Samenvatting H3 - 4M

Goniometrie

Pythagoras

Gelijkvormigheid

Hellingspercentage

1 / 32

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, t, mavoLeerjaar 3

This lesson contains 32 slides, with text slides and 4 videos.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Goniometrie

Pythagoras

Gelijkvormigheid

Hellingspercentage

Slide 1 - Slide

Bewoording

De stelling van Pythagoras luidt:
Kz² + kz²= lz²
Deze kreten kz en lz gebruiken we om het begrip te verhogen vanaf klas 2. Officieler is de stelling:
rechthoekszijde² + rechthoekszijde² = schuine zijde²

Slide 2 - Slide

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Slide 3 - Slide

Zijden berekenen

De zijden van een driehoek kun je berekenen met:

1. Pythagoras: zowel een korte zijde als een lange zijde berekenen.

Bij rechthoekige driehoeken, waar je 2 zijden van weet.

2. Goniometrie: tangens, sinus en cosinus.

Bij rechthoekige driehoeken, waar je een zijde en een hoek van weet.

3. Gelijkvormigheid: met een verhoudingstabel.

Wanneer je van 2 driehoek weet dat ze gelijk van vorm zijn.
Dit kun je zien aan gelijke tekens in hoeken en zijden, aan overstaande
hoeken en eigenschappen van figuren.

Slide 4 - Slide

1. Pythagoras - Schema

Voorbeeld van de methode met het schema.
Bereken zijde PR.
kz²= PQ²= 12²= 144 kz²= QR²= 5² = 25 + lz²= PR²= ... = 169

PR = V169 = 13
Dus PR = 13.

Rechthoekige driehoek 2 zijden bekend

Slide 5 - Slide

1. Pythagoras - Verkort

Het kan ook met de verkorte stelling van Pythagoras.

Om een lange zijde te berekenen gebruik je:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je:

k z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ l z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

l z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Rechthoekige driehoek 2 zijden bekend

Slide 6 - Slide

1. Pythagoras - Verlengd (schema)

Om de lichaamsdiagonaal uit te rekenen doe je het volgende.

lengte²= kz²= AB² = 6²= 36
breedte² = kz² = BC² = 3² = 9
hoogte²= kz² = CG² = 5² = 25 +
lich.dia²= lz² = AG² = ... = 70AG = V70 = 8,366...
Dus AG is ca. 8,4

In ruimtefiguren

Slide 7 - Slide

1. Pythagoras - Verlengd (verkort)

Dus onthoudt de verlengde stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde zou moeten uitrekenen, zou je de volgende formule gebruiken:

k z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ l z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

l z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

In ruimtefiguren

Slide 8 - Slide

2. Goniometrie - Ezelsbruggetje

Slide 9 - Slide

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Slide 10 - Slide

2. Goniometrie: zijden berekenen

Stappenplan:

Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
Bekijk of je de sinus, cosinus of tangens nodig hebt. (SOS,CAS of TOA)
Vul de namen van de zijden en de hoek in.
Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
Gebruik de 6-3-2-driehoek bij de berekening.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.

Rechthoekige driehoek

1 zijde en 1 hoek bekend

Slide 11 - Slide

6-3-2-driehoek

6 = 3 X 2

3 = \frac{​ 6 ​ ​}{​ 2 ​}

2 = \frac{​ 6 ​ ​}{​ 3 ​}

Slide 12 - Slide

37⁰

Bereken AB

cos ∠ B = \frac{​ A B ​ ​}{​ B C ​}

C = \frac{​ A ​ ​}{​ S ​}

cos 37 ° = \frac{​ A B ​ ​}{​ 5 ​}

A B = cos 37 ° \cdot 5

D u s A B \approx 4 c m

= 3, 993 . . .

Slide 13 - Slide

3. Gelijkvormigheid

Stappenplan:

Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
Maak een tabel.
Bekijk welke hoeken even groot zijn. Vul dit in de tabel in.
Schrijf de zijden in je tabel, let er op dat de zijden waarvan de hoeken even groot zijn onder elkaar staan.
Bekijk hoe je van de bovenkant op de lengtes in de onderkant kunt komen
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.

2 driehoeken die een zelfde vorm hebben

Slide 14 - Slide

∠ S = ∠ S (o v e r s t a a n d e h o e k e n)

1 2

∠ D = ∠ B (Z - h o e k e n)

∠ C = ∠ A (Z - h o e k e n)

Δ S C D

Δ S A B

SC = 1,5

SA = 6

CD = ...

AB = 7

SD = ...

SB = 4,5

6 : 1,5 = 4, dus vergrotingsfactor = 4.

CD = 7 : 4 = 1,75

SD = 4,5 : 4 = 1,125

Dus CD = 1,75 cm en SD = 1,125 cm

Bereken zijde SD en CD.

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Tips: Hoeken berekenen

Een hoek van een rechthoekige driehoek, waarvan je 2 zijden weet, bereken je met Goniometrie.

Tips bij Goniometrie:

Onthoud SOSCASTOA en waar het voor staat.
Schrijf de berekening uitgebreid op: overzicht en niks overslaan.
Weet je de hoek, dan gebruik je de sinus, cosinus en tangens.
Reken je de hoek uit (weet je die niet), dan gebruik je de inverse sinus (sin^-1), inverse cosinus (cos^-1) en inverse tangens (tan^-1).

Slide 17 - Slide

Terugblik: Tangens

Nu gaan ze als volgt heten:

Dus is de formule voor tangens:
Onthoud dit met het ezelsbruggetje: TOA

R C = \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​}

= \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

= tan h e l l i n g s h o e k

tan h o e k = \frac{​ o v e r s t a a n d e . r e c h t h o e k s z i j d e ​ ​}{​ a a n l i g g e n d e . r e c h t h o e k s z i j d e ​}

tan h e l l i n g s h o e k = \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

tan

Slide 18 - Slide

Terugblik: Tangens

Met de tangens kun je de grootte van een hoek in graden vinden, mits je weet hoe lang de rechthoekszijden zijn.

Hiervoor gerbuiken we de inverse tangens, op je rekenmachine is dat tan^-1.

Deze vind je door op je rekenmachine shift -> tan te doen.

Staan alle rekenmachines juist ingesteld????

Slide 19 - Slide

Terugblik: Tangens

Vul de tangens formule in:
Vul de gegevens in die je weet:
Als je de hoek wilt uitreken doe je vervolgens: (officieel foute notatie)

tan ∠ A = \frac{​ B C ​ ​}{​ A B ​}

tan ∠ A = \frac{​ 1 7 ​ ​}{​ 4 0 ​}

∠ A = tan^{​ - 1 ​ ​} (\frac{​ 1 7 ​ ​}{​ 4 0 ​}) = 23, 025 . . .

∠ A = tan^{​ - 1 ​ ​} (17 : 40) = 23, 025 . . .

B e r e k e n ∠ A

Dus

∠ A \approx 2 3^{​ 0 ​ ​}

Slide 20 - Slide

Terugblik: Hoekensom

Deze kon ook anders, aangezien we
Hoek A al wisten voor we C gingen

berekenen. Immers:

Dit doen we met de hoekensom van een driehoek. Wat is dit ook alweer?

Alle hoeken van een driehoek samen zijn 180^o.

B e r e k e n ∠ C

∠ A = 23, 025 . . .

∠ C = 180 - ∠ B - ∠ A (H o e k s o m Δ)

∠ C = 180 - 90 - 23, 025 . . . = 66, 974 . . .

∠ C \approx 6 7^{​ 0 ​ ​}

Slide 21 - Slide

Terugblik: Drieletternotatie

L A₁=?
L A₁=L IAB
L A₂=?
L A₂ = L BAC
L A₁₂= L IAC

Slide 22 - Slide

Terugblik: Goniometrie

Slide 23 - Slide

Goniometrie

Slide 24 - Slide

Terugblik: Stappenplan gonio

Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
SOS,CAS of TOA - wat is bekend van de driehoek en wat moet je weten?
Vul de namen van de zijden en de hoek in.
Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
- Is de hoek gegeven? Gebruik de 6-3-2-driehoek om de gevraagde hoek
uit te rekenen.
- Is de hoek niet gegeven? Gebruik de inverse om de gevraagde zijde uit
te rekenen.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.

Slide 25 - Slide

Terugblik: Pythagoras of gonio

Hoek gevraagd?

Weet je twee hoeken --> gebruik hoekensom.
Weet je twee zijden --> gebruik (inverse) goniometrie. (sin^-1, cos^-1, tan^-1)

Zijde gevraagd?

Weet je één zijde èn één hoek --> gebruik goniometrie. (sin, cos, tan)
Weet je twee zijde -->, gebruik pythagoras.

Bij Rechthoekige driehoek

Maak een schets

Slide 26 - Slide

Terugblik: Stappenplan tan i.d. ruimte

Maak een schets van het vlak waar de gevraagde hoek in zit, schrijf hier de afmetingen die je weet bij en zoek de rechthoekige driehoek.
- Weet je voldoende van deze driehoek om de tangens te gebruiken? -> 5
- Mis je nog een zijde van deze driehoek? -> 3
Schets het vlak waar de missende zijde ook in zit, schrijf hier alle afmetingen bij en zoek de rechthoekige driehoek die je nodig hebt.
Bereken met goniometrie of pythagoras de missende zijde. Schrijf deze in de eerste schets.
Bereken met de tangens de hoek die in de opgave gevraagd wordt.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin, dus tussendoor NIET afronden.

Slide 27 - Slide

Tips: Zijden berekenen

De steilheid van een helling wordt aangegeven met een hellingspercentage.

Deze bereken je met de tangens:
hellingspercentage = tan hellingshoek x 100
Afspraak: hellingspercentage rond je af op gehelen.
Wanneer je het hellingspercentage hebt, dan kun uitrekenen hoe groot de hoek is door:
tan hellingshoek = hellingspercentage : 100
Bij de berekening heb je uiteindelijk de inverse tangens nodig (tan^-1)