Kwadratische vergelijkingen opstroom

• Wiskunde
• Middelbare school
• mavo, havo
• Leerjaar 2

getal en ruimte 2t/h hst 7

Opstroomstof 

kwadratische vergelijkingen

Na deze les kan je...

...snijpunten oplossen met grafieken,

 ...snijpunten oplossen met vergelijkingen, 

...ontbinden in factoren

...product-som-methode toepassen

...vergelijkingen oplossen door ontbinden

...kwdratische vergelijkingen oplossen

Weet je nog: een parabool

Een parabool heeft een kwadratische formule: 

 voor a, b en c moet je getallen invullen

als a>0 dalparabool

als a<0 bergparabool

Een parabool is altijd symmetrisch

 

y=ax​2​​+bx+c

Vergelijkingen oplossen met grafieken

Als je de snijpunten wilt vinden tussen een parabool en een rechte lijn, kan je van beide formules een grafiek tekenen. 

De snijpunten kan je aflezen.

Controleer je antwoord door de x-coördinaten in de formules in te vullen

Parabolen en lijnen

Als je een lijn en een parabool tekent, zijn er drie mgelijkheden voor de snijpunten: 

de grafieken hebben géén snijpunten

de grafieken hebben één snijpunt 

de grafieken hebben twee snijpunten 

Om er achter te komen hoeveel snijpunten de parabool en de lijn hebben, kan je de grafieken tekenen.

de lijn loopt boven de grafiek bij een bergparabool of

de lijn loopt onder de grafiek bij een dal parabool 

de lijn raakt de top van de parabool 

de lijn snijdt de parabool op twee plaatsen

Vergelijkingen oplossen

Bij een vergelijking                   zijn 2 oplossingen

 

x=5∨x=−5

betekent 'of' 

∨

x​2​​=8

x=√​8​​​∨x=−√​8​​​

x=2,8∨x=−2,8

als

x​2​​=25

Vergelijkingen oplossen

Bij een vergelijking                      zijn geen oplossingen

een kwadraat kan nooit een negatief getal zijn.

 

als c >0 dan zijn er 2 oplossingen 

als c=0 is er 1 oplossing 

als c<0 dan zijn er geen oplossingen 

 

x​2​​=c

x​2​​=−25

dus bij:

Voorbeelden

x​2​​−18=0

x​2​​=18

x=√​18​​​∨x=−√​18​​​

x=4,2∨x=−4,2

x​2​​+18=0

x​2​​=−18

geen oplossing

Voorbeelden

3x​2​​=−18

x​2​​=−6

geen oplossing

4x​2​​+18=18

4x​2​​=0

x​2​​=0

x=0

Los op:

x​2​​+0,18=0

Los op:

−​4​​1​​x​2​​+4=0

Weet je nog? Haakjes wegwerken

  

4(x+5)=4x+20

4(x−5)=4x−20

−4(x−5)=−4x+20

4⋅x+4⋅5

4⋅x+4⋅−5

−4⋅x−4⋅−5

Dat kan ook andersom: ontbinden in factoren 

  

3w​2​​+6w=3w(w+2)

2x+6=2(x+3)

2 is de gemeenschappelijke factor, beide kanten kan je door 2 delen

3w is de gemeenschappelijke factor, beide kanten kan je door 3w delen

Ontbinden in factoren 

  

24xy​2​​+8xz=8x(3y​2​​+z)

12ab−9a=3a(4b−3)

Ontbind in factoren:

3ab+9b

Ontbind in factoren:

4x​2​​−16x

Ontbind in factoren:

20x−4yz

x

x

4

6

Sleep de oppervlakte naar het goede vlak

24

4x

6x

x²

Weet je nog? Dubbele haakjes wegwerken

De oppervlakte van deze driehoek is:

(x+2)(x+3)

x​2​​+2x+3x+6

x

x

2

3

x​2​​+5x+6

x²

3x

2x

6

Dubbele haakjes herleiden

  

x​2​​−5x+3x−15

(x+3)(x−5)

x​2​​−2x−15

x⋅x+x⋅−5+3⋅x+3⋅−5

vereenvoudigen -5x+3x=-2x

Dat kan ook andersom:

De oppervlakte van deze vierhoek is:

hoe lang zijn de zijden?               

(x+2)(x+7)

  ??

x

x

?

?

x​2​​+9x+14

Zoek 2 getalen die bij elkaar opgeteld 9 zijn 

en keer elkaar 14 

x⋅x+7x+2x+7⋅2=x​2​​+9x+14

controle

x2

?x

?x

Weet je nog? Dubbele haakjes wegwerken

De oppervlakte van deze vierhoek is:

(x+2)(x+3)

x​2​​+2x+3x+6

x²

2x

3x

6

x

x

2

3

x​2​​+5x+6

Dubbele haakjes herleiden

  

x​2​​−5x+3x−15

(x+3)(x−5)

x​2​​−2x−15

x⋅x+x⋅−5+3⋅x+3⋅−5

vereenvoudigen -5x+3x=-2x

Dat kan ook andersom:

De oppervlakte van deze driehoek is:

hoe lang zijn de zijden?               

(x+2)(x+7)

x²

?x

?x

??

x

x

?

?

x​2​​+9x+14

Zoek 2 getalen die bij elkaar opgeteld 9 zijn 

en keer elkaar 14 

x⋅x+7x+2x+7⋅2=x​2​​+9x+14

controle

 Product-som-methode

de som van 3 en 5 is  8 (3+5=8)

het product van 3 en 5 is 15 (3x5=15)

  

(x+3)(x+5)

x​2​​+8x+15

 Product-som-methode

de som van -2 en 8 is  6 (-2+8=6)

het product van -2 en 8 is -16 (-2x8=-16)

  

(x−2)(x+8)

x​2​​+6x−16

Ontbind in factoren:

x​2​​+5x+6

Ontbind in factoren:

x​2​​−13x+42

Ontbind in factoren:

x​2​​−2x−80

Ontbinden in factoren en oplossen

  

x(x+6)=0

x​2​​+6x=0

x=0∨x=−6

x=0∨x+6=0

(−6)​2​​+6⋅−6=0

0​2​​+6⋅0=0

controleren

klopt

Als de uitkomst van een keersom nul is, 

is één van de twee producten nul

Eerst naar 0 herleiden, dan oplossen

  

5x​2​​−25x=0

5x​2​​=25x

5x=0∨x−5=0

5x(x−5)=0

x=0∨x=5

5⋅0​2​​=25⋅0∨5⋅5​2​​=25⋅5

controle

Drietermen oplossen

  

(x−2)(x+8)=0

x​2​​+6x−16=0

x=2∨x=−8

x−2=0∨x+8=0

2​2​​+6⋅2−16=0∨(−8)​2​​+6⋅−8−16=0

controle

Drietermen oplossen

  

−2x​2​​+10x−8=0

10x−8=2x​2​​

x​2​​−5x+4=0

x=4∨x=1

:−2

(x−4)(x−1)=0

x−4=0∨x−1=0

10⋅4−8=2⋅4​2​​∨10⋅1−8=2⋅1​2​​

controle

Los op:

x​2​​−2x−80=0

Los op:

4x​2​​−16x=0

Los op:

x​2​​+5x+6=0

Los op:

x​2​​−13x+42=0

Na deze les kan je...

...snijpunten oplossen met grafieken,

 ...snijpunten oplossen met vergelijkingen, 

...ontbinden in factoren

...product-som-methode toepassen

...vergelijkingen oplossen door ontbinden

...kwdratische vergelijkingen oplossen

Wat heb je in deze les geleerd ?

Wat vind je nog moeilijk aan dit onderwerp?