§7.1 Verbanden: theorie (leerjaar 4)
7
Verbanden
Paragraaf 7.1
Verbanden: theorie
Welk verband zit er achter een tabel of grafiek? Zo herken je het en stel je de formule op.
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Introduction
Éléments de cette leçon
7
Verbanden
Paragraaf 7.1
Verbanden: theorie
Welk verband zit er achter een tabel of grafiek? Zo herken je het en stel je de formule op.
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 7 Verbanden, paragraaf 7.1 Verbanden: theorie. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
7.1 Verbanden: theorie
Leerdoelen
7.1.1
Je kunt het soort verband herkennen in een tabel, grafiek of formule.
7.1.2
Je kunt een formule opstellen bij een tabel of grafiek.
7.1.3
Je kunt een vergelijking oplossen met grafiek, inklemmen of balans.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Startvraag
Welk verband?
Een kweker telt bacteriën: N na t uur, zie de tabel. Welk soort verband hoort hierbij?
Lineair verband
Kwadratisch verband
Exponentieel verband
Omgekeerd evenredig
Laat eerst kijken naar de getallen 3, 6, 12, 24. Er komt niet steeds evenveel bij (dan was het lineair), er wordt steeds met 2 vermenigvuldigd: exponentieel, N = 3 · 2ˣ. Kwadratisch kiezen leerlingen die zien dat de stappen groter worden. Omgekeerd evenredig is fout omdat N toeneemt. Doorvraag: wat is N na 4 uur? (48) Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Drie soorten groei
Zo herken je ze in een tabel en zo schrijf je de formule op.
Lineair
Elke stap evenveel erbij. Tabel 5, 8, 11 geeft a = 3 en b = 5, dus y = 3x + 5.
Kwadratisch
Parabool: y = ax² + bx + c. Bij y = x² − 4x + 1 geeft x = 3 de waarde −2.
Exponentieel
Elke stap dezelfde factor. Tabel 3, 6, 12 geeft y = 3 · 2ˣ.
Laat leerlingen bij elke kaart zelf nog een waarde uitrekenen. Bij lineair: a is het verschil per stap en b de beginwaarde (x = 0). Bij exponentieel: b is de beginwaarde en g de factor per stap. Bij kwadratisch ligt de top van de parabool in het midden van twee gelijke y-waarden. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Voorbeeldopdracht 1
De grafiek toont de kosten K (euro) van een huurfiets na t uur. Stel de formule op.
gegeven
Punten (0, 4) en (2, 10)
Bij t = 0 is K = 4, dus b = 4
uitwerking
a = (10 − 4) : (2 − 0) = 6 : 2 = 3
K = a · t + b
antwoord
K = 3 · t + 4
Eerst het beginbedrag aflezen (waar de lijn de verticale as snijdt), daarna de helling uit twee punten. Controle met het tweede punt: 3 · 2 + 4 = 10. Veelgemaakte fout: a en b omwisselen, dan krijg je K = 4 · t + 3. Doorvraag: wat kost 5 uur? (19 euro) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Macht, wortel, omgekeerd evenredig
andere verbanden, andere formules
y = a · xⁿ y = a · √x y = a : x
Voorbeelden: y = 2 · x³ (bij x = 3 is y = 54), y = 4 · √x (bij x = 9 is y = 12) en y = 24 : x (x · y blijft 24). Een periodieke grafiek herhaalt zich na een vaste periode.
Bij omgekeerd evenredig geldt: als x twee keer zo groot wordt, wordt y twee keer zo klein. Het product x · y is dan constant. Een periodieke grafiek, zoals getij of een reuzenrad, herhaalt zich: de periode lees je af als de lengte van één herhaling. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Kennis
1
Als x twee keer zo groot wordt, wordt y twee keer zo klein. Welke formule past?
y = 12 · x
y = x + 12
y = 12 · x²
y = 12 : x
y = 12 : x is omgekeerd evenredig: bij x = 4 is y = 3 en bij x = 8 is y = 1,5. De andere opties laten y juist groeien als x groeit (lineair, lineair, kwadratisch). Wie y = 12 · x kiest, heeft de woorden omgekeerd en evenredig door elkaar gehaald.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Vergelijkingen oplossen
Je hebt drie methoden. Grafiek: teken beide grafieken en lees het snijpunt af. Inklemmen: probeer waarden, eerst hele getallen en dan 1 decimaal, tot links en rechts dicht bij elkaar liggen. Balansmethode: doe links en rechts hetzelfde. Bij 3x + 5 = 20 trek je 5 af en deel je door 3, dus x = 5. Bij x² = 49 is x = 7 of x = −7.
Benadruk dat de balansmethode niet werkt als x zowel in een macht als los voorkomt, zoals in x² + 3x = 50: dan gebruik je inklemmen of de grafiek. Vergeten dat een kwadraat twee oplossingen kan hebben (7 en −7) is de meest gemaakte fout. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Voorbeeldopdracht 2
Los op met inklemmen: x² + 3x = 50. Geef x op 1 decimaal.
gegeven
x² + 3x = 50, we zoeken x > 0
Probeer waarden voor x
uitwerking
Bij x = 5 is x² + 3x gelijk aan 40 (te klein)
Bij x = 6 is het 54 (te groot)
Bij x = 5,7 is het 49,59 en bij x = 5,8 is het 51,04
antwoord
x ≈ 5,7 (49,59 ligt het dichtst bij 50)
Inklemmen gaat in twee ronden: eerst hele getallen (5 en 6), dan tienden (5,7 en 5,8). Bij de laatste stap kies je de waarde die het dichtst bij 50 ligt: 50 − 49,59 = 0,41 en 51,04 − 50 = 1,04. Een leerling die x = 6 antwoordt, is na de eerste ronde gestopt. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
2
De grafiek toont h = −5t² + 20t. Hoeveel seconden is de bal hoger dan 15 m?
De stippellijn h = 15 snijdt de parabool bij t = 1 en t = 3. Controle met de formule: −5 + 20 = 15 en −45 + 60 = 15. De bal is dus 3 − 1 = 2 seconden hoger dan 15 m. Wie 3 antwoordt, noemt alleen het tweede snijpunt, wie 1 het eerste. Doorvraag: wanneer is de bal het hoogst? (t = 2, h = 20 m) Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Een kanaal heeft 200 volgers en groeit elke week 50%. Vul in.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
3
De groeifactor per week is 1,5.
Het beginaantal b in V = b · 1,5ˣ is 200.
Na 2 weken zijn er 450 volgers.
50% groei betekent vermenigvuldigen met 1,5, niet met 0,5 (dat is de helft). 300 komt van lineair rekenen: 200 + 2 · 50. Het juiste antwoord is 200 · 1,5 · 1,5 = 450. Vraag leerlingen waarom 200 · 1,5 · 2 = 600 hier niet klopt.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
★ 4
Het water volgt de grafiek (periode 12 uur). Hoeveel uur is het in 24 uur hoger dan 4 m?
Lees af: de stippellijn h = 4 snijdt de grafiek bij t = 1 en t = 5. In één periode is het water dus 5 − 1 = 4 uur hoger dan 4 m. Een etmaal bevat 2 perioden: 2 · 4 = 8 uur. Wie 4 antwoordt, rekent met één periode. Wie 16 antwoordt, heeft de 8 uur nog eens verdubbeld. Doorvraag: wat is de amplitude? (2 m) Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
V E R D E R K I J K E R
Trapgrafiek: begonnen uur
Een parkeergarage rekent 2 euro per begonnen uur. Bij precies 1 uur betaal je 2 euro, een minuut later 4 euro. Een open bolletje hoort niet bij de lijn. Wat kost 2 uur en 10 minuten parkeren?
Antwoord: 3 begonnen uren, dus 3 · 2 = 6 euro. De open bolletjes zitten links, de gesloten rechts: bij precies 2 uur hoort nog 4 euro. Zulke grafieken heten trapgrafieken en horen bij situaties met afronding naar boven. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
7.1.1 Soort verband herkennen
7.1.2 Formule opstellen
7.1.3 Vergelijkingen oplossen
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
