Meetkundige berekeningen

Meetkundeproblemen
Havo 5 wiskunde B
1 / 45
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 5

This lesson contains 45 slides, with interactive quizzes, text slides and 2 videos.

time-iconLesson duration is: 121 min

Items in this lesson

Meetkundeproblemen
Havo 5 wiskunde B

Slide 1 - Slide

SOSCASTOA
  •                                                           o = overstaande rechthoekszijde

  •                                                           a = aanliggende rechthoekszijde

  •                                                           s = schuine zijde
sin(α)=so
cos(α)=sa
tan(α)=ao

Slide 2 - Slide

cosinusregel


2 zijden + ingesloten hoek gegeven -> zijde tegenover hoek gevraagd
3 zijden gegeven -> hoek gevraagd
a2=b2+c22bccos(α)
b2=a2+c22accos(β)
c2=a2+b22abcos(γ)

Slide 3 - Slide

Sinusregel:




zijde +overstaande hoek moet gegeven/te berekenen zijn!
vb : bereken a, zie het figuur hiernaast

sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c
γ=180°48°76°=56°
sin(48°)a=sin(56°)12
a=sin(56°)12sin(48°)10,8

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Video

Slide 6 - Video

Bereken BC
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Slide 7 - Open question

Antwoord met uitwerking
In driehoek ACD cosinusregel om AC te berekenen


In driehoek ACD hoek CAD berekenen met de sinusregel


In driehoek ABC cosinusregel om BC te berekenen

AC2=42+62246cos(130°)
AC9,10....
sin(130°)9,10...=CAD6
CAD30,3...dusBAC7030,3...39,67....
BC2=9,102+10229,1010cos(39,67)
BC6,54

Slide 8 - Slide

Gelijkvormige driehoeken
  •  2 hoeken gelijk in 2 driehoeken? -> driehoeken zijn                      gelijkvormig
  •  denk aan Z-hoeken (zandloperfiguur), F-hoeken                            (snavelfiguur) en overstaande hoeken
  • met behulp van een verhoudingstabel kun je de                             ontbrekende zijde berekenen (gebruik eventueel een variabele)

Slide 9 - Slide

Gegeven het figuur hiernaast.
Bereken AE.

Slide 10 - Open question

Uitwerking

Slide 11 - Slide

Bereken DS in 2 decimalen nauwkeurig.

Slide 12 - Open question

Slide 13 - Slide

Bijzondere rechthoekige driehoeken
  •  De zijden van een gelijkbenige
rechthoekige driehoek verhouden
zich als 1:1:

  •  De zijden van een driehoek met
hoeken van
verhouden zich als 1:2:
2
°
30°en60°
3

Slide 14 - Slide

Vergelijkingen en bijzondere rechthoekige driehoeken
Zie som op de volgende pagina voor een voorbeeld

Slide 15 - Slide

Gegeven is de vierhoek ABCD met :


De oppervlakte van de vierhoek is
Bereken exact de lengte van BD en AB.

A=60°enC=45°
ADB=CBD=90°
721

Slide 16 - Open question

Slide 17 - Slide

vergelijkingen en Pythagoras

Slide 18 - Slide

Onderlinge ligging van lijnen

Slide 19 - Slide

Afstand tussen 2 punten
Gegeven A(xA,yA) en B(xB, yB)
  • Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d:distance) tussen A en B:

d(A,B)=(yByA)2+(xBxA)2

Slide 20 - Slide

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.


Slide 21 - Open question

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 
(42)2+(51)24,47

Slide 22 - Slide

Afstand punt-lijn d(A,k)
  •  Stel de vergelijking op van de lijn l door A loodrecht op k
   -> als de vergelijking in de vorm y=ax+b staat
        dus a
   en anders k: ax+by=c ->l: bx-ay=d
   A invullen om de ontbrekende waarde te berekenen (b/d)
  • Bereken de coordinaten van het snijpunt B van k en l.
  • Gebruik d(A,k)=d(A,B) om d(A,k) te berekenen.

rclrck=1
rcl=rck1

Slide 23 - Slide

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Slide 24 - Open question

Antwoord + uitwerking
  • vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 
       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26
  • snijpunt S van lijn l en lijn f:
       3x-7y=4
       7x+3y=26
       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83
  • d(A,f) =d (A,S) = 




72+34=26
(1,834)2+(2,932)22,36

Slide 25 - Slide

Hoek tussen 2 krommen
  • Stel een vergelijking op van de raaklijnen l en k aan de           krommen in het snijpunt 


  • gevraagde hoek:
       of
tan(β)=rck
ϕ=αβ
ϕ=180°(αβ)
tan(α)=rcl

Slide 26 - Slide

vraag 8 blz 195

Slide 27 - Open question

Zijdexhoogte-methode
Voor driehoeken geldt:
ene zijde x bijbehorende hoogte= andere zijde x bijbehorende hoogte

Vaak te gebruiken als je een rechte hoek ziet ergens in het figuur.

Slide 28 - Slide

Gegeven vierkant ABCD hiernaast.
Bereken CF.
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Slide 29 - Open question

Antwoord met uitwerking
  • Teken EC en teken EG loodrecht op BC met G op BC.

  • De zijde x hoogte-methode in driehoek BCE geeft


BE=62+42=52
BECF=BCEG
52CF=66
CF=52364,99

Slide 30 - Slide

Cirkelvergelijking herschrijven
Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

  • Herschrijven tot:



Zodat je weet: M(2,4) en straal r =
x24x+y28y+10=0
(x2)24+(y4)216+10=0
(x2)2+(y4)2=10
10

Slide 31 - Slide

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?
  • Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
  • bereken d(A,M)
  • vergelijk d(A,M) met de straal
         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel
         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel
         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Slide 32 - Slide

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?
x2+y22x+6y=26
A
buiten
B
binnen
C
op

Slide 33 - Quiz

Uitwerking



      dus M(1,-3) en straal=6
  •     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

  •  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
x2+y22x+6y=26
(x1)21+(y+3)29=26
(x1)2+(y+3)2=36
(23)2+(61)2507,07

Slide 34 - Slide

Cirkels en raaklijnen
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Slide 35 - Slide

Raaklijnprobleem 1
Stel vgl op van c met M(xM, yM) die lijn k raakt
  • Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

  • stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
  • bereken snijpunt m en k (S)
  • r =d(M,k) = d(M,S)
(xxm)2+(yym)2=r2

Slide 36 - Slide

Raaklijnprobleem 2
Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B
  • Bereken rc van de lijn k door M en B
      rck=

  •  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt
       bereken hiermee rcl=a
  • Bereken b door B in te vullen.
(xBxM)(yByM)
rclrck=1

Slide 37 - Slide

Raaklijnprobleem 3
Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.
- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie
- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 
waarvan je discriminant D kunt berekenen
- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b
ax2+bx+c=0
D=b24ac

Slide 38 - Slide



De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.
c1x2+y2=16
c2x210x+y2+16=0

Slide 39 - Open question

Uitwerking
  • De straal r1 van c1 is 4


       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3
  • In OAM geldt
  • Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden

x210x+y2+16=0
(x5)225+y2+16=0
(x5)2+y2=9
OA2+AM2=OM2want42+32=52

Slide 40 - Slide

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

y=1216x+356

Slide 41 - Open question

Uitwerking
  • k gaat door M en staat loodrecht op l dus
       k:y=ax+b
       a=

      M invullen om b te berekenen:  geeft b =
       k:
  •  k snijden met l geeft x =              en y=
  • dus P(       ,              )
rkrcl=1
rck=1261=61266=26
106
y=26x106
553
1516
553
1516

Slide 42 - Slide

Cirkels en afstanden
  • Afstand punt A tot cirkel c met M en r
        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r
  •  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  
        middelpunt N
        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Slide 43 - Slide

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Slide 44 - Open question

Uitwerking

Slide 45 - Slide