweetermen,

...het oplossen van drietermen.

Wat heb je in deze les geleerd ?

Wat vind je nog moeilijk aan dit onderwerp?