Arbeid en vermogen (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• New lesson editor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitleg over arbeid onder een hoek, positieve en negatieve arbeid, het (F,s)-diagram, vermogen en P = F·v, kinetische energie en ΣW = ΔEk. Vwo, syllabus C2.1 en C2.2, met foto's, twee animaties, een figuur en checks.

Paard trekt een schuit, Kennet and Avon Canal (publiek domein)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Arbeid en vermogen

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C2.1, C2.2. Image credit: Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan arbeid onder een hoek, uit een (F,s)-diagram en als ΣW = ΔEk gebruiken en het vermogen van een kracht berekenen.

Welke woorden horen bij een kist die je met een touw schuin omhoog over een helling trekt?

Verwacht: kracht, hoek, helling, wrijving, zwaartekracht, energie, snelheid, arbeid. Gebruik die woorden in de les: niet elke kracht verricht arbeid, en de hoek bepaalt of die positief, nul of negatief is. Syllabus C2.1 en C2.2.

Paard trekt een schuit, Kennet and Avon Canal (publiek domein)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Arbeid onder een hoek

• Een kracht F die een voorwerp over een afstand s verplaatst, verricht arbeid W.

• W = F·s·cos α: W in J, F in N, s in m. α is de hoek tussen F en de verplaatsing.

• Alleen de component F·cos α in de bewegingsrichting verricht arbeid.

• Voorbeeld: 180 N onder 25° over 40 m geeft W = 180 × 40 × cos 25° = 6,5·10³ J.

Syllabus C2.1: berekeningen met kracht, verplaatsing, arbeid; formule W = F·s·cos α (staat in je informatieboek). Eenheid joule: 1 J = 1 N·m. Controle: 180 × 40 = 7200; cos 25° = 0,9063; 7200 × 0,9063 = 6525 J, dus 6,5·10³ J (twee significante cijfers door 40 m en 25°). Kijkvraag bij de foto: welke hoek maakt de trekkracht met de verplaatsing, en welk deel van de kracht doet het werk? Veelgemaakte fout: sin in plaats van cos nemen, of de rekenmachine op radialen laten staan. Image credit: Wikimedia Commons, publiek domein

Animatie: arbeid hangt af van de hoek

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Positief, nul of negatief

• α < 90°: cos α > 0, dus positieve arbeid: de kracht geeft energie aan het voorwerp.

• α = 90°: W = 0. Normaalkracht en zwaartekracht verrichten geen arbeid bij een horizontale verplaatsing.

• α > 90°: negatieve arbeid, zoals de wrijvingsarbeid bij α = 180°: de kracht neemt energie weg.

• Kijk naar de balk: F en s blijven gelijk, maar W gaat van +200 J via 0 J naar −200 J.

Syllabus C2.2: vakbegrippen (positieve en negatieve) arbeid en wrijvingsarbeid. In de animatie F = 40 N en s = 5,0 m: W = 40 × 5,0 × cos α geeft +200 J bij 0°, +100 J bij 60°, 0 J bij 90°, −141 J bij 135° en −200 J bij 180°. Controle: 40 × 5,0 = 200; cos 60° = 0,5; cos 135° = −0,707. Kijkvraag: bij welke hoek verandert het teken van de arbeid? Bij 90°. Veelgemaakte fout: denken dat negatieve arbeid 'geen arbeid' is; het is energie die aan het voorwerp wordt onttrokken. Image credit: Eigen animatie

Kabelbaan in Turku, 2019 (foto: Kotivalo, CC0)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Zwaartekracht op een helling

• Op een helling met hoek β maakt Fz = m·g een hoek van 90° + β met de verplaatsing omhoog.

• Wz = −m·g·s·sin β omhoog (negatief); omlaag is het +m·g·s·sin β (positief).

• De normaalkracht staat loodrecht op de helling: Wn = 0 J.

• Voorbeeld: 75 kg over 120 m langs 20° omhoog: Wz = −75 × 9,81 × 120 × sin 20° = −3,0·10⁴ J.

Syllabus C2.1 en C1.3 (krachten ontbinden met goniometrie). cos(90° + β) = −sin β. Controle: 75 × 9,81 = 735,75; × 120 = 88290; sin 20° = 0,3420; 88290 × 0,3420 = 30198 J, dus −3,0·10⁴ J. De zwaartekrachtarbeid komt terug als zwaarte-energie in het onderwerp Energiebehoud; hier rekenen we alleen met arbeid. Kijkvraag bij de foto: welke krachten verrichten arbeid op de cabine als die omhoog rijdt? Veelgemaakte fout: de hoek van de helling direct als α invullen. Image credit: Kotivalo / Wikimedia Commons, CC0

Je draagt een tas van 8,0 kg met constante snelheid 20 m horizontaal. Hoeveel arbeid verricht de zwaartekracht?

A

1,6·10³ J

B

0 J

C

−1,6·10³ J

D

1,6·10² J

Fz staat loodrecht op de verplaatsing: α = 90°, cos 90° = 0, dus W = 0 J. Afleiders: m·g·s met plus of min (8,0 × 9,81 × 20 = 1,6·10³ J) en g vergeten (8,0 × 20 = 1,6·10² J). Syllabus C2.1.

Vul in

Bij α = 180° is cos α = −1: de wrijvingskracht verricht dan negatieve arbeid en onttrekt energie aan het voorwerp.

180°

−1

negatieve

90°

+1

Syllabus C2.2: negatieve arbeid en wrijvingsarbeid. Veelgemaakte fout: α = 90° kiezen (dan is de arbeid nul, niet negatief).

Kracht tegen verplaatsing (1 hokje = 1 m bij 20 N)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Arbeid uit een (F,s)-diagram

• Is F niet constant, dan is W = oppervlakte onder de grafiek in het (F,s)-diagram.

• Verdeel de oppervlakte in rechthoeken en driehoeken, of tel hokjes bij een kromme.

• Eerste 2,0 m: ½ × 2,0 × 60 = 60 J. Dan 4,0 m met 60 N: 2,4·10² J. Laatste 2,0 m: 60 J.

• Totaal: W = 3,6·10² J. Ligt de grafiek onder de s-as, dan telt die oppervlakte negatief.

Syllabus C2.1: de arbeid bepalen uit een kracht-verplaatsingsdiagram; A12 oppervlakte onder een grafiek. Controle: ½ × 2,0 × 60 = 60; 4,0 × 60 = 240; ½ × 2,0 × 60 = 60; samen 360 J = 3,6·10² J. Eenheid van de oppervlakte: N·m = J. Kijkvraag: wat is de waarde van één hokje? 1 m × 20 N = 20 J. Veelgemaakte fout: alleen de rechthoek tellen of de helling van de lijn gebruiken in plaats van de oppervlakte. Image credit: Eigen figuur

Traptreden op een bospad, Beaver Creek Valley (VS), 2012 (publiek domein)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Vermogen: arbeid per seconde

• Vermogen P is de arbeid of energie per seconde: P = W/t en P = E/t.

• P in W (watt), W en E in J, t in s; 1 W = 1 J/s. De formules staan in je informatieboek.

• Een leerling van 65 kg loopt in 3,5 s met constante snelheid 4,2 m omhoog: W = m·g·h = 2,7·10³ J.

• Het vermogen van de spieren is P = 2,7·10³ / 3,5 = 7,7·10² W.

Syllabus C2.1: berekeningen met arbeid en vermogen; context de bewegende mens. Bij constante snelheid is de spierkracht gelijk aan Fz, de verplaatsing is verticaal 4,2 m, dus W = Fz·h (α = 0°). Controle: 65 × 9,81 = 637,65; × 4,2 = 2678 J = 2,7·10³ J; 2678/3,5 = 765 W = 7,7·10² W. Het is gemiddeld vermogen: totale arbeid gedeeld door de tijd. Kijkvraag bij de foto: wat bepaalt het vermogen van iemand die een trap oploopt? Massa, hoogte en tijd. Veelgemaakte fout: de lengte van de trap in plaats van de hoogte nemen. Image credit: Yinan Chen / Wikimedia Commons, publiek domein

Stoomlocomotief trekt een goederentrein, Japan circa 1939

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Vermogen en snelheid: P = F·v

• Werkt F in de bewegingsrichting en is v constant, dan P = F·v, want P = W/t = F·s/t.

• Bij constante snelheid is Fres = 0: de aandrijfkracht is gelijk aan de tegenwerkende kracht Fw.

• Heeft de motor een vast vermogen, dan is F = P/v: hoe sneller, hoe kleiner de kracht die hij levert.

• Voorbeeld: 25 m/s (90 km/h) tegen 6,4·10² N geeft P = 6,4·10² × 25 = 1,6·10⁴ W.

Syllabus C2.1: berekeningen met kracht, snelheid en vermogen; formule P = F·v. Context energiegebruik in het verkeer. Controle: 90/3,6 = 25 m/s; 640 × 25 = 16000 W = 1,6·10⁴ W. Kijkvraag bij de foto: waarom kan een locomotief met vast vermogen bij hogere snelheid minder trekkracht leveren? Omdat F = P/v. Veelgemaakte fout: de snelheid in km/h invullen, of F delen door v in plaats van P door v. Image credit: Wikimedia Commons, publiek domein

Een auto levert een constant motorvermogen. De snelheid wordt 2 keer zo groot. Wat gebeurt er met de kracht van de motor?

A

Die wordt 2 keer zo klein

B

Die blijft gelijk

C

Die wordt 2 keer zo groot

D

Die wordt 4 keer zo klein

P = F·v met P constant: F is omgekeerd evenredig met v, dus F wordt ½. Afleiders: gelijk (P en F verwisseld), recht evenredig en kwadratisch omgekeerd. Syllabus C2.1.

Een boogschutter spant een boog: de spierkracht stijgt lineair van 0 tot 1,2·10² N over 0,50 m. Hoeveel arbeid verricht de spierkracht?

A

60 J

B

2,4·10² J

C

30 J

D

3,0·10² J

De oppervlakte onder de rechte lijn is een driehoek: W = ½ × 1,2·10² × 0,50 = 30 J. Afleiders: de ½ vergeten (60 J), F/s (2,4·10² J) en een macht van tien fout (3,0·10² J). Syllabus C2.1 en A12.

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Kinetische energie en ΣW = ΔEk

• Een bewegend voorwerp heeft kinetische energie: Ek = ½·m·v², met m in kg en v in m/s.

• ΣW = ΔEk: de som van de arbeid van alle krachten is gelijk aan de verandering van Ek.

• ΔEk = Ek,eind − Ek,begin. ΣW > 0: het voorwerp versnelt; ΣW < 0: het vertraagt; ΣW = 0: Ek blijft gelijk.

• Tel alle krachten mee, ook de normaalkracht (W = 0) en krachten met negatieve arbeid zoals wrijving.

• Is Fres constant en in de bewegingsrichting, dan is ΣW = Fres·s.

Syllabus C2.2: de relatie tussen arbeid en kinetische energie toepassen, ΣW = ΔEk (vwo-notatie met sommatieteken en Δ). Ek = ½mv² staat in je informatieboek. Veelgemaakte fouten: alleen de arbeid van de motor tellen, de ½ of het kwadraat vergeten, en km/h niet omrekenen. Hoe de wet van behoud van energie met meerdere energievormen werkt, is het onderwerp Energiebehoud.

Animatie: arbeid van vier krachten op een kist

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Alle krachten op een helling

• Een kist van 20 kg gaat uit rust 4,0 m omhoog langs een helling van 30°, met 150 N evenwijdig aan de helling.

• Arbeid: trekkracht +6,0·10² J, zwaartekracht −3,9·10² J, wrijving (20 N) −80 J, normaalkracht 0 J.

• ΣW = ΔEk = 1,3·10² J, dus v = √(2·ΔEk/m) = 3,6 m/s.

• Kijk in de animatie hoe de vier balken samen ΣW en daarmee de snelheid bepalen.

Syllabus C2.2 en C1.3: arbeid-energiestelling met meerdere krachten. Controle: WF = 150 × 4,0 = 600 J; Fz = 20 × 9,81 = 196,2 N, Wz = −196,2 × sin 30° × 4,0 = −392,4 J; Ww = −20 × 4,0 = −80 J; ΣW = 600 − 392,4 − 80 = 127,6 J = 1,3·10² J; v = √(2 × 127,6/20) = 3,57 m/s = 3,6 m/s. Kijkvraag: welke kracht verricht de meeste negatieve arbeid? De zwaartekracht. Veelgemaakte fout: Fz zonder sin β nemen, of de normaalkracht meetellen. Image credit: Eigen animatie

Bandensporen op een haventerrein, Oakland 2014 (foto: Pete Forsyth, CC BY 4.0)

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Remmen in het verkeer

• De wrijvingsarbeid Wwr = −Fw·s is negatief. Remmen tot stilstand: −Fw·s = 0 − ½·m·v², dus s = m·v²/(2·Fw).

• De remweg is evenredig met v²: bij dezelfde Fw is dubbele snelheid een 4 keer zo lange remweg.

• Voorbeeld: 1,5·10³ kg, 15 m/s, Fw = 5,0·10³ N: s = 1,5·10³ × 15² / (2 × 5,0·10³) = 34 m.

• De Ek wordt warmte in remmen en banden. Vooruit kijken en minder remmen bespaart brandstof.

Syllabus C2.2: arbeid-energiestelling, wrijvingsarbeid, warmte; context energiegebruik en energiebesparing in het verkeer. Controle: 1,5·10³ × 225 = 337500; gedeeld door 1,0·10⁴ = 33,75 m, dus 34 m. Ek = ½ × 1,5·10³ × 15² = 1,7·10⁵ J. De sporen op de foto laten zien dat banden en wegdek warm worden en slijten. Kijkvraag: waar blijft de kinetische energie bij het remmen? Warmte. Veelgemaakte fout: denken dat de remweg lineair meegroeit met de snelheid. Image credit: Pete Forsyth / Wikimedia Commons, CC BY 4.0

Een kar van 2,0 kg start uit rust. Drie krachten verrichten +45 J, −12 J en 0 J. Hoe groot is de eindsnelheid?

A

7,5 m/s

B

5,7 m/s

C

4,1 m/s

D

33 m/s

ΣW = 45 − 12 + 0 = 33 J = ΔEk. v = √(2 × 33/2,0) = √33 = 5,7 m/s. Afleiders: de min niet meegerekend (√57 = 7,5), de 2 vergeten (√(33/2,0) = 4,1) en geen wortel (33). Syllabus C2.2.

Waarom is Wn = 0 bij een glijdende kist?

Goed antwoord: de normaalkracht staat loodrecht op de verplaatsing, α = 90° en cos 90° = 0, dus W = 0. Verwachte fout: 'omdat de kist niet beweegt' of 'omdat de kracht klein is'. Syllabus C2.1.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

De hoek in W = F·s·cos α en het teken

2

Arbeid uit een (F,s)-diagram

3

Vermogen en P = F·v

4

ΣW = ΔEk met meer krachten

Gebruik de uitslag om in de training extra aandacht te geven aan het lastigste onderdeel.

Waarom is ΣW nul bij een auto met constante snelheid?

Goed antwoord: Ek verandert niet, dus ΣW = ΔEk = 0; de positieve arbeid van de motorkracht en de negatieve arbeid van wrijving (en zwaartekracht op een helling) heffen elkaar op. Verwachte fout: 'er werkt geen kracht'. Syllabus C2.2.

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Begrippen (1/2)

• arbeid: energie die een kracht overdraagt: W = F·s·cos α, in J

• joule: eenheid van arbeid en energie: 1 J = 1 N·m

• positieve en negatieve arbeid: teken van W: cos α > 0 geeft energie, cos α < 0 neemt energie weg

• wrijvingsarbeid: arbeid van de wrijvingskracht: Wwr = −Fw·s, altijd negatief

• (F,s)-diagram: diagram van kracht tegen verplaatsing; de oppervlakte is de arbeid

EXAMENSTOF · C2 · ARBEID EN VERMOGEN

Begrippen (2/2)

• vermogen: arbeid of energie per seconde: P = W/t = E/t, bij constante v: P = F·v

• watt: eenheid van vermogen: 1 W = 1 J/s

• kinetische energie: bewegingsenergie: Ek = ½·m·v²

• arbeid-energiestelling: de som van alle arbeid is de verandering van Ek: ΣW = ΔEk