4_1_1_Operaciones

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Operaciones con números complejos.

Antes de comenzar

El valor de i cambia al verse afectado por una potencia.

¡A partir de ahí los valores se repiten!

$$i=\sqrt{-1}$$

$$i^2=(\sqrt{-1}{)}^2=-1$$

$$i^3=i\cdot i^2=i\cdot (-1)=-i$$

$$i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$$

Números complejos conjugados

Surgen del concepto de un binomio conjugado (forma binomial)

Un número complejo conjugado cambia la parte imaginaria de signo

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$3+4i\to 3-4i$$

Suma y Resta

En forma binómica se realizan como si fueran expresiones algebraicas con una variable "i"

En forma Euler o cis, se puede hacer gráficamente (método del paralelogramo) o como una suma de vectores (que implica descomponer en sus componentes x y y)

$$(7+3i)-(2-4i)=5+7i$$

Multiplicación a+bi

Se realiza la multiplicación de forma algebraica.

$$(7+3i)\ast (2-4i)=14-28i+6i-12i^2$$

$$(7+3i)\cdot (2-4i)=14-22i+12$$

$$(7+3i)\cdot (2-4i)=26-22i$$

División a+bi

Se raliza una racionalización extrínseca (multiplicar por 1)

$$\frac{7+3i}{2-4i}=$$

$$\frac{7+3i}{2-4i}\cdot \frac{1}{1}$$

$$\frac{7+3i}{2-4i}\cdot \frac{2+4i}{2+4i}$$

$$\frac{14+28i+6i+12i^2}{4-16i^2}=\frac{2+34i}{20}=\frac{1}{10}+\frac{17}{10}i$$

AHORA MÁS FÁCIL

Multiplicación Euler

Se multiplica de forma algebraica de acuerdo a las leyes de los exponentes.

Gracias a las identidades de Euler:

$$7e^{3i}\cdot 4e^{2i}=$$

$$7\cdot 4e^{3i+2i}=28e^{5i}$$

$$15cis180\cdot 4cis115=60cis295$$

División Euler

Volvemos a aplicar leyes de los exponentes:

Y pasa lo mismo con CiS

$$\frac{7e^{3i}}{4e^{2i}}=\frac{7}{4}{e}^i$$

$$\frac{15cis180}{4cis115}=\frac{15}{4}cis65$$