Harmonische trillingen (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• New lesson editor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo

Introduction

Uitleg over harmonische trillingen op vwo-niveau: de terugdrijvende kracht Fres = −C·u, een numeriek model, de sinus u = A·sin(2πt/T), gereduceerde fase en faseverschil, het massa-veersysteem, vmax en resonantie. Syllabus B1.1, B1.2, B1.5 en A14.1, met twee animaties en checks.

Oscilloscoop met een signaal (foto: Unnerving duck, CC0)

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Harmonische trillingen

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: B1.1, B1.2, B1.5, A14.1. Image credit: Unnerving duck / Wikimedia Commons, CC0

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Wat ga je kunnen?

Ik kan een harmonische trilling beschrijven met Fres = −C·u en u = A·sin(2πt/T), fase, faseverschil, T en vmax bepalen en een numeriek model van een massa-veersysteem aanvullen.

Noem iets dat trilt en hoe je dat meet.

Verwacht: snaar, stemvork, veer, luidspreker, hart (cardiogram), oscilloscoop, seismograaf. Gebruik de woorden later: uitwijking, periode, evenwichtsstand. Syllabus B1.1.

Stemvork op klankkast (foto: Brian0918, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Een trilling beschrijven

• Een trilling herhaalt zich rond een evenwichtsstand; de uitwijking u is de afstand tot die stand.

• De amplitude A is de grootste uitwijking; de periode T is de tijd van één trilling.

• f = 1/T: frequentie f in Hz, periode T in s. Staat in je informatieboek.

• u heeft een teken: boven de evenwichtsstand positief, eronder negatief.

Syllabus B1.1: trillingsverschijnselen analyseren en grafisch weergeven; vakbegrip periode. Vwo-notatie: u en F zijn vectoren, in een rechte lijn kies je een positieve richting. Veelgemaakte fout: amplitude van top tot dal meten. Image credit: Brian0918 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Animatie: de pijl van Fres wijst naar de evenwichtsstand

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

De terugdrijvende kracht

• Fres = −C·u: de resulterende kracht is evenredig met u en tegengesteld gericht (vectoren).

• C is de veerconstante in N/m. Het minteken: de kracht wijst naar de evenwichtsstand.

• Dit is de voorwaarde voor een harmonische trilling: het (u,t)-diagram is dan een sinus.

• Kijk naar de pijl: bij de grootste uitwijking is Fres het grootst, in de evenwichtsstand nul.

Syllabus B1.1: de natuurkundige voorwaarde van een harmonische trilling (kracht evenredig met en tegengesteld gericht aan de uitwijking); formule Fres = −C·u staat in het informatieboek. De animatie laat de massa op en neer gaan met A = 3,0 cm en T = 2,0 s; de massa begint in de evenwichtsstand. Kijkvraag: wat zie je aan de pijl als de massa door de evenwichtsstand gaat? (Fres is nul en wisselt van richting.) Veelgemaakte fout: denken dat Fres in de bewegingsrichting wijst. Image credit: Eigen animatie

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Een numeriek model

• Een numeriek model rekent een trilling in kleine stappen door: een iteratief proces.

• Startwaarden: m, C, u, v en t, en de stapgrootte dt.

• Modelregels: Fres = −C·u, a = Fres/m (tweede wet van Newton), v = v + a·dt, u = u + v·dt, t = t + dt.

• De stopvoorwaarde bepaalt wanneer het rekenen ophoudt, bijvoorbeeld t ≥ 2,0 s.

• Het resultaat u(t) is een sinus: uit Fres = −C·u volgt de wiskundige beschrijving van de trilling.

Syllabus B1.1 (het verband laten zien aan de hand van een numeriek model) en A14.1: modelregel, startwaarde, stopvoorwaarde, stapgrootte, iteratief proces. De volgorde is eerst v bijwerken en dan u met de nieuwe v; dat levert een stabiele trilling. Laat leerlingen de eerste stap met de hand rekenen (zie de training). Veelgemaakte fout: de regels in de verkeerde volgorde zetten. Rekenvoorbeeld bij m = 0,50 kg, C = 8,0 N/m, u = 0,100 m, dt = 0,050 s: Fres = −0,80 N, a = −1,6 m/s², v = −0,080 m/s, u = 0,096 m.

Een massa zit onder de evenwichtsstand (u is negatief). Welke richting heeft Fres?

A

Omlaag, van de evenwichtsstand af

B

Omhoog, maar alleen bij grote uitwijking

C

Er is geen kracht in de uiterste stand

D

Omhoog, naar de evenwichtsstand toe

Fres = −C·u met u < 0 geeft Fres > 0, dus omhoog, naar de evenwichtsstand. Fout: Fres in de richting van u (omlaag), of denken dat Fres alleen bij de uiterste stand ontbreekt. Syllabus B1.1.

Vul in

Fres = −C·u is de voorwaarde voor een harmonische trilling; het minteken betekent dat Fres tegengesteld aan u gericht is.

harmonische trilling

tegengesteld

gedempte trilling

evenredig

Syllabus B1.1: harmonische trilling; kracht evenredig met en tegengesteld gericht aan de uitwijking.

(u,t)-diagram met amplitude A en periode T

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

De sinus als beschrijving

• u = A·sin(2πt/T) beschrijft een trilling die in de evenwichtsstand begint, omhoog.

• Zet je rekenmachine op radialen: de 2π zit al in de formule.

• Je berekent u als t gegeven is; t uitrekenen uit een gegeven u hoeft niet.

• Voorbeeld: A = 4,0 cm, T = 0,80 s en t = 0,10 s geeft u = 4,0·sin(π/4) = 2,8 cm.

Syllabus B1.1 en formule u = A·sin(2πt/T), niet: uitrekenen van t als u gegeven is. Controle: 2π·0,10/0,80 = π/4 = 0,7854 rad; sin = 0,7071; 4,0 × 0,7071 = 2,83 cm, met 2 significante cijfers 2,8 cm. Veelgemaakte fout: rekenmachine in graden, dan krijg je 0,0 cm. Image credit: Eigen figuur

Sinus op een oscilloscoop (foto: Pittigrilli, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

De gereduceerde fase

• De fase φ = t/T is het aantal perioden dat al doorlopen is; φ heeft geen eenheid.

• De gereduceerde fase is de fase zonder de hele perioden: een getal tussen 0 en 1.

• Gereduceerde fase 0,25: u is maximaal. Bij 0,50 is u weer nul, bij 0,75 minimaal.

• Voorbeeld: T = 0,80 s en t = 1,0 s geeft φ = 1,25; de gereduceerde fase is 0,25.

Syllabus B1.1: vakbegrip gereduceerde fase; B1.5: minimaal in de context oscillogram en cardiogram (T aflezen, dan t delen door T). Controle: 1,0/0,80 = 1,25; zonder de hele periode blijft 0,25 over. u = A·sin(2πφ): sin(2π·0,25) = 1, sin(2π·0,50) = 0 en sin(2π·0,75) = −1. Veelgemaakte fout: de fase (1,25) geven als om de gereduceerde fase (0,25) gevraagd wordt. Veelgemaakte fout: φ in seconden geven, of t en T in verschillende eenheden (ms en s). Image credit: Pittigrilli / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Animatie: twee trillingen met faseverschil 0,25

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Het faseverschil

• Δφ = Δt/T: het faseverschil is het aantal perioden dat de ene trilling voor of achter loopt.

• Beide trillingen hebben dezelfde T. Δt is het tijdverschil tussen twee gelijke punten, zoals twee toppen.

• In de animatie: Δt = 0,50 s en T = 2,0 s, dus Δφ = 0,25.

• Δφ = 0 of 1: gelijk in de pas. Δφ = 0,50: de ene is omhoog als de andere omlaag is.

Syllabus B1.1: faseverschil; formule Δφ = Δt/T. De animatie toont twee systemen; het tweede loopt 0,50 s achter. Kijkvraag: wat gebeurt er met Δφ als je Δt verdubbelt? (Δφ wordt 0,50: tegengesteld.) Veelgemaakte fout: Δt en T in verschillende eenheden. Image credit: Eigen animatie

Twee toppen liggen 0,15 s uit elkaar en T = 0,50 s. Wat is het faseverschil Δφ?

A

0,15

B

0,30

C

3,3

D

0,70

Δφ = Δt/T = 0,15/0,50 = 0,30. Fout: Δt zelf (0,15), omgekeerd delen (3,3), of 1 − Δφ (0,70). Controle: 0,30 × 0,50 = 0,15. Syllabus B1.1.

T = 2,0 s, t = 3,5 s. Gereduceerde fase?

Fase φ = t/T = 3,5/2,0 = 1,75; zonder de hele periode is de gereduceerde fase 0,75 (geen eenheid). Verwachte fout: 1,75 (de fase zelf) of 0,57 (T/t). Syllabus B1.1.

Bungeejumper aan een koord (foto: Poni Abraham, CC0)

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Het massa-veersysteem

• Een massa aan een veer met veerconstante C trilt rond de evenwichtsstand: een massa-veersysteem.

• T = 2π·√(m/C): T in s, m in kg, C in N/m. Staat in je informatieboek.

• De eigenfrequentie is f = 1/T: de frequentie waarmee het systeem vanzelf trilt.

• T hangt niet af van A. Voorbeeld: m = 0,90 kg en C = 16 N/m geeft T = 1,5 s.

Syllabus B1.2: berekeningen aan de eigentrilling van een massa-veersysteem; vakbegrip eigenfrequentie. Controle: 0,90/16 = 0,05625; wortel 0,2372; × 2π = 1,490 s, met 2 significante cijfers 1,5 s. De bungeejumper is een benadering van een massa-veersysteem. Veelgemaakte fouten: wortel of 2π vergeten, m en C omdraaien. Image credit: Poni Abraham / Wikimedia Commons, CC0

Raaklijn in de evenwichtsstand: de helling is vmax

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

De maximale snelheid

• In de evenwichtsstand is de snelheid maximaal, in de uiterste stand is v = 0.

• vmax = 2πA/T: vmax in m/s, A in m, T in s. Staat in je informatieboek.

• Je vindt vmax ook als de helling van de raaklijn aan het (u,t)-diagram in de evenwichtsstand.

• Voorbeeld: A = 3,0 cm en T = 1,2 s geeft vmax = 2π·0,030/1,2 = 0,16 m/s.

Syllabus B1.1 en B1.5: eigenschappen uit (u,t)-diagrammen; formule vmax = 2πA/T. Controle: 2π × 0,030 = 0,1885; /1,2 = 0,157 m/s, met 2 significante cijfers 0,16 m/s. In het diagram is de gestippelde raaklijn in de oorsprong de steilste helling. Veelgemaakte fouten: A in cm laten staan (dan komt er 16 uit) en 2π vergeten. Image credit: Eigen figuur

Massademper in een wolkenkrabber, Taipei (foto: Johan Jönsson, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Resonantie

• Stoot je een systeem periodiek aan met zijn eigenfrequentie, dan groeit de amplitude: resonantie.

• Gewenst: een stemvork op een klankkast. Ongewenst: een brug of gebouw dat gaat meebewegen.

• Een massademper in een gebouw trilt tegen: zijn eigenfrequentie is afgestemd op die van het gebouw.

Syllabus B1.2: vakbegrip resonantie. Rekenen gebeurt alleen aan het massa-veersysteem; de rest is context. Een massademper is een grote massa aan veren of kabels die met het gebouw meebeweegt en de uitwijking beperkt. Veelgemaakte fout: denken dat resonantie bij elke aanstootfrequentie optreedt. Image credit: Johan Jönsson / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Een veer wordt vervangen door een twee keer zo stugge veer. Wat gebeurt er met f?

A

f wordt √2 keer zo groot

B

f wordt 2 keer zo groot

C

f wordt √2 keer zo klein

D

f blijft gelijk

f = (1/2π)·√(C/m): C verdubbelt, dus f wordt √2 keer zo groot. Fout: rechtevenredig (2), de verkeerde richting (kleiner) of denken dat alleen m telt. Syllabus B1.2.

Vul in

T van een massa-veersysteem hangt af van m en C; de amplitude speelt geen rol.

C

amplitude

f

uitwijking

T = 2π·√(m/C) bevat A niet. Syllabus B1.2.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Fase en faseverschil

2

De sinusformule en radialen

3

Het numeriek model

4

Massa-veer en vmax

Gebruik de uitslag om te bepalen waar je in de training extra aandacht aan geeft.

Massademper: waarom dezelfde f als het gebouw?

Goed: zo komt de demper juist in resonantie als het gebouw met zijn eigenfrequentie trilt; de demper beweegt tegen het gebouw in en neemt energie op, zodat de uitwijking van het gebouw klein blijft. Syllabus B1.2: resonantie.

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Begrippen (1/2)

• harmonische trilling: trilling waarbij Fres = −C·u: het (u,t)-diagram is een sinus

• amplitude: de grootste uitwijking A

• periode: tijd van één volledige trilling, T in s

• gereduceerde fase: de fase φ = t/T zonder de hele perioden, tussen 0 en 1

• faseverschil: Δφ = Δt/T tussen twee trillingen met dezelfde T

EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING

Begrippen (2/2)

• numeriek model: stap voor stap rekenen met startwaarden en modelregels

• eigenfrequentie: de frequentie waarmee een systeem vanzelf trilt

• resonantie: aanstoten met de eigenfrequentie, waardoor de amplitude groot wordt

• massa-veersysteem: een massa aan een veer die trilt, T = 2π·√(m/C)

• maximale snelheid: vmax = 2πA/T, in de evenwichtsstand