Propiedades y De Morgan

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Propiedades de conjuntos.

Unión:

$$A\cup A=A$$

$$A\cup A^c=U$$

Propiedad conmutativa

$$A\cup B=B\cup A$$

Propiedad asociativa

$$A\cup B\cup C=A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$

Intersección:

$$A\cap A=A$$

$$A\cap A^c=\Phi$$

Propiedad conmutativa

$$A\cap B=B\cap A$$

Propiedad asociativa

$$A\cap B\cap C=A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$$

Diferencia:

$$A-A=\Phi$$

$$A-A^c=A$$

Propiedad conmutativa

$$A-B\ne B-A$$

Propiedad asociativa

Para que exista la propiedad asociativa debe de existir la conmutativa

Operaciones con conjunto vacío

El conjunto vacío en una operación va a mostrar características especiales:

$$A\cup \Phi$$

¿Cual será el resultado de?

Al unir algo con el vacío

$$A\cup \Phi =A$$

$$A\cap \Phi$$

¿Cual será el resultado de?

Intersección con vacío:

$$A\cap \Phi =\Phi$$

$$A-\Phi$$

¿Cual será el resultado de?

Diferencia con vacío:

$$A-\Phi =A$$

$${\Phi }^c$$

¿Cual será el resultado de?

Complemento del vacío:

$${\Phi }^c=U$$

Operaciones con conjunto universo

El conjunto universo en una operación va a mostrar características especiales:

$$A\cup U$$

¿Cual será el resultado de?

Al unir algo con el universo

$$A\cup U=U$$

$$A\cap U$$

¿Cual será el resultado de?

Intersección con universo:

$$A\cap U=A$$

$$A-U$$

¿Cual será el resultado de?

Diferencia con universo:

$$A-U=\Phi$$

$$U^c$$

¿Cual será el resultado de?

Complemento del universo:

$$U^c=\Phi$$

Complementos múltiples

El complemento nos entrega aquellos elementos que están fuera del conjunto. Por lo que:

$$(A^c{)}^c=A$$

Propiedad distributiva (Unión e intersección)

Funciona como un producto algebraíco cuando tenemos dos operaciones diferentes

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$

Leyes de DeMorgan

La negación de una operación entre conjuntos.

Leyes de DeMorgan

La negación de una operación entre conjuntos.

$$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$$

$$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$$

Resumen

Asociativa

Conmutativa

$$A\cup B=B\cup A$$

$$A\cap B=B\cap A$$

$$A-B\ne B-A$$

$$A\cup B\cup C=A\cup (B\cup C)$$

$$A\cap B\cap C=A\cap (B\cap C)$$

Distributiva

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

DeMorgan

$$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$$

$$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$$

Unión

$$A\cup A=A$$

$$A\cup A^c=U$$

$$A\cup U=U$$

$$A\cup \Phi =A$$

Intersección

$$A\cap A=A$$

$$A\cap A^c=\Phi$$

$$A\cap U=A$$

$$A\cap \Phi =\Phi$$

Y todo esto, ¿Para qué?

$$(A\cap B)\cup (A\cap B^c)$$

Y todo esto, ¿Para qué?

$$(A\cap B)\cup (A\cap B^c)$$

$$A\cap (B\cup B^c)$$

Aplicando la propiedad distributiva (factorización)

Y todo esto, ¿Para qué?

$$(A\cap B)\cup (A\cap B^c)$$

$$A\cap (B\cup B^c)$$

Aplicando la propiedad distributiva (factorización)

La unión de un conjunto y su complemento es U

$$A\cap U=A$$

Ejemplo 2

$$((A^c\cap B{)}^c\cap (A\cup B){)}^c$$

Ejemplo 2

$$((A^c\cap B{)}^c\cap (A\cup B){)}^c$$

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

$$(A^c\cap B)\cup (A\cup B{)}^c$$

Ejemplo 2

$$((A^c\cap B{)}^c\cap (A\cup B){)}^c$$

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

$$(A^c\cap B)\cup (A\cup B{)}^c$$

Sigue habiendo un complemento afectando a todo un paréntesis...

$$(A^c\cap B)\cup (A^c\cap B^c)$$

Ejemplo 2

$$((A^c\cap B{)}^c\cap (A\cup B){)}^c$$

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

$$(A^c\cap B)\cup (A\cup B{)}^c$$

Sigue habiendo un complemento afectando a todo un paréntesis...

$$(A^c\cap B)\cup (A^c\cap B^c)$$

Propiedad distributiva

$$A^c\cap (B\cup B^c)=A^c\cap U=A^c$$

Ejemplo 3

$$((A\cap B{)}^c\cap (A^c\cup B){)}^c\cup ((C\cup D{)}^c\cup (C^c\cap D){)}^c$$

$$((A\cap B)\cup (A^c\cup B{)}^c)\cup ((C\cup D)\cap (C^c\cap D{)}^c)$$

$$((A\cap B)\cup (A\cap B^c))\cup ((C\cup D)\cap (C\cup D^c))$$

$$((A\cap (B\cup B^c))\cup (C\cup (D\cap D^c))$$

Ejemplo 3

$$((A\cap (B\cup B^c))\cup (C\cup (D\cap D^c))$$

$$((A\cap (U)\cup (C\cup (\Phi ))$$

$$A\cup C$$