2_3_Determinantes

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Determinantes

¿Qué es?

El determinante es un valor calculado a partir de una matriz que permite analizar sus propiedades y características.

¿Por qué es importante?

Toda matriz puede reflejar un sistema de ecuaciones, el analizar estas características permite conocer elementos del sistema.

Cálculo del determinante.

Para calcular el determinante de una matriz es necesario:

- La matriz sea cuadrada.

- El procedimiento varía de acuerdo al tamaño.

Determinante 2x2

Se multiplican cruzadas las diagonales, aquella diagonal que va en el mismo sentido que la diagonal principal se suma y la contraria se resta.

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

$$|A|=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$$

Ejemplo determinante 2x2

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 7\end{array}\right]$$

$$|A|=2\cdot 7-(-1)\cdot 3$$

$$|A|=14+3=17$$

Determinante 3x3

Para calcular determinantes de 3x3 se pueden utilizar dos métodos: cofactores o Cramer.

El método de cofactores funciona para cualquier tamaño de matriz, por lo que lo veremos más adelante.

Método de Cramer para determinantes.

Solo funciona para 3x3!!!!

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$

$$|A|=\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& |& 1& 2\\ 4& 5& 6& |& 4& 5\\ 1& 1& 2& |& 1& 1\end{array}\right]=1\ast 5\ast 2+2\ast 6\ast 1+3\ast 4\ast 1-1\ast 5\ast 3-1\ast 6\ast 1-2\ast 4\ast 2=-3$$

Cofactores

El cofactor del elemento de una matriz está formado por 2 partes, un signo que depende la posición, y un determinante de una matriz de un tamaño 1 unidad menor.

$$cof(a_{n,m})=a_{n,m}^{\ast }$$

Signo de un cofactor.

Se determina al sumar las posiciones del elemento, si es par es positivo, si es impar es negativo.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{}^{+}{a}_{1,1}& {}^{-}{a}_{1,2}& {}^{+}{a}_{1,3}\\ {}^{-}{a}_{2,1}& {}^{+}{a}_{2,2}& {}^{-}{a}_{2,3}\\ {}^{+}{a}_{3,1}& {}^{-}{a}_{3,2}& {}^{+}{a}_{3,3}\end{array}\right]$$

Menor de un cofactor.

Se elimina el renglón y la columna del elemento y se calcula el determinante de la nueva matriz

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{}^{+}{a}_{1,1}& {}^{-}{a}_{1,2}& {}^{+}{a}_{1,3}\\ {}^{-}{a}_{2,1}& {}^{+}{a}_{2,2}& {}^{-}{a}_{2,3}\\ {}^{+}{a}_{3,1}& {}^{-}{a}_{3,2}& {}^{+}{a}_{3,3}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]$$

Los cofactores se utilizan para distintos procedimientos, pero para todos se calculan de la misma forma.

Ejemplo de un cofactor.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& -1\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$$

$$a_{1,3}^{\ast }=+\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 2\end{array}\right]=4$$

Determinante por cofactores

Para calcular un determinante por cofactores hacemos el producto punto (similar al de la multiplicación) de todo un renglón o columna por sus cofactores.

$$\sum _{i=1}^n{a}_{i,m}\ast a_{i,m}^{\ast }$$

$$\sum _{i=1}^n{a}_{m,i}\ast a_{m,i}^{\ast }$$

Ejemplo 3x3.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& -1\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$$

Ejemplo 4x4.

$$B=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& -1\\ 2& 0& -1& 2\\ 3& 2& 1& 0\\ 1& 1& 0& 2\end{array}\right]$$