Kwadratische formules

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

Kwadratische verbanden

Na deze les kan je...

...eigenschappen en vormen van een parabool herkennen,

 ...de coördinaten van de top van een parabool op meerdere manieren berekenen 

...een parabool tekenen

Weet je nog? Haakjes wegwerken

  

4(x+5)=4x+20

4(x−5)=4x−20

−4(x−5)=−4x+20

Weet je nog? Ontbinden in factoren 

  

3w​2​​+6w=3w(w+2)

2x+6=2(x+3)

Weet je nog? Dubbele haakjes wegwerken

  

x​2​​−5x+3x−15

(x+3)(x−5)

x​2​​−2x−15

Weet je nog? som-product methode

de som van 4 en 5 is 9 (4+5=9)

het product van 4 en 5 is 20 (4x5=20)

  

(x+4)(x+5)

x​2​​+9x+20

Weet je nog? som-product methode

de som van -2 en 8 is  6 (-2+8=6)

het product van -2 en 8 is -16 (-2x8=-16)

  

(x−2)(x+8)

x​2​​+6x−16

Typ zonder haakjes en zo kort mogelijk:
y=5(x-5)

Typ zonder haakjes en zo kort mogelijk:
y=6(2x+1)-12x

Typ zonder haakjes en zo kort mogelijk:
y=(x+4)(x+3)

Typ zonder haakjes en zo kort mogelijk:
y=(4-4x)(x-5)

Weet je nog? 

           

  

x​2​​=9

x​2​​=−9

x=3⋁x=−3

heeft geen oplossing (g.o.)

Weet je nog?

  

51+x​2​​=100

x​2​​=100−51=49

x=7⋁x=−7

Weet je nog? tweetermen oplossen

  

x(x+6)=0

x​2​​+6x=0

x=0⋁x=−6

x=0⋁x+6=0

Weet je nog? tweetermen oplossen

  

7b(b−3)=0

7b​2​​−21b=0

7b=0⋁b−3=0

b=0⋁b=3

Weet je nog? eerst naar 0 herleiden, dan oplossen

  

5x​2​​−25x=0

5x​2​​=25x

5x=0⋁x−5=0

5x(x−5)=0

x=0⋁x=5

Weet je nog? drietermen oplossen

  

(x−2)(x+8)=0

x​2​​+6x−16=0

x=2⋁x=−8

x−2=0⋁x+8=0

Weet je nog? drietermen oplossen

  

−2x​2​​+10x−8=0

10x−8=2x​2​​

x​2​​−5x+4=0

x=4⋁x=1

(x−4)(x−1)=0

x−4=0⋁x−1=0

:-2

eerst zorgen dat a=1

Belangrijk:

• zet de formule in de juiste volgorde
• op '0' herleiden
  
• a = 1

  

Een parabool

De grafiek bij een kwadratische formule is een parabool: 

als a>0 dalparabool

als a<0 bergparabool

Een parabool is altijd symmetrisch, de top ligt op de symmetrieas

 

y=ax​2​​+bx+c

Top van de parabool

Er zijn een aantal manieren om de top 

van een parabool te berekenen:

• snijpunten met de x-as berekenen
• snijpunt met de y-as berekenen
• berekenen van de symmetrieas

Top berekenen (snijpunten x-as)

Als er snijpunten met de x-as zijn, ligt de x coördinaat in het midden, op de symmetrieas. 

op de x-as is de y coördinaat 0

Top berekenen (snijpunten x-as)

y=0 dus formule op 0 stellen

x​2​​+4x−5=0

(x−1)(x+5)=0

(x−1)=0⋁(x+5)=0

met de som product methode ontbinden

x=1⋁x=−5

de symmetrieas ligt dus tussen x=1 en x=-5

symmetrieas:​2​​−5+1​​=−2

(−2)​2​​+4⋅−2−5=−9

x=-2 invullen in de formule om de y-coördinaat te vinden

Top(-2,-9)

y=x​2​​+4x−5

bereken de top: 

Top berekenen (snijpunten x-as)

bereken de top: 

y=x​2​​+12x+20

Top berekenen (snijpunten x-as)

bereken de top: 

y=x​2​​+12x+20

x​2​​+12x+20=0

(x+10)(x+2)=0

x+10=0⋁x+2=0

x=−10⋁x=−2

symmetrieas:​2​​−10+−2​​=−6

(−6)​2​​+12⋅−6+20=−16

Top(−6,−16)

Top berekenen (snijpunt y-as)

Als je de snijpunten met de x-as (dus y=0) niet kan berekenen, bereken je het snijpunt met de y-as (dus x=0).

Daarna bereken je waar het punt op de parabool is met 

dezelfde y-coördinaat.

De symmetrieas ligt midden tussen deze punten.

Top berekenen (snijpunt y-as)

y=x​2​​−7x+3

kan niet ontbonden worden dus x=0 invullen

0​2​​−7⋅0+3=3

x​2​​−7x+3=3

welke andere x coördinaat hoort bij y=3

x​2​​−7x=0

x(x−7)=0

x=0⋁x−7=0

x=0⋁x=7

symmetrieas:​2​​0+7​​=3,5

de x coördinaat van de top is 3,5

3,5​2​​−7⋅3,5+3=−9,25

x=3,5 invullen om de y-coördinaat te berekenen

Top(3,5;−9,25)

Top berekenen (snijpunt y-as)

y=0,5x​2​​+8−2

Bereken de top: 

Top berekenen (snijpunt y-as)

y=0,5x​2​​+8−2

0,5⋅(−8)​2​​+8⋅−8+2=−34

Top(−8,−34)

Bereken de top: 

0,5⋅0​2​​+8⋅0−2=−2

0,5x​2​​+8x−2=−2

0,5x(x+16)=0

x=0⋁x=−16

symmetrieas:​2​​0+−16​​=−8

De top berekenen (symmetrieas)

De standaard formule voor een parabool is:

Je kan de x-coördinaat  van een parabool berekenen met de formule:

de y-coördinaat van de top bereken je door de             in de formule in te vullen

 

 

x​top​​=−​2a​​b​​

y​top​​=a⋅(x​top​​)​2​​+b⋅x​top​​+c

x​top​​

y=ax​2​​+bx+c

1. a, b en c opschrijven
   
   
2.           uitrekenen 
   
   
3.           uitrekenen
   
   
4. coördinaten opschrijven

1. a=1, b=-6, c=5
   
   
2.  
   
   
3.  
   
   
4. top: (3,-4)

Stappenplan top berekenen met symmetrieas

x​top​​

y​top​​

y=x​2​​−6x+5

y​top​​=3​2​​−6⋅3+5=−4

x​top​​=​2a​​−b​​=​2⋅1​​−−6​​=3

1. top uitrekenen
2.           uitrekenen
   
3. coördinaten opschrijven
4. tabel maken met 7 punten (de top in het midden)
5. grafiek tekenen

1. a=1, b=-6, c=5
   
2.  
   
3.  
   
4. top: (3,-4)

Stappenplan parabool tekenen

x​top​​

y​top​​

y=x​2​​−6x+5

y​top​​=3​2​​−6⋅3+5=−4

x​top​​=​2a​​−b​​=​2⋅1​​−−6​​=3

Parabool tekenen

1. Bereken de coördinaten van de top
2. Maak een tabel met 7 punten met de top in het midden
   (maak voor het invullen gebruik van symmetrie) 
3. Maak een assenstelsel met een goede verdeling op de assen 
4. Teken de punten in het assenstelsel en maak een vloeiende parabool

let op: bij het assenstelsel horen ook de bijschriften

als ze er zijn, neem ook de snijpunten met de assen mee in de tabel

Vormen van een parabool

Standaardformule: 

a>0 dalparabool 

hoe groter a is, hoe steiler de grafiek 

a<0 bergparabool

hoe kleiner a is, hoe steiler de grafiek 

 

y=ax​2​​+bx+c

Dus bij a=6 is de grafiek steiler en smaller dan bij a=2

en bij a=-6 is de grafiek steiler en smaller dan bij a=-2

Vormen van een parabool

Standaardformule: 

b geeft de verschuiving over de x richting aan, 

bij b=0 ligt de top op de y-as

c geeft de hoogte van de top aan, 

c= het snijpunt met de y-as

 

y=ax​2​​+bx+c

Wat heb je in deze les geleerd ?

Wat vind je nog moeilijk aan dit onderwerp?