§8.2 Ruimtemeetkunde: examenopgaven (leerjaar 4)

• New lesson editor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t

Introduction

Leerlingen oefenen met examenvragen over inhoud, oppervlakte, lichaamsdiagonaal, hoeken, vergroten en coördinaten in de ruimte. Les bij Getal & Ruimte vmbo-kgt (mavo) leerjaar 4, hoofdstuk 8 Ruimtemeetkunde, paragraaf 8.2. Met startvraag, theorie, opdrachten Kennis en Toepassing, een Verderkijker en de checklist leerdoelen.

8

Ruimtemeetkunde

Paragraaf 8.2

Ruimtemeetkunde: examenopgaven

Een kist, een wig, een ijshoorn: kun jij ze met meerdere stappen doorrekenen zoals op het examen?

Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)

Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 8 Ruimtemeetkunde, paragraaf 8.2 Ruimtemeetkunde: examenopgaven. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

8.2  Ruimtemeetkunde: examenopgaven

Leerdoelen

8.2.1

Je kunt een ruimtemeetkundige examenvraag in stappen aanpakken en uitrekenen.

8.2.2

Je kunt inhoud, oppervlakte, diagonaal en hoek in ruimtefiguren berekenen.

8.2.3

Je kunt de uitkomst netjes afronden en de juiste eenheid noteren.

De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Startvraag

De bus pindakaas

Een bus pindakaas is een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 12 cm. Hoeveel pindakaas past er ongeveer in?

A

Ongeveer 377 cm³

B

Ongeveer 3.770 cm³

C

Ongeveer 942 cm³

D

Ongeveer 314 cm³

r = 5 cm, I = π · 5² · 12 ≈ 942 cm³. 377 komt uit π · 10 · 12: de diameter in plaats van r² gebruikt. 3.770 komt uit π · 10² · 12: de diameter als straal. 314 is het antwoord met de ⅓ van een kegel. Doorvraag: hoeveel dl is dat? (ongeveer 9,4).

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Zo pak je een examenopgave aan

• Teken of bekijk de figuur en zet alle maten erbij.

• Welke ruimtefiguur is het en welke formule hoort erbij?

• Zoek tussenstappen: een zijde met Pythagoras, een hoek met sin, cos of tan.

• Reken met de exacte getallen door en rond pas aan het eind af.

• Schrijf de eenheid erbij: cm, cm², cm³ of liter.

Bij laat zien dat schrijf je elke stap op, ook het getal dat je moet krijgen.

Deze aanpak levert op het examen punten op: de tussenstappen tellen mee, ook als het eindantwoord fout is. Bij bereken hoort een rekenstap, bij licht toe een korte uitleg in woorden, bij laat zien dat een volledige berekening die uitkomt op het gegeven getal. Vraag: wat is het verschil tussen bereken en laat zien dat? Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Voorbeeldopdracht 1

Een aquarium (balk) is 60 cm lang, 30 cm breed en 40 cm hoog. Het water staat 5 cm onder de rand. Laat zien dat er 63 liter water in zit.

gegeven

water: 40 − 5 = 35 cm hoog

uitwerking

I = 60 · 30 · 35 = 63.000 cm³

1 dm³ = 1 liter en 1 dm³ = 1.000 cm³

63.000 cm³ = 63 dm³

antwoord

Er zit 63 liter water in het aquarium

Hier moet je het eindgetal bereiken. Veel gemaakte fout: de hoogte van 40 cm gebruiken in plaats van de waterhoogte van 35 cm, dan kom je op 72 liter. Ook vaak: vergeten om cm³ naar liter om te rekenen (door 1.000). Vraag: hoeveel liter past er in het aquarium als het helemaal vol is? (72) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Een kubus wordt met factor 3 vergroot. Vul in.

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Kennis

1

Alle lengtes worden 3 keer zo groot.

De oppervlakte wordt 9 keer zo groot.

De inhoud wordt 27 keer zo groot.

3

9

27

6

12

Lengte k = 3, oppervlakte k² = 9, inhoud k³ = 27. De afleiders zijn veelgemaakte fouten: 6 is 3 · 2 voor de oppervlakte, 12 is 3 · 4 voor de inhoud. Vraag: wat gebeurt er met de inhoud bij factor 0,5? (een achtste van het origineel)

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

2

Een ijshoorn is een kegel (r = 3 cm, h = 12 cm). Hoeveel cm³ past erin, afgerond op een geheel getal?

A

38 cm³

B

113 cm³

C

339 cm³

D

452 cm³

I = ⅓ · π · 3² · 12 = 36π ≈ 113 cm³. 339 komt uit π · 3² · 12: de ⅓ vergeten. 452 komt uit ⅓ · π · 6² · 12: de diameter als straal. 38 komt uit ⅓ · π · 3 · 12: r in plaats van r². Doorvraag: past er een bolletje met doorsnede 4 cm in? Inhoud 4/3 · π · 2³ ≈ 33,5 cm³, dus ja. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

3

Een hengel ligt schuin in de kist. Hoe lang is de langste hengel die past, in cm?

AC² = 120² + 90² = 22.500, dus AC = 150 cm. AG² = 150² + 80² = 28.900, dus AG = 170 cm. Wie 290 antwoordt, telt 120 + 90 + 80 op. Wie 150 antwoordt, blijft bij de diagonaal van het grondvlak steken. Doorvraag: past een hengel van 1,75 m? (nee, 175 is groter dan 170). Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

4

Bereken de oppervlakte van het schuine, rechthoekige vlak van deze wig in cm².

De schuine zijde van de driehoek is √(40² + 30²) = 50 cm. Het schuine vlak is een rechthoek van 50 bij 60 cm: 3.000 cm². Wie 1.200 antwoordt, neemt 40 · 30 (de driehoek); wie 2.400 antwoordt, neemt 40 · 60 (het grondvlak). Vraag: wat is de inhoud van de wig? (36.000 cm³) Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

5

Een model van een silo op schaal 1 : 40 heeft een inhoud van 0,5 liter. Bereken de inhoud van de echte silo in m³.

De inhoud wordt 40³ = 64.000 keer zo groot: 0,5 · 64.000 = 32.000 liter = 32 m³ (1 m³ = 1.000 liter). Wie 20 antwoordt, doet 0,5 · 40 (de lengtefactor). Wie 800 antwoordt, doet 0,5 · 40² (k²) en rekent dan om. Doorvraag: hoeveel verf heeft de echte silo nodig als het model 0,02 liter kreeg? (k² = 1.600 keer zoveel, dus 32 liter)

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

★ 6

Bereken de hoek tussen ribbe TA en het grondvlak. Rond af op 1 decimaal.

Het grondvlak is een vierkant van 6 bij 6, AC = 6√2 ≈ 8,49 en AM = ½ · AC = 3√2 ≈ 4,24. In de rechthoekige driehoek TMA geldt tan(∠TAM) = TM : AM = 4 : 4,24 ≈ 0,943, dus de hoek is ≈ 43,3°. Wie 33,7° antwoordt, gebruikt AM = 6 (tan⁻¹(4 : 6)). Wie 46,7° antwoordt, heeft de hoek bij T berekend. Doorvraag: hoe lang is ribbe TA? (√34 ≈ 5,8 cm) Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Opdrachten Toepassing

7

Een drone vliegt rechtdoor van P(2, 1, 0) naar Q(8, 4, 2), maten in meter. Hoe ver vliegt hij?

A

7 m

B

6,7 m

C

11 m

D

49 m

Verschillen: Δx = 6, Δy = 3 en Δz = 2. PQ² = 36 + 9 + 4 = 49, dus PQ = 7 m. 6,7 m laat de hoogte (Δz) weg. 11 m telt 6 + 3 + 2 op. 49 m is de wortel vergeten. Vraag: onder welke hoek stijgt de drone? Het grondverschil is √45 ≈ 6,7 m, dus tan⁻¹(2 : 6,7) ≈ 16,6°.

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

V E R D E R K I J K E R

Drie tennisballen in een koker

Drie tennisballen (straal 3,3 cm) passen precies in een koker van 19,8 cm hoog. Hoeveel procent van de koker is gevuld? Reken met 4/3 · π · r³ en π · r² · h en kijk wat er met de straal gebeurt.

De ballen vullen 3 · 4/3 π r³ = 4π r³, de koker heeft π r² · 6r = 6π r³. De verhouding is 4 : 6 = 2/3, dus ongeveer 67%, ongeacht de straal. In getallen: 3 · 150,5 ≈ 451,6 cm³ van de 677,4 cm³. Een mooie koppeling met de verhouding 1 : 2 : 3 uit de theorie. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.2

Checklist leerdoelen

Welk leerdoel vind je nog het lastigst?

1

8.2.1 Examenvragen in stappen aanpakken

2

8.2.2 Inhoud, diagonaal en hoek

3

8.2.3 Afronden en eenheden

4

Ik kan ze allemaal

In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.

8.2

Klik hier

voor meer kant-en-klare themalessen

Image credit: LessonUp