Eenparige cirkelbewegingen en harmonische trillingen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Eenparige cirkelbewegingen en harmonische trillingen

Welke beweging noem je
eenparige cirkelbeweging

1. beweging met een constante snelheid
2. beweging over de eenheidscirkel
3. beweging met een constante snelheid over de cirkel
4. beweging met een constante snelheid over de eenheidscirkel

Welke stelling hieronder klopt?

x​p​​(t)=cos(t)

y​p​​(t)=sin(t)

x​Q​​(t)=cos(2t)

y​Q​​(t)=sin(2t)

1. Punt Q gaat even snel als punt P
2. Punt Q gaat 2 keer zo snel als punt P
3. Punt Q gaat 4 keer zo snel als punt P
4. Punt Q gaat 2 keer zo langzaam als punt P

Gevraagd: Los op

Wat is een handige eerste stap?

sin(2t)=​3​​2​​cos​2​​(2t)

1. 2sin(t)cos(t)=​3​​2​​cos​2​​(2t)
2. sin(2t)=​3​​2​​(1−sin​2​​(2t))

Bereken de afstand
tussen P en Q op
vb: 7

t=​2​​1​​π

Uitwerking

cos(​2​​1​​π)=0

sin(​2​​1​​π)=1

P(0,1)

cos(1​2​​1​​π)=0

sin(1​2​​1​​π)=−1

Q(0,−1)

d(P,Q)=2

op t=​2​​1​​π

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen van punt P:



Wat is de lengte van de baan van punt P?

x​p​​(t)=2cos(t)

y​p​​(t)=2sin(t)

 t is de tijd in seconden

1. ​2​​1​​π
2. π
3. 2π
4. 4π

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen van punt P



Wat is de omlooptijd van punt P?

x​p​​(t)=2cos(t)

y​p​​(t)=2sin(t)

 t is de tijd in seconden

1. ​2​​1​​π
2. π
3. 2π
4. 4π

Gegeven is de bewegingsvergelijking van punt P:



Hoeveel seconden is punt P boven de lijn:

x​p​​(t)=2cos(t)

y​p​​(t)=2sin(t)

y=√​2​​​

 t is de tijd in seconden

1. ​2​​1​​π
2. π
3. 2π
4. 4π

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen van punt P:


Bereken exact de lengte van het deel van de baan van P dat boven de volgende lijn ligt:

x​p​​(t)=2cos(t)

y​p​​(t)=2sin(t)

y=√​2​​​

1. ​2​​1​​π
2. π
3. 2π
4. 4π

Aantal seconden boven de lijn

                                                       geogebra

Deel van de baan boven de lijn

Omlooptijd:           Omtrek cirkel:

Dus: 

2sin(t)=√​2​​​

sin(t)=​2​​1​​√​2​​​

t=​4​​1​​π+k⋅2π

t=​4​​3​​π+k⋅2π

​4​​3​​π−​4​​1​​π=​4​​2​​π=​2​​1​​π seconden

2π

4π

​2π​​​2​​1​​π​​⋅4π=π

Theorie - trilling

• Een trilling is een periodieke beweging; het herhaalt steeds
• Voorbeeld: blokje aan een veer
• De tijd van 1 trilling heet de trillingstijd T:
• er geldt f = 1 / T
• f is de frequentie in Hertz [Hz]. Dit zijn het aantal trillingen per seconden

De harmonische trilling

Een gehele trilling is wanneer het blokje terug is bij de beginstand en de beweging herhaald.

Hoeveel trillingen worden er weergegeven

1 trilling

2 trillingen

4 trillingen

6 trillingen

1,5 trilling

2,5 trilling

3,5 trilling

8 trillingen

Theorie - uitwijking

• Bij een veer spreken we over de uitwijking: de afstand tot de evenwichtsstand
• de amplitude van de trilling, is de maximale uitwijking.

Bij de eenparige cirkelbeweging van het punt P beschreven door:

voert de projectie P' van P op de y-as een harmonische trilling uit die beschreven wordt door:

Trillingstijd: 

Frequentie:

Wat is de frequentie bij de volgende harmonische trilling?

u=6sin(10πt)

1. 6 Hz
2. 5Hz
3. 10Hz
4. 10πHz

Wat is de afgelegde afstand per trilling bij de volgende harmonische trilling
(voorbeeldantwoord: 30)

u=6sin(10πt)

Examenopgave 2025 tijdvak 1

vraag 3 en 4