Newton en luchtweerstand (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitleg over de tweede wet van Newton in vectornotatie, de luchtweerstandskracht Fw,l = ½·ρ·cw·A·v², de eindsnelheid en een numeriek model van een val met luchtweerstand. Vwo, syllabus C1.2, C1.3, C1.5 en A14.1, met foto's, twee animaties en checks.

Wingsuitvlieger boven Langar Airfield, 2012 (foto: Wingsuiting, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Newton en luchtweerstand

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C1.2, C1.3, C1.5, A14.1. Image credit: Wingsuiting / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Wat ga je kunnen?

Ik kan met ΣF = m·a en Fw,l = ½·ρ·cw·A·v² een val met luchtweerstand analyseren, veind berekenen en een numeriek model van die val interpreteren.

Een parachutist springt uit een vliegtuig en opent later de parachute. Wat gebeurt er met de krachten en de snelheid?

Verwacht: zwaartekracht, luchtweerstand, sneller, constante snelheid, eindsnelheid, remmen, parachute, groter oppervlak. Hang de woorden aan ΣF en a: in de les worden ze kwantitatief. Syllabus C1.2, C1.3, C1.5.

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Fres = ΣF = m·a

• Fres = ΣFi = m·a: Fres is de vectorsom van alle krachten op het voorwerp (staat in je informatieboek).

• Fres en a zijn vectoren met dezelfde richting. In één richting kies je een positieve richting en geef je krachten een teken.

• Met a = dv/dt kun je ook schrijven: Fres = m·dv/dt.

• Voorbeeld: een kar van 2,0 kg wordt met 9,0 N naar rechts getrokken, wrijving 3,0 N naar links: ΣF = 6,0 N en a = 3,0 m/s².

• Is ΣF = 0, dan is a = 0 en verandert de snelheid niet (eerste wet, zie de les Krachten ontbinden).

Syllabus C1.5: tweede wet van Newton uitleggen en toepassen; vwo gebruikt vectornotatie, het sommatieteken en de differentienotatie (A8/A14 en 2.4). Rekenvoorbeeld: ΣF = 9,0 − 3,0 = 6,0 N, a = 6,0/2,0 = 3,0 m/s². De les over de derde en eerste wet en het ontbinden van krachten is een apart onderwerp; hier alleen krachten in één richting. Veelgemaakte fout: de afzonderlijke kracht in de formule zetten in plaats van de som.

Horizontale krachten op een fietser bij 10 m/s

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Krachten op een fietser

• Horizontaal: Fspier (spierkracht) naar voren, Fw,r (rolweerstand) en Fw,l (luchtweerstand) naar achteren.

• Kies de rijrichting positief: ΣF = Fspier − Fw,r − Fw,l = m·a.

• Fw,r is ongeveer constant; Fw,l neemt toe met de snelheid.

• In de figuur (v = 10 m/s): 60 − 7,0 − 27 = 26 N, dus a = 26/90 = 0,29 m/s².

Syllabus C1.3: krachten spierkracht, rolweerstandskracht en luchtweerstandskracht, en C1.5. Rekening: ΣF = 60 − 7,0 − 27 = 26 N; a = 26/90 = 0,289 = 0,29 m/s². De waarde van Fw,l (27 N bij 10 m/s) volgt in het volgende blok uit de formule. Veelgemaakte fout: Fw,l en Fw,r optellen bij de spierkracht in plaats van aftrekken. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Richting en teken van a

• a heeft de richting van Fres, niet per se van v. Remt een auto, dan wijst a tegen v in.

• Een bal die omhoog vliegt: v wijst omhoog, maar Fz en Fw,l wijzen omlaag, dus a wijst omlaag.

• Bij het stijgen werken Fz en Fw,l allebei omlaag, dus |a| is groter dan g. Bij het dalen werkt Fw,l omhoog, dus |a| is kleiner dan g.

• In het hoogste punt is v = 0, dus Fw,l = 0 en geldt a = g.

• Werk altijd met een gekozen positieve richting en schrijf ΣF met tekens.

Syllabus C1.5 en C1.3. Dit is het kernpunt waar vwo-leerlingen op struikelen: snelheid en versnelling hebben niet dezelfde richting. Fw,l werkt altijd tegen de snelheid in, ook als het voorwerp omhoog gaat. In het hoogste punt is v = 0 en dus Fw,l = 0 (de formule bevat v²). Veelgemaakte fout: denken dat ΣF in de bewegingsrichting wijst.

Een bal stijgt na het gooien nog, met luchtweerstand. Welke kant en hoe groot is a?

A

Omlaag en groter dan g

B

Omlaag en kleiner dan g

C

Omhoog en kleiner dan g

D

Omlaag en gelijk aan g

Bij stijgen werken Fz en Fw,l beide omlaag: ΣF > m·g, dus a groter dan g en omlaag. Fouten: Fw,l verkeerd om, a in de richting van v. Syllabus C1.3 en C1.5.

Windtunneltest met de M2-F1 bij NASA Ames (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

De luchtweerstandskracht

• Een bewegend voorwerp ondervindt luchtweerstand: Fw,l werkt tegen de bewegingsrichting in.

• Fw,l = ½·ρ·cw·A·v² (staat in je informatieboek).

• ρ: dichtheid van de lucht (kg/m³), cw: geen eenheid, A: frontale oppervlakte (m²), v: snelheid (m/s).

• Een windtunnel gebruik je om Fw,l aan een model te meten.

Syllabus C1.3: luchtweerstandskracht; formule Fw,l = ½·ρ·cw·A·v². Eenheidscontrole: kg/m³·m²·m²/s² = kg·m/s² = N, dus cw heeft geen eenheid. De foto toont een model in een windtunnel (de M2-F1 van NASA). Veelgemaakte fout: v niet kwadrateren of de ½ vergeten. Image credit: NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

Remparachute van Columbia na de landing, 1993 (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Evenredig met v²

• Fw,l is evenredig met ρ, cw en A, maar met v²: v twee keer zo groot geeft Fw,l vier keer zo groot.

• A twee keer zo groot (rest gelijk): Fw,l twee keer zo groot. A de helft: Fw,l de helft.

• Reken v eerst om naar m/s: 36 km/h = 36/3,6 = 10 m/s.

• Een remparachute remt vooral bij hoge snelheid sterk; bij lage snelheid is Fw,l klein.

Syllabus C1.3 en A15 (reken om naar SI-eenheden, redeneer met evenredigheden). De foto toont de remparachute van het ruimteveer Columbia na de landing in 1993. Kijkvraag: waarom remt de parachute minder als het ruimteveer langzamer wordt? Antwoord: Fw,l is evenredig met v². Veelgemaakte fout: denken dat Fw,l evenredig is met v. Image credit: NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

Paardenbloem met pluizenbollen, 2020 (foto: T.Smirnova, CC BY 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

ρ, cw en A

• ρ = m/V: de dichtheid in kg/m³. Voor lucht ongeveer 1,2 kg/m³ (staat in je informatieboek).

• De cw-waarde heeft geen eenheid en hangt af van de vorm: gestroomlijnd betekent een kleinere cw.

• De frontale oppervlakte A is de doorsnede loodrecht op de bewegingsrichting, in m².

• Voorbeeld: 60 m³ lucht (ρ = 1,2 kg/m³) heeft een massa m = ρ·V = 72 kg.

Syllabus C1.3 en formule ρ = m/V. Rekening: 1,2 × 60 = 72 kg. De paardenbloemzaden hebben een grote A voor hun kleine massa en vallen daardoor traag. Veelgemaakte fout: A als het oppervlak van de bovenkant nemen in plaats van de doorsnede in de bewegingsrichting. Image credit: T.Smirnova / Wikimedia Commons, CC BY 4.0

De snelheid van een auto wordt 3 keer zo groot. Wat gebeurt er met Fw,l?

A

3 keer zo groot

B

6 keer zo groot

C

27 keer zo groot

D

9 keer zo groot

Fw,l is evenredig met v²: 3² = 9. Fouten: lineair (3), 2·3 (6), derde macht (27). Syllabus C1.3 en A15.

Wingsuitvlieger boven Langar Airfield, 2012 (foto: Wingsuiting, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Vallen met luchtweerstand

• Positieve richting omlaag: ΣF = Fz − Fw,l = m·a, met Fz = m·g.

• Begin: v = 0, dus Fw,l = 0 en a = g. Daarna groeit v, dus Fw,l, en worden ΣF en a kleiner.

• Als Fw,l = Fz, dan is ΣF = 0, a = 0 en blijft v constant: de eindsnelheid veind.

• In het (v,t)-diagram buigt de grafiek af naar een horizontale lijn; de helling is a = dv/dt.

Syllabus C1.2 (valbeweging met wrijving herkennen) en C1.5. Een wingsuit heeft een grote A en cw, dus een kleinere eindsnelheid dan een vrije val zonder pak. Veelgemaakte fout: denken dat de zwaartekracht kleiner wordt tijdens de val; Fz blijft constant, Fw,l groeit. Image credit: Wingsuiting / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Parachutisten boven Kingston (VS), 2011 (foto: Georgia National Guard, CC BY 2.0)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

De eindsnelheid berekenen

• Bij veind geldt Fz = Fw,l: m·g = ½·ρ·cw·A·veind².

• Herleiden geeft veind = √(2·m·g/(ρ·cw·A)).

• Voorbeeld: m = 70 kg, ρ = 1,2 kg/m³, cw = 0,90 en A = 0,45 m² geeft veind = 53 m/s.

• veind hangt niet af van de beginsnelheid, alleen van m, ρ, cw en A.

Syllabus C1.5 en A15.5 (een formule herschrijven naar een andere variabele). Rekening: 2·70·9,81 = 1373,4; 1,2·0,90·0,45 = 0,486; 1373,4/0,486 = 2825,9; wortel is 53,2, dus 53 m/s (twee significante cijfers). De foto toont geopende parachutes. Veelgemaakte fout: de wortel of de 2 vergeten. Image credit: Georgia National Guard / Wikimedia Commons, CC BY 2.0

Animatie: 1 filter en 4 gestapelde filters vallen (rekenmodel)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Wat bepaalt veind?

• veind is evenredig met √m en omgekeerd evenredig met √A (ook met √cw en √ρ).

• 4 keer zo grote m, rest gelijk: veind 2 keer zo groot.

• 4 keer zo grote A: veind 2 keer zo klein. Daarom daalt iemand met een open parachute langzaam.

• In de animatie: 4 gestapelde filters hebben dezelfde A en cw als 1 filter, maar 4 keer zo grote m.

Syllabus C1.2 en C1.5, A15 (invloed van veranderingen van variabelen). Animatie (rekenmodel met voorbeeldwaarden, vertraagd weergegeven): veind is 1,2 m/s voor 1 filter en 2,4 m/s voor 4 filters; elke kromme volgt v = veind·tanh(g·t/veind). Kijkvraag: waarom is de eindsnelheid van de stapel twee keer zo groot en niet vier keer? Antwoord: veind is evenredig met √m. Veelgemaakte fout: veind evenredig met m denken. Image credit: Eigen animatie

Rest gelijk, maar m wordt 4 keer zo groot. Wat gebeurt er met veind?

A

4 keer zo groot

B

2 keer zo groot

C

2 keer zo klein

D

16 keer zo groot

veind is evenredig met √m: √4 = 2. Fouten: lineair (4), omgekeerd (2 keer zo klein), kwadratisch (16). Syllabus C1.5.

Startwaarden en modelregels van een val met luchtweerstand

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Een numeriek model

• Een numeriek model ken je uit de les Harmonische trillingen: kleine stappen, een iteratief proces. Nu voor een val.

• Startwaarden geven de begintoestand; de stapgrootte dt is de tijd per stap.

• De modelregels worden bij elke stap herhaald, tot de stopvoorwaarde geldt (hier t ≥ 20 s).

• Positief is omlaag. Een model hoef je op het examen niet te ontwerpen: wel te lezen en aan te vullen.

Syllabus A14.1: numeriek model interpreteren, aanvullen, aanpassen en evalueren; vakbegrippen modelregel, startwaarde, stopvoorwaarde, stapgrootte, iteratief proces; notaties Als..Dan..EindAls en Stop. Ontwerpen en omzetten van een rekenmodel zijn geen CE-stof en hoeven niet in een programmeertaal. Een eerste kennismaking met een numeriek model staat in de les Harmonische trillingen (B1.1); hier past dezelfde aanpak op een val. De modelregels zijn Fz = m·g, Fw = ½·ρ·cw·A·v², Fres = Fz − Fw, a = Fres/m, v = v + a·dt, x = x + v·dt, t = t + dt. Veelgemaakte fout: de modelregels in de verkeerde volgorde lezen. Image credit: Eigen figuur

Animatie: een numeriek model rekent stap voor stap (dt = 1,0 s)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Stap voor stap doorrekenen

• Stap 1 (t = 0): v = 0, dus Fw = 0, Fres = 785 N en a = 9,81 m/s². Daarna is v = 9,81 m/s.

• Stap 2 (t = 1,0 s): Fw = 28,9 N, Fres = 756 N, a = 9,45 m/s² en v = 9,81 + 9,45·1,0 = 19,3 m/s.

• Elke stap gebruikt de v van de vorige stap; a wordt kleiner doordat Fw groeit.

• v nadert veind = 51 m/s.

Syllabus A14.1 (numeriek model interpreteren en de onderliggende natuurkunde herkennen) en C1.2. Rekening, m = 80 kg en ½·ρ·cw·A = 0,30 kg/m: stap 1: Fz = 784,8 N, Fw = 0, a = 9,81, v = 9,81 m/s. Stap 2: Fw = 0,30·9,81² = 28,87 N, Fres = 755,9 N, a = 9,449 m/s², v = 19,26 m/s. Het model rekent met alle cijfers door. Kijkvraag: waarom wordt het stukje per stap steeds minder steil? Antwoord: Fw groeit, dus Fres en a worden kleiner. Image credit: Eigen animatie

Apollo 13 landt met drie parachutes in zee, 1970 (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Evalueren en aanpassen

• Evalueren: vergelijk met de verwachting. Het model nadert veind = 51 m/s, zoals de formule voorspelt.

• Kleinere dt is nauwkeuriger: v(6,0 s) = 43,8 m/s bij dt = 1,0 s, 42,0 bij 0,10 s, exact 41,8 m/s.

• Aanpassen: bij gespreide armen is A groter: Als t ≥ 10 Dan A = 0,70 EindAls. Fres wijst dan omhoog.

• Een open parachute maakt A veel groter, dus veind veel kleiner.

Syllabus A14.1: numeriek model aanpassen aan een gewijzigde situatie en evalueren op basis van uitkomsten en verwachtingen. Rekening (dt = 1,0 s): v(10 s) = 50,0 m/s; met A = 0,70 m² is ½·ρ·cw·A = 0,42 kg/m, Fw = 0,42·50,0² = 1,05·10³ N, Fres = 785 − 1050 = −265 N: Fres wijst omhoog en v neemt af richting √(784,8/0,42) = 43 m/s. De exacte waarde v(6,0 s) = 41,8 m/s volgt uit de oplossing met veind = 51,1 m/s. De foto toont een capsule aan drie parachutes. Veelgemaakte fout: denken dat een kleinere dt de uitkomst van het model niet verandert. Image credit: NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

Welke modelregel hoort op de plaats van ???

A

Fres = Fz − Fw

B

Fres = Fz + Fw

C

Fres = Fz · Fw

D

Fres = Fw − Fz

Positief is omlaag: Fz wijst omlaag (positief), Fw omhoog (negatief). Fouten: optellen, vermenigvuldigen, omgekeerd aftrekken (dan is a bij het begin negatief). Syllabus A14.1. Image credit: Eigen figuur

Wat doet een kleinere dt met de nauwkeurigheid?

De uitkomst wordt nauwkeuriger (dichter bij de werkelijke waarde); het model heeft wel meer stappen nodig. Fout: denken dat de uitkomst onveranderd blijft of juist slechter wordt. Syllabus A14.1 (stapgrootte, evalueren).

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Richting en teken van a

2

Fw,l = ½·ρ·cw·A·v² gebruiken

3

veind berekenen en herleiden

4

Het numerieke model

Gebruik de uitslag om in de training extra aandacht te geven aan het lastigste onderdeel.

Leg uit waarom veind kleiner wordt als A groter wordt.

Goed antwoord: een grotere A geeft bij dezelfde v een grotere Fw,l, dus Fw,l is eerder gelijk aan Fz; veind is omgekeerd evenredig met √A. Syllabus C1.2, C1.3.

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Begrippen (1/2)

• tweede wet van Newton: Fres = ΣF = m·a: de resulterende kracht is massa maal versnelling.

• resulterende kracht: De vectorsom van alle krachten op een voorwerp, Fres of ΣF, in N.

• luchtweerstandskracht: Fw,l = ½·ρ·cw·A·v²: werkt tegen de snelheid in en groeit met v².

• cw-waarde: De weerstandscoëfficiënt van de vorm: geen eenheid, kleiner bij een gestroomlijnde vorm.

• frontale oppervlakte: De doorsnede A loodrecht op de bewegingsrichting, in m².

EXAMENSTOF · C1 · NEWTON, LUCHTWEERSTAND

Begrippen (2/2)

• eindsnelheid: De constante snelheid bij Fw,l = Fz, dus ΣF = 0.

• numeriek model: Rekent een beweging in kleine stappen door met startwaarden en modelregels.

• modelregel: Een regel die bij elke stap herhaald wordt, bijvoorbeeld a = Fres/m.

• stapgrootte: De tijd dt per stap; kleiner geeft een nauwkeuriger model.

• stopvoorwaarde: De voorwaarde waarbij het model ophoudt met rekenen, bijvoorbeeld t ≥ 20 s.