Cirkelbeweging Theorie en Oefeningen

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4-6

Cirkelbeweging

In deze lessonup vind je (extra) theorie en oefenopgaven over het onderwerp: cirkelbeweging.
Deze zullen (deels) in de les doorgelopen worden.

Via de onderstaande links vind je nog extra oefenopgaven (en uitwerkingen).

Natuurkundeuitgelegd:  Oefenopgaven VWO - (Uitwerkingen)
Natuurkundeuitgelegd: Oefenopgaven HAVO - (Uitwerkingen)

Examenprogramma 2024

Hoeveel procent van je bewegingen zijn cirkelbewegingen (gemiddeld).

0100

Hier kun je vragen stellen over de hele stof (in aanloop naar de toets)

De snelheid die je hebt als je een cirkelbeweging maakt,
heeft de richting van de raaklijn aan de cirkel. 

Cirkelbeweging

-De tijd waarin één volledige cirkel wordt doorlopen noemt men de omlooptijd T.
-Bij een eenparige (cirkel)beweging geldt v = s / t, waar s de omtrek van de cirkel is.
-De formule voor de omtrek van een cirkel is s  = 2 π r (Binas 36)

-Hieruit volgt voor de baansnelheid van een eenparige cirkelbeweging: v = 2 π r / T

-De richting van de snelheid vind je door een raaklijn aan de cirkelbaan te tekenen.

-Bij een cirkelbeweging spreekt met ook wel van toerental. Een veelgebruikte eenheid hiervoor is 'rondjes per minuut' - r p m. Een toerental kan ook per seconde of uur etc. worden gegeven.

-Hoe groter het toerental, hoe kleiner de omlooptijd.

Tijdens een atletiekwedstrijd wordt de 1500 m gelopen via meerdere rondjes op een cirkelvormige baan met een straal van 48 m. De winnaar deed er 4 min 48,15 s over. Bereken hiervan de gemiddelde snelheid en de 'omlooptijd' (tijd van één rondje.

Tussentoets: cirkelbeweging

Maak de drie opgaven hieronder. Zorg voor een juiste oplossingsmethode: ALLES.

Antwoorden in het klein (inzoomen mogelijk). Antwoorden staan niet per se in juiste significantie!

Je kunt hier een foto van je berekeningen + antwoord van de vorige opdracht inleveren.

De snelheid is 

De straal van de bocht is

De massa van de auto is

De Fmpz in bocht 9 is

De a_mpz in bocht 9 is

Middelpuntzoekende kracht

-Om een voorwerp in een eenparige cirkelbeweging te houden, is een kracht nodig.
-Deze kracht 'trekt' het voorwerp steeds de bocht om en houdt hem in de cirkelbaan.

Er zijn twee eisen aan deze benodigde middelpuntzoekende kracht:

1. De kracht moet naar het middelpunt van de cirkel(baan) zijn gericht.

2. De grootte van de kracht moet gelijk zijn aan F = m v² / r

-De F_mpz is zelf geen aparte kracht: hij wordt geleverd door een andere kracht / krachten.

-Deze resulterende kracht van andere krachten kan dienst doen als benodigde Fmpz.
-Is de aanwezige Fres groter dan de benodigde Fmpz? De cirkelbeweging 'stort in / neer'.
-Is de aanwezige Fres kleiner dan de benodigde Fmpz? Het voorwerp 'vliegt uit de bocht'.

6c.

v = 218.. m/s

4

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=middelpuntzoekendekracht

5

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=eenheidmpz

6

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=fmpz

Middelpuntzoekende kracht

Voorbeeld 1:
Je gaat met een snelheid van 15 m/s boven door een looping van een achtbaan. De straal van de looping is op dat punt 8,0 m. Je massa is 78 kg.

Welke krachten werken er op je in het hoogste punt en in welke richting?

Om dit deel van de cirkelbeweging te kunnen maken is een middelpuntzoekende kracht nodig van Fmpz = m v² / r = 2193,75 N. De richting van de kracht is naar het middelpunt en dus (in het hoogste punt) loodrecht naar beneden. De zwaartekracht kan deze kracht dus leveren. De Fz = mg = 765,18 N. De beschikbare Fz is dus kleiner dan de benodigde Fmpz. Er is dus nog een kracht recht naar beneden nodig, ander zou je uit de bocht / baan vliegen. Deze wordt geleverd door de normaalkracht van de baan / de stoel van het karretje. Er werkt dus een kracht van de stoel op je van Fn = 2193,75 - 765,18 = 1428,57 N. Via de 3e wet van Newton 'actie = - reactie' oefen jijzelf dan een even grote kracht op de stoel uit. Het lijkt dus alsof je in je stoel gedrukt wordt met die kracht.

Veilig?

In deze situatie zou je dus zonder beugels / gordels veilig door de looping kunnen.

Middelpuntzoekende kracht

Voorbeeld 2:
Je gaat met een snelheid van 8 m/s boven door een looping van een achtbaan. 
De straal van de looping is op dat punt 8,0 m. Je massa is 78 kg. 

Welke krachten werken er op je in het hoogste punt en in welke richting?

Om dit deel van de cirkelbeweging te kunnen maken is een middelpuntzoekende kracht nodig van 

Fmpz = m v² / r = 624 N. De Fz = mg = 765,18 N. De beschikbare Fz is dus groter dan de benodigde Fmpz. Je dreigt dus neer te storten / een kleinere bocht te maken. Er is dus nog een kracht recht omhoog nodig, anders val je naar beneden. Deze wordt geleverd door de beugel / gordel van het karretje. Er werkt dus een kracht recht omhoog van de beugel op je van Fb = 765,18 - 624 = 141,18 N. Via de 3e wet van Newton 'actie = - reactie' oefen jijzelf dan een evengrote kracht naar beneden op de beugel uit. Je 'hangt' met die kracht 'aan/in' de beugel.

Veilig?

Zonder beugel zou je in het hoogste punt met een 'zwaartekracht' van 141,18 N uit het karretje naar beneden vallen.

Je slingert een blok met een massa van 750 g verticaal rond aan en touw van 60 cm lengte met een constant toerental van 48 rpm.

1. Bereken de omlooptijd van het blok

2. Bereken de snelheid van het blok

3. Bereken de voor het blok geldende grootte van de Fmpz

4. Bereken en teken de kracht(en) die in het laagste punt op het blok werken.

Je slingert een blok met een massa van 750 g vertikaal rond aan en touw van 60 cm lengte met een constant toerental van 48 rpm.

1. Bereken de omlooptijd van het blok

2. Bereken de snelheid van het blok

3. Bereken de voor het blok geldende grootte van de Fmpz

4. Bereken en teken de kracht(en) die in het laagste punt op het blok werken.

Uitwerking

1. T = 60/48 = 1,25 s = 1,3 s

2. v = 2πr/T = 2 π 0,6 / 1,25 = 3,01.. = 3,0 m/s

3. Fmpz = mv²/r = 0,750 x 3,01..² / 0,60 = 11,3.. = 11 N

4. Fz = 0,750 x 9,81 = 7,35...N omlaag

Fres moet omhoog met 11,3.. N. De spankracht moet dus EN de Fz opheffen EN de benodigde Fmpz leveren: Fs - Fz = Fmpz --> Fs = Fmpz + Fz = 18,7.. = 19 N (omhoog).

Op het blok werken dus twee krachten: Fz omlaag (7,35 N) en Fs omhoog (19 N).

Boven in een looping met een diameter van 18 m merk je dat je 'gewichtloos' bent: je wordt NIET in je stoel gedrukt en hangt ook NIET aan de beugel. Bereken de snelheid (in km/h) waarmee je de top van de looping doorloopt.
Gebruik je eigen massa. Reken eerst de Fz uit.

Tussentoets middelpuntzoekende kracht. Antwoorden staan niet per se in goede significantie!
1. Reken snelheid om naar m/s en g naar kg.  2. Reken kN om naar N en reken de snelheid uit via Fmpz. Reken om naar km /h (x 3,6) 3. Als het water niet uit de emmer valt geldt: Fz = (<) Fmpz.  1 L water is ongeveer 1 kg. Je kunt dan v berekenen. Met v en r kan je de omlooptijd berekenen. Hoe sneller je draait, hoe 'beter' (om niet uit de emmer te vallen). Het is dus een minimale  omlooptijd. (T kleiner = v groter).

COMBINATIESOM Energie en Cirkelbeweging

Een karretje van 35 kg rolt zonder beginsnelheid wrijvingsloos van een helling met een hoogte van 25 m naar een verticale looping die op de grond begint, en een diameter van 14 m heeft. In de looping ondervindt het karretje wel een (gemiddelde) wrijvingskracht van 90 N.

0. Maak een schets van de situatie met zoveel mogelijk gegevens op de juiste plekken.

a. Bereken de kinetische energie, zwaarte-energie en totale energie boven aan de helling. (0 - 8583,75 - 8583,75)

b. Bereken via een energievergelijking de snelheid onder aan de helling (h = 0 m). (22,15)

c. Teken + bereken in het laagste punt van de looping (begin) alle echte krachten die op het karretje werken (hoeft niet op schaal, wel goede richtingen). (343,35 - (2452,5) - 2795,85 - 90)

d. Bereken de arbeid die de wrijvingskracht verricht tussen het laagste en het hoogste punt van de beweging in de looping. (1979,20)
e. Bereken de zwaarte-energie in het hoogste punt van de looping. (4806,9)
f. Bereken de snelheid (via energie, arbeid / verlies) in het hoogste punt van de looping. (1797,64 - 10,13)

g. Teken + bereken in het hoogste punt van de looping alle krachten die op het karretje werken (hoeft niet op schaal, wel de goede richtingen). (343,35 - (513,61) - 170,26 - 90)

Je rolt zonder beginsnelheid van een helling met een hoogte van 25 m naar een looping die op de grond begint, en een diameter van 14 m heeft. In de looping ondervindt het karretje een gemiddelde wrijvingskracht van

Er zijn drie situaties: Boven aan de helling: I. Onder aan de helling / begin looping:II. Boven in de looping: III

a. Ez = m g h Ek = ½ m v²

b. EzI + EkI = EzII + Ek II (want geen verlies). EkI = 0 J (want zonder beginsnelheid) en EzII = 0 J (want h = 0 m) dus EzI (+0) = (wordt) EkII (+0). Je kunt de 8583,75 J dus gelijkstellen aan ½ m v². Hieruit volgt v = 22 m/s

c. Er werken in ieder geval de Fz (mg) en Fw (90N) op het karretje. Het karretje maakt dan NET de cirkel, dus is er een kracht recht omhoog (naar het middelpunt) nodig van (Fmpz=) m v² / r = 2452,5N. De enige kracht die omhoog KAN werken is in dat punt de normaalkracht Fn. De Fz werkt echter nog TEGEN! Er geldt dus Fmpz = (wordt geleverd door) Fn - Fz oftewel Fmpz = Fn - Fz --> Fn = Fmpz + Fz = 2795,85 = 2,8 10³N. Er zijn dus 3 echte krachten: Fz (3,4 10²N) recht omlaag, Fn (2,8 10³N) recht omhoog en Fw (90N) tegengesteld aan de snelheid (dus horizontaal).

d. W = F s. De s is hier de afgelegde weg, dus een HALVE cirkel. s = ½ (2 pi r) = 21,99 m. W = 21,99.. x 90 = 1979.. = 2,0 10³ Nm (of J).  e. Ez met h = 14 m
f. Er is in totaal onder aan de helling 8583,75 J aan energie beschikbaar. In de weg naar boven verlies je 1979..J. Boven in de looping heb je dus nog 6604.. J aan energie over. Deze gaat zitten in EkIII + EzIII. EzIII = 4806,9 J (vraag e.). Er blijft dus 6604.. - 4806,9 = 1797... J over voor de Ek. Gelijkstellen aan ½ m v² geeft v = 10 m/s.

g. In het hoogste punt werkt de Fz naar beneden (dus naar het middelpunt!). Het karretje maakt (nog steeds) een cirkel en heeft nu een Fmpz nodig van mv²/r = 513,6... N. De zwaartekracht is maar 343,35 N dus het karretje dreigt (een beetje) uit de bocht te vliegen. De resterende benodigde kracht van 513,6 - 343,35 = 170...N kan weer geleverd worden door de baan, dus de Fn die in het hoogste punt naar beneden is gericht (de baan is 'op zijn kop').

Er werken dus 3 krachten op het karretje: Fz + Fn beiden naar beneden) en Fw horizontaal tegengesteld aan de snelheid.

Opdracht Foton NU.
Extra vraag bij c.: wat is de richting (met een berekende hoek) van de kracht?

Uitwerking

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=bochtfmpzhavo

SOS-CAS-TOA
tan(<) = 850/3395 

geeft < = 14 graden

Het Heelal (CE: HAVO)

-Vroeger dacht met dan alles om de aarde draaide: geocentrische wereldbeeld
-Tegenwoordig geldt het heliocentrische wereldbeeld (we draaien om de zon).

-De aarde draait in 23:56 uur om zijn eigen as (en daarbij ook een stukje om de zon): Op aarde zelf duurt een dag hierdoor 24 uur.

-Op aarde geldt hierdoor dat ALLE hemellichamen 'opkomen in het oosten en weggaan in het westen'.

-De maan draait in ongeveer 27 dagen om de aarde.

-De maanfasen (nieuwe, halve, volle maan) ontstaan omdat we maar een deel van de (half verlichte) maan zien.

-De seizoenen ontstaan omdat de aarde een beetje scheef staat in zijn baan rond de zon.

-Het zonlicht valt in de 'zomer' loodrechter in dan in de winter; de energie wordt dan minder verdeeld over het oppervlak.

Binas: t31

Begrippen (leren!)

Planetoïden: rotsblokken in een stabiele baan om de zon, maar de klein om een planeet te zijn.
Komeet: voorwerpen in een langerekte, eliptische baan om de zon, die een 'staart' krijgen wanneer ze dicht bij de zon komen.

Meteoor:  steen/gruis dat de dampkring van de aarde raakt en daar verbrandt, ook wel 'vallende ster' genoemd.
Meteoriet: (rest van een) meteoor dat op aarde neerstort.

Applet (flash) maan

http://www.apporte.nl/schijngestalten.html

Het spectrum / wet van Wien (HAVO)

-Vanuit het heelal ontvangen wij allerlei soorten straling, waarvan licht maar een klein deel (tussen de 400 en 750 nm) is.

-Al deze straling samen noemen we het 'elektromagnetische (EM) spectrum' (T-19AB).

-Alle soorten EM-straling gaan (in vacuüm / lucht) met dezelfde snelheid: de lichtsnelheid 'c'.

-De straling gedraagt zich als golven, er geldt dus: v = f λ dus c = f λ. c = 2,99.. 10^8 m/s (T-7) 

-Elk uitgezonden lichtdeeltje (foton) heeft een energie van Ef = hf = h c/λ.

-Aan de samenstelling (verdeling) van het licht van sterren kan de (oppervlakte)temperatuur worden afgeleid.

-Hoe hoger de temperatuur, hoe meer 'kleine' golflengtes (hoge frequenties) er worden uitgezonden.

-De meest uitgezonden golflengte 'λmax' volgt uit de wet van Wien: kw = λmax T met kw = 2,89.. 10^-3 mK. (T-7)
-Hierin is λmax dus de golflengte die hoort bij de TOP van de stralingskromme.

Voor de stralingskromme hiernaast geldt:

1. λmax = 200 nm
2. λmax = 1500 nm
3. λmax = 1600 nm
4. Het goede antwoord staat er niet bij

1. Bepaal de oppervlaktetemperatuur van het voorwerp waarvan hiernaast de stralingskromme staat.
2. Welke kleur neem je waar als je naar het alle straling van dit voorwerp kijkt?

λmax

De λmax in de wet van Wien kw = λmax.T is dus
die golflengte die het meest wordt uitgezonden.

Je vindt deze waarde door de top van de
stralingskromme af te lezen, en wel op de x-as!

Oefenopgaven

Bepaal bij elke figuur de oppervlakte-temperatuur en de 'kleur' die wordt waargenomen.

λmax = 280nm
T = 1,0 10^4 K

Zeer blauw licht (3 x zoveel blauw als rood)

λmax = 520 nm
T = 5,6 10³ K

Wit licht (net zoveel blauw als rood)

λmax = 830 nm (820 - 840)
T = 3,5 10³ K (of 3,4 10³ K)

Zeer rood licht (6 x zoveel rood als blauw)

F​g​​=G​r​2​​​​mM​​

Waar staat de 'r' voor in de
formule van de gravitatiekracht?

F​g​​=G​r​2​​​​mM​​

Hoe groot is de G uit de
formule van de gravitatiekracht?

Gravitatiekracht

-Tussen elke twee voorwerpen met massa werkt een gravitatiekracht volgens:

-Wanneer bijvoorbeeld een satelliet stabiel rond de aarde draait, wordt de benodigde middelpuntzoekende kracht precies geleverd door deze gravitatiekracht.

-Hieruit volgt de formule van de exacte (baan)snelheid voor deze satelliet:

-Wanneer de formule voor de baansnelheid (v = 2πr/T) wordt gebruikt, krijg je de wet van Kepler:

F​g​​=G​r​2​​​​mM​​

v=​​​√​​r​​GM​​​​​

​T​2​​​​r​3​​​​=​4π​2​​​​GM​​

1. Schrijf de formule voor Fg op en om naar r = ... M = ... m = ... en G = ... (T35-A5)

2. Bereken de Fg tussen twee voorwerpen van 150 en 300 ton die 20 m van elkaar verwijderd zijn.

3. Bereken met de formule van Fg de kracht van de planeet Mars op jou als je op het oppervlakte staat. (T31)

Bereken de Fg tussen jou
en je buurman/ buurvrouw.

Bereken de Fg tussen jou
en de aarde (straal en massa aarde Binas T31).

Tussentoets Gravitatiekracht.  Antwoorden staan NIET per se in juiste significantie!
A. De omtrekt van de cirkelbaan. Denk aan de hoogte (r = Rplaneet + hoogte). B. Formule invullen met massa planeet en massa satelliet. Gebruik r uit A. (Niet de omtrek!). C. Stel Fmpz gelijk aan Fg of gebruik direct v = wortel (GM/r). D. Bij vraag A heb je de afstand. Bij vraag C. heb je de snelheid. 

Gravitatie-energie

GRAVITATIE-ENERGIE
Wat is de formule voor zwaarte-energie?

1. Ez= ½ m v²
2. Ez = ½ C u²
3. Ez = m g h
4. Ez = rm . m

GRAVITATIE-ENERGIE
Wat is de formule voor arbeid?

1. A = F s
2. W = F s
3. A = F / s
4. W = F / s

GRAVITATIE-ENERGIE

Gravitatie-energie is de arbeid die de gravitatiekracht verricht. Waarom kan je de formule van arbeid (W = F s) toch niet zomaar gebruiken wanneer je je omhoog beweegt?

1. Omdat deze alleen geldt voor de zwaartekracht Fz
2. Omdat de gravitatiekracht heel groot is.
3. Omdat de gravitatiekracht heel klein is.
4. Omdat de gravitatiekracht niet constant is.

Gravitatie-energie (CE: VWO)

Gravitatie-kracht                        .....                                                           ..... via arbeid .......                                               naar gravitatie-energie!

Gravitatie-energie; ontsnappingssnelheid.

E​g​​=−G​r​​Mm​​

Ontsnappingssnelheid

Gravitatie-energie (CE: VWO)

-Voor de gravitatie-energie geldt: Eg = -G mM/r.

-Gravitatie-energie is de oppervlakte onder het Fg,r-diagram.
-De Eg is altijd negatief. In het 'oneindige' is de energie op 0 J 'afgesproken'.
-Hoe verder je van je 'centrum' af bent, hoe groter (een kleinere negatieve waarde) de Eg.
-Om te kunnen 'ontsnappen' moet je in het 'oneindige' nog minimaal 0 J energie hebben.

-Via de wet van behoud van energie, moet je dus ook bij vertrek 0 J of meer hebben.

-Hieruit volgt voor de ontsnappingssnelheid de formule rechtsonder:

Gravitatie-energie (CE: VWO)

Gravitatie-energie (CE: VWO)

Maak opgave 19(c) van Natuurkunde Uitgelegd (of lever je reeds gemaakte werk in. 

Gewichtloosheid (CE: VWO)

-Je noemt een voorwerp gewichtsloos als het niet met een kracht op een ander voorwerp drukt.

Dit kan op verschillende manieren:

-Er werkt geen enkele kracht op het voorwerp (dit komt haast nooit voor).

-Er is sprake van een 'vrije val' (een val zonder luchtwrijving of in een omgeving die net zo snel 'meevalt' met het voorwerp).

-Er is sprake van een (deel van een) cirkelbeweging, waar de aanwezige gravitatiekracht exact zo groot zijn als de benodigde middelpuntzoekende kracht.

       Dit laatste treedt bijv. op als iets in een (stabiele) baan rond de aarde draait.

Toen meneer van Aken nog haar had..

https://www.youtube.com/embed/mG0L9ly9zXs?start=30&end=64

Tussentoets Gravitatie. Antwoorden staan niet per se in juiste significantie.
A. Denk aan r = Raarde + hoogte B. Begin met Eg + Ek = 0 (want in oneindige is Etotaal ook 0)

C. Invullen van de formule. M massa van de aarde. r zelfde als in opgave A.

D. Twee situaties met elk 3 energieen. Eg,aarde + Eg,maan + Ek. Van de beginsituatie kan je alle energieen uitrekenen. Dit is dan ook de totale energie bij de maan. Daar is alleen Ek onbekend. 

Fouten en suggesties

Heb je een fout gevonden in deze Lessonup, op de website of in het filmpje?

Geef het door via het foutenformulier!

Bedankt voor je inzet!