Progresiones Aritméticas

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Progresion aritmética

Aquellas sucesiones que se obtienen al sumar un mismo valor a cada término anterior.

Progresión arimtética

A= {2,4,6,8,10,12,...}

Va de 2 en dos, entonces si le sumo 2 a un término obtengo el siguiente.

Terminología:

• Primer término =
• Término "n" = 
• Diferencia entre términos = d
• Cantidad de términos =  n

$$a_1$$

$$a_n$$

Regla de correspondencia:

$$A=\{5,7,9,11,13,...\}$$

$$a_1=5$$

$$a_2=5+2$$

$$a_3=5+2(2)$$

$$a_1=5$$

$$a_2=a_1+d$$

$$a_3=a_1+d(2)$$

$$a_4=5+2(3)$$

$$a_4=a_1+d(3)$$

Regla de correspondencia:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

Ejemplo:

Calcule el viigésimo término de una progresión aritmética con valor inicial 2 y diferencia de 7

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$a_1=2n=20d=7$$

$$a_{20}=2+7(20-1)$$

$$a_{20}=135$$

Ejemplo:

Calcule el término 81 de una progresión artimética con valor inicial -100 y una diferencia de 4

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$a_1=-100n=81d=4$$

$$a_{81}=-100+4(81-1)$$

$$a_{81}=220$$

No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$a_1=?n=20d=?$$

$$A=\{7,9,11,13,15,...\}$$

Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$a_1=7n=20d=2$$

$$a_{20}=7+2(20-1)$$

$$a_{20}=45$$

$$A=\{7,9,11,13,15,...\}$$

Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$a_1=?n=9d=?$$

$$A=\{\frac{1}{3},\frac{10}{21},\frac{13}{21},...\}$$

Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

$$a_1=\frac{1}{3}n=9d=\frac{1}{7}$$

$$a_9=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}(9-1)=\frac{1}{3}+\frac{8}{7}=\frac{31}{21}$$

$$A=\{\frac{1}{3},\frac{10}{21},\frac{13}{21},...\}$$

Ejemplo:

Si el octavo término de una progresión aritmética es 17 y el primer término es -4, ¿Cuál es la diferencia?

$$a_8=a_1+d(8-1)$$

$$17=-4+d(8-1)$$

$$a_8=17$$

$$21=7d$$

$$d=3$$

Ejemplo:

Si el primer término de una progresión aritmética es 4 y tiene una diferencia de 11, qué término está más cerca del 100 (recuerda que no hay términos fracción)

$$100=4+11(n-1)$$

$$100-4=11(n-1)$$

$$a_1=4d=11$$

$$\frac{96}{11}=n-1$$

$$9=n-1$$

$$n=10$$

Es necesario saber despejar, ¿necesitamos verlo?

Busqué algunos videos para recordarlo pero ninguno me convenció...

Despejes:

Series Aritméticas

La suma de términos de una progresión aritmética

Serie aritmética

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n$$

Serie aritmética

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n$$

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_1+(n-2)d)+...$$

Serie aritmética

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n$$

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_1+(n-2)d)+...$$

Sumamos las "d" de nuestro paréntesis:

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=(a_1+a_n)+(a_1+a_1+(n-1)d)+...=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...$$

Serie aritmética

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Serie aritmética

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

Ejemplo:

Obtener la serie aritmética hasta el término 11 de la siguiente progresión

$$A=\{2,6,10,14,...\}$$

$$a_1=2n=11d=4$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(11)=\frac{11}{2}(2(2)+(11-1)4)=\frac{11}{2}(4+(10)\cdot 4)=\frac{11}{2}(44)=242$$

Ejemplo:

Si la serie aritmética de 20 términos  es 590 y la distancia 3, Calcula valor inicial

$$a_1=?n=20d=3\sum =590$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$

$$590=\frac{20}{2}(2a_1+(20-1)3)$$

$$590=10(2a_1+57)$$

$$\frac{590}{10}=(2a_1+57)$$

$$59=(2a_1+57)$$

$$59-57=2a_1$$

$$\frac{2}{2}=a_1$$

$$a_1=1$$