Wetenschappelijke notatie, afronden, machten en significantie

• New lesson editor
• Scheikunde
• Middelbare school
• mavo, havo, vwo
• Leerjaar 3-6

- werken met afronden & machten

- significantie regels bij optellen & aftrekken

- significantie regels bij vermenigvuldigen & delen

- verschil tussen meetwaarden & telwaarden

- werken met de wetenschappelijke notatie

Wetenschappelijke notatie, 

afronden en significantie.

Hoe werkt afronden ook alweer?

   0   1   2   3   4   

   5   6   7   8   9   

afronden naar beneden

afronden naar boven

Voorbeelden:

Voorbeelden:

Stappenplan:

1 - lees in de vraag op hoeveel decimalen je moet afronden

2 - ze een (denkbeeldige) streep achter het gevraagde aantal decimalen

3 - kijk naar het getal achter de streep (in de voorbeelden is het getal achter de (denkbeeldige) streep gekleurd weergegeven)

4 - gebruik de afrondingsregels (rood of groen) om het getal voor de streep af te ronden met behulp van het getal achter de streep.

Omdat bij het afronden het resultaat niet exact is, gebruik je het ≈ teken. 

Dit teken betekent 'is ongeveer gelijk aan'. 

Het is vaak handig om een getal kleiner te schrijven door af te ronden. Daarvoor gelden speciale regels. Door af te ronden is het resultaat niet exact maar ongeveer.

Onderstaande getallen zijn afgerond op 2 decimalen. Match het getal met de juiste afronding.

16,28

16,25

16,23

16,275831

16,247932

16,231276

Afronden op duizendtal.

9 000

10 000

11 000

9 400

9 800

10 450

10 800

11 200

8 800

8,4597

Er blijven 4 getallen over

afronden op twee decimalen

afronden op drie decimalen

afronden op één decimaal

afronden op gehelen

8,5

8

8,4

8,45

8,44

8,46

8,460

8,459

Hoe werken 10-machten ook alweer?

10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

10³ = 10 x 10 x 10 = 1 000

10² = 10 x 10 = 100

10¹ = 10

10⁰ = 1

10^-1 = 1 / (10) = 0,1

10^-2 = 1 / (10 x 10) = 0,01

10^-3 = 1 / (10 x 10 x 10) = 0,00 1

10^-4 = 1 / (10 x 10 x 10 x 10) = 0,00 01

Andere voorbeelden:

10⁶   is een 1 met zes nullen erachter = 1 000 000 (miljoen)

10^-6  is een 1 met zes nullen ervoor = 0,00 000 1 (één miljoenste)

20 000 = 2 x 10⁴

0,23 0 = 2,30 x 10^-1

De notatie 10⁶ kan ook genoteerd worden als 10^6. 

     - Soms is de superscript notatie niet altijd mogelijk in software 

        vandaar dat het dan op 1 regel wordt geschreven 

        waarbij het ^ teken de macht notatie weergeeft.

Dit spreek je uit als 'tien tot de macht n'.

$${10}^n=uitkomst$$

Het is vaak handig om hele kleine en/of hele grote getallen als machten weer te geven. Dit vergroot de leesbaarheid.

Het rekenen met machten heet ook machtsverheffen. Een macht heeft een grondtal en een exponent n. Je vermenigvuldigt dan een getal een aantal keren met zichzelf.

De notatie is dan:

grondgetalexponent = uitkomst

Het grondtal is het getal waarvan je de macht neemt. De exponent is het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Het grondgetal is in deze lessonup gelijk aan 10.

De notatie is dan:

10exponent = uitkomst

100 = 1

Is een wiskundige afspraak!

Hoeveel nullen? 

10²

A

10

B

2

C

100

D

1

Juiste notatie?

10^-6

A

10

B

1000000

C

0,000001

D

6

Verschil tussen meetwaarde en telwaarden?

Meetwaarden zijn getallen die ontstaan door een meting.

   - Meetwaarden zijn getallen met een bepaalde nauwkeurigheid.

   - Voorbeeld:

      Een meetwaarde van 1,40m is nauwkeuriger dan een 

      meetwaarde van 1,4m. Bij een meetwaarde van 1,40m weet je 

      zeker dat het niet 1,41m is, bij een meetwaarde van 1,4m kan het 

      bijvoorbeeld ook 1,38m of 1,42m zijn.

Telwaarden zijn getallen die een hoeveelheid aangeven in de vorm van een aantal.

   - Telwaarden zijn exacte getallen met een oneindige nauwkeurigheid. 

   - Voorbeelden:

      Het aantal leerlingen in de jouw klas.

      Je hebt 3 keer 25,0 mL gemeten. 3 is nu een telwaarde en 25,0 een meetwaarde.

Sleep het juiste begrip naar de beschrijvingen.

Er blijven 5 begrippen over

de massa van een pen

je telt 4 stoelen in een personenwagen

je lengte

je hebt 150 gram meel afgewogen

op tafel liggen 30 reageerbuizen

meetwaarde

meetwaarde

meetwaarde

meetwaarde

meetwaarde

telwaarde

telwaarde

telwaarde

telwaarde

telwaarde

23 mL betekent hetzelfde als 0,023 L

A

juist

B

onjuist

C

D

In Nederland wonen 17 miljoen mensen, 

dus dat betekent dat er 17.000.000 mensen 

in Nederland wonen.

A

juist

B

onjuist

C

D

Wat betekent significantie?

Significante cijfers zijn cijfers die er toe doen.

De significantie (betekenis) van een meetwaarde is het totaal aantal cijfers waaruit een meetwaarde bestaat (in de voorbeelden zijn deze cijfers groen gekleurd).

Daarbij moet je rekening houden met:

     - nullen vooraan tellen niet mee

     - nullen tussendoor en achteraan tellen wel mee

     - machten van 10 tellen niet mee

Voorbeelden:

Welk getal heeft geen significantie (nauwkeurigheid)

A

5 kg

B

5 m

C

5 L

D

5 leerlingen

Het aantal significantie cijfers van 0,0123

A

5

B

4

C

3

D

0

Het aantal significantie cijfers van 0,10013

A

5

B

3

C

4

D

2

Het aantal significantie cijfers van 6,23

A

1

B

2

C

3

D

4

Het aantal significantie cijfers van 0,05000

A

1

B

2

C

3

D

4

Significantie regels: optellen & aftrekken

Het antwoord heeft net zoveel significante cijfers achter de komma als het getal met het minste aantal cijfers achter de komma.

Voorbeeld:

     6,29 km + 5421 m = 6,29 km + 5,421 km = 11,711 km ≈ 11,71 km

     eerst de eenheden aan elkaar gelijk maken, voor je gaat optellen

     6,29 = 2 cijfers achter de komma

     5,421 = 3 cijfers achter de komma (na dezelfde eenheid)

     dus eindantwoord ook in 2 cijfers achter de komma: 11,71 km

+

−

Wat is het antwoord in het juiste aantal significantie cijfers? 3,64 − 0,00062 − 0,51 = ?

A

3

B

3,129

C

3,1294 x 10^-6

D

3,13

Wat is het antwoord in het juiste aantal significantie cijfers? 86,3 + 1,42 − 0,09 = ?

A

87,63

B

0,0876

C

87,6

D

87,79

Wat is het antwoord in het juiste aantal significantie cijfers? Je hebt 1,3 gram, 2 gram en 6,03 gram. Hoeveel gram heb je bij elkaar?

A

9,33

B

9,3 x 10^1

C

9,3

D

9

Significantie regels: vermenigvuldigen & delen

Het antwoord heeft net zoveel significante cijfers als het getal met het minste aantal significante cijfers. 

Voorbeeld:

     3,45 L × 1,2 L = 4,14 L ≈ 4,1 L

     3,45 = 3 cijfers significant

     1,2 = 2 cijfers significant (is het minst nauwkeurig)

     dus eindantwoord ook in 2 cijfers significant: 4,1 L

×

÷

Wat is het antwoord in het juiste aantal significantie cijfers? 20,3 x 5,00 = ?

A

101,5

B

1,02 x 10^-2

C

102

D

100

Wat is het antwoord in het juiste aantal significantie cijfers? 0,0045 / 3,56 x 1234 = ?

A

1,6

B

1,6 x 10^10

C

1,56

D

1,560

Wat is het antwoord 

in het juiste aantal significantie cijfers?

- 4,5 x 10⁴ x 456 =

A

-20520000

B

-2,1 x 10^7

C

-2 x 10^7

D

-2057 x 10^3

Wat is het antwoord 

in het juiste aantal significantie cijfers?

π + 3 =

π = pi = is een wiskundige constante, met in decimale notatie de getalswaarde 3,141 592 653... de getalreeks gaat oneindig door

A

6,1415926535

B

6,14

C

6,1

D

6

Geef het antwoord van de volgende som in de juiste significantie (1,003 + 0,5) x 3,33 =

A

4,995

B

6,7

C

5,0

D

5,00499

       Uitleg vorige vraag

Wanneer in een berekening haakjes worden gebruikt, reken je dat deel eerst uit.

In dit geval heb je te maken met 1,003 + 0,5 = 1,503. 

1,003 heeft 3 significante cijfers achter de komma, en 0,5 maar 1 significante cijfers.

Je vermenigvuldigt 1,503 (zonder af te ronden) met 3,33.

Je komt dan uit op 5,00499.

Omdat we te maken hebben gehad met een getal uit een optelsom geldt daar dat de waarde 1,503 gereduceerd wordt tot 1,5, kijkende naar de significante cijfers achter de komma. In dit geval is dat 1 significante cijfer achter de komma vanuit de waarde 0,5.

In de vermenigvuldiging heb je dus nu te maken met 1,5 is 2 significante cijfers en 3,33 is 3 significante cijfers.

Het eindantwoord moet je opschrijven met 2 significante cijfers.

(1,003 + 0,5) x 3,33 = 1,503 x 3,33 = 5,00499 ≈ 5,0

Wat is wetenschappelijke notatie precies?

De wetenschappelijke notatie van een cijfer is:

     - een manier om kleine en/of grote getallen beter weer te geven (machtsverheffen) 

        en om de significante cijfers correcter weer te geven en daar nadruk op te leggen

     - een getal tussen 1 en 10

     - gevolgd door een macht van 10

     ^{- In principe geldt dat je bij rekenvragen altijd wetenschappelijk moet antwoorden.} 

       ^{Je moet hierbij dus alle voorgaande uitleg gezamenlijk toepassen.}

Enkele voorbeelden van de omzetting van een getal naar wetenschappelijke notatie (tussen haakjes de significantie die bijvoorbeeld uit een vraagstuk te herleiden was geweest en die we nu toepassen op het eindantwoord).

     1025 (3 significante cijfers) = 1,03 x 10³

     0,00 564  (1 significant cijfer) = 6 x 10^-3

     0,02 8  (2 significante cijfers) = 2,8 x 10^-2

Wat is het antwoord in de wetenschappelijke notatie? 12,4 ÷ 0,037 = ?

A

3,35 x 10^2

B

3,4 x 10^2

C

335,1351

D

3 x 10^2