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Determinantes

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AlgebraTertiary Education

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Determinantes

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¿Qué es?

El determinante es un valor calculado a partir de una matriz que permite analizar sus propiedades y características.

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¿Por qué es importante?

Toda matriz puede reflejar un sistema de ecuaciones, el analizar estas características permite conocer elementos del sistema.

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Cálculo del determinante.

Para calcular el determinante de una matriz es necesario:

- La matriz sea cuadrada.

- El procedimiento varía de acuerdo al tamaño.

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Determinante 2x2

Se multiplican cruzadas las diagonales, aquella diagonal que va en el mismo sentido que la diagonal principal se suma y la contraria se resta.

[​ a ​ c ​ ​ ​ b ​ d ​ ​]

∣ A ∣ = [​ a ​ c ​ ​ ​ b ​ d ​ ​] = a d - b c

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Ejemplo determinante 2x2

A = [​ 2 ​ - 1 ​ ​ ​ 3 ​ 7 ​ ​]

∣ A ∣ = 2 \cdot 7 - (- 1) \cdot 3

∣ A ∣ = 14 + 3 = 17

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Determinante 3x3

Para calcular determinantes de 3x3 se pueden utilizar dos métodos: cofactores o Cramer.

El método de cofactores funciona para cualquier tamaño de matriz, por lo que lo veremos más adelante.

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Método de Cramer para determinantes.

Solo funciona para 3x3!!!!

A = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​ 1 ​ 4 ​ 1 ​ ​ ​ 2 ​ 5 ​ 1 ​ ​ ​ 3 ​ 6 ​ 2 ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

∣ A ∣ = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​ 1 ​ 4 ​ 1 ​ ​ ​ 2 ​ 5 ​ 1 ​ ​ ​ 3 ​ 6 ​ 2 ​ ​ ​ ∣ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ ​ 1 ​ 4 ​ 1 ​ ​ ​ 2 ​ 5 ​ 1 ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​ = 1 * 5 * 2 + 2 * 6 * 1 + 3 * 4 * 1 - 1 * 5 * 3 - 1 * 6 * 1 - 2 * 4 * 2 = - 3

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Cofactores

El cofactor del elemento de una matriz está formado por 2 partes, un signo que depende la posición, y un determinante de una matriz de un tamaño 1 unidad menor.

c o f (a^{​ n, m ​ ​}) = a^{​ n, m ​ * ​ ​}

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Signo de un cofactor.

Se determina al sumar las posiciones del elemento, si es par es positivo, si es impar es negativo.

A = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​^{​ + ​ ​} a^{​ 1, 1 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 2, 1 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 3, 1 ​ ​} ​ ​ ​^{​ - ​ ​} a^{​ 1, 2 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 2, 2 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 3, 2 ​ ​} ​ ​ ​^{​ + ​ ​} a^{​ 1, 3 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 2, 3 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 3, 3 ​ ​} ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

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Menor de un cofactor.

Se elimina el renglón y la columna del elemento y se calcula el determinante de la nueva matriz

A = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​^{​ + ​ ​} a^{​ 1, 1 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 2, 1 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 3, 1 ​ ​} ​ ​ ​^{​ - ​ ​} a^{​ 1, 2 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 2, 2 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 3, 2 ​ ​} ​ ​ ​^{​ + ​ ​} a^{​ 1, 3 ​ ​} ​^{​ - ​ ​} a^{​ 2, 3 ​ ​} ​^{​ + ​ ​} a^{​ 3, 3 ​ ​} ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

[​ a^{​ 2, 2 ​ ​} ​ a^{​ 3, 2 ​ ​} ​ ​ ​ a^{​ 2, 3 ​ ​} ​ a^{​ 3, 3 ​ ​} ​ ​]

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Los cofactores se utilizan para distintos procedimientos, pero para todos se calculan de la misma forma.

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Ejemplo de un cofactor.

A = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​ 1 ​ 2 ​ 3 ​ ​ ​ 2 ​ 0 ​ 2 ​ ​ ​ 3 ​ - 1 ​ 1 ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

a^{​ 1, 3 ​ * ​ ​} = + [​ 2 ​ 3 ​ ​ ​ 0 ​ 2 ​ ​] = 4

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Determinante por cofactores

Para calcular un determinante por cofactores hacemos el producto punto (similar al de la multiplicación) de todo un renglón o columna por sus cofactores.

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ a^{​ i, m ​ ​} * a^{​ i, m ​ * ​ ​}

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ a^{​ m, i ​ ​} * a^{​ m, i ​ * ​ ​}

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Ejemplo 3x3.

A = ​ ⎣ ​ ⎡ ​ ​ ​ 1 ​ 2 ​ 3 ​ ​ ​ 2 ​ 0 ​ 2 ​ ​ ​ 3 ​ - 1 ​ 1 ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎤ ​ ​

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Ejemplo 4x4.

B = ​ ⎣ ​ ⎢ ​ ⎢ ​ ⎡ ​ ​ ​ 2 ​ 2 ​ 3 ​ 1 ​ ​ ​ 0 ​ 0 ​ 2 ​ 1 ​ ​ ​ 0 ​ - 1 ​ 1 ​ 0 ​ ​ ​ - 1 ​ 2 ​ 0 ​ 2 ​ ​ ​ ⎦ ​ ⎥ ​ ⎥ ​ ⎤ ​ ​

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