H1.5 Grafen

• New lesson editor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo lwoo, k
• Leerjaar 4

Grafen: afstanden en routes

Open bij het idee dat een graaf een vereenvoudigde kaart is: punten stellen plaatsen voor en lijnen of pijlen verbindingen.

Leerdoel

Ik kan een afstandstabel bij een graaf invullen.

Wat is een graaf?

• Een punt stelt een plaats of persoon voor.

• Een verbinding laat zien dat er een relatie is.

• Bij wegen kan er een afstand bij staan.

• Een graaf is een overzichtelijke tekening van informatie.

Gebruik voorbeelden uit de bijlagen: steden, wegen en ook een stamboom. Zo zien leerlingen dat een graaf meer is dan alleen verkeer.

Pijlen in een graaf

• Een pijl geeft een richting aan.

• Dat betekent: je mag maar één kant op.

• Zonder pijl kun je meestal heen en terug.

• Bij routes moet je dus goed op de richting letten.

Veel leerlingen kijken alleen naar de afstand en vergeten de pijl. Benadruk dat een route alleen mag als de richting klopt.

Afstand over de weg

Bij verbindingen staat vaak een getal. Dat getal is de afstand over de weg. In een graaf tel je de afstanden van de stukken route bij elkaar op. Zo kun je uitrekenen hoe lang een hele route is.

Leg uit dat de kortste route niet altijd de rechte route in de tekening is, maar de route met de kleinste som van afstanden.

Omrijden door een pijl

Soms kun je niet rechtstreeks terug.

Bijvoorbeeld:

• van A naar B kan wel

• van B naar A kan niet

• dan moet je via andere punten omrijden

• de kortste route hangt af van de toegestane richting

Koppel dit aan de theorie uit de bijlage met Abdam, Cordo, Dors en Emde: terugrijden lukt alleen via andere punten.

Afstandstabel lezen

Een afstandstabel laat per beginpunt en eindpunt de afstand zien.

• links staat vaak: van

• boven staat vaak: naar

• in elk vak komt de afstand van die route

• je leest dus steeds van rij naar kolom

Noem dat de volgorde belangrijk is bij eenrichtingsverkeer: van A naar B hoeft niet hetzelfde te zijn als van B naar A.

Wat betekent een pijl in een wegengraaf?

A

één richting

B

kortste route

C

beginpunt

D

totale afstand

Controleert of leerlingen richting en afstand uit elkaar houden.

Rechtstreeks of via een omweg

Soms staat er een directe verbinding tussen twee punten. Dan neem je die afstand.

Soms is er geen directe route in de goede richting. Dan ga je via één of meer tussenpunten. In de tabel noteer je dan de totale afstand van die route.

Hier kun je het verschil bespreken tussen 'er ligt een weg' en 'je mag die kant op'.

Kortste route vinden

Om de kortste route te vinden:

• bekijk welke routes mogelijk zijn

• streep routes tegen de richting weg

• tel per route de afstanden op

• vergelijk de uitkomsten

• kies de kleinste afstand

Geen formeel algoritme nodig; het gaat om systematisch vergelijken van mogelijke routes.

Altijd de kortste route kiezen.

Van kaart naar graaf

In een gewone kaart zie je veel details. In een graaf laat je alleen zien wat nodig is om te rekenen:

• welke punten verbonden zijn

• in welke richting je mag

• hoeveel de afstand is

Benadruk dat een graaf een rekenmodel is: minder mooi dan een kaart, maar handiger voor afstanden en routes.

Niet alleen wegen

Een graaf gebruik je niet alleen bij verkeer.

Ook een stamboom is een graaf. Dan betekenen de pijlen geen rijrichting, maar een relatie. De betekenis van punten en pijlen hangt dus af van het onderwerp.

Verwijs naar de bijlage met de familie-stamboom. Zo zien leerlingen dat hetzelfde wiskundige model op verschillende situaties past.

Waarom is een graaf handiger dan een gewone kaart?

A

meer details

B

mooier getekend

C

makkelijk rekenen

D

langere routes

Gebaseerd op slides 10 en 11: een graaf is een rekenmodel.

Wat betekent een pijl bij wegen en bij een stamboom?

Bespreek dat de betekenis afhangt van de context. Goed antwoord noemt bijvoorbeeld: bij wegen betekent een pijl rijrichting / je mag die kant op; bij een stamboom betekent een pijl ouder-kindrelatie.

Samenvatting

Een graaf helpt je om routes en afstanden overzichtelijk te maken.

• punten stellen plaatsen of personen voor

• verbindingen laten relaties zien

• pijlen geven richting of betekenis aan

• met een afstandstabel kun je afstanden netjes noteren

Land hier expliciet het leerdoel: van graaf naar tabel en van tabel terug naar route denken.

Wat heb jij vandaag geleerd over grafen?

Reflectie zonder fout antwoord. Laat leerlingen één inzicht delen, bijvoorbeeld over pijlen, routes, tabellen of grafen als model.

Begrippen

graaf - een tekening met punten en verbindingen

punt - een plaats of persoon in een graaf

verbinding - een lijn tussen twee punten

pijl - een teken dat richting of betekenis aangeeft

afstand - de lengte van een verbinding of route

route - de weg van het ene punt naar het andere punt

afstandstabel - een tabel met afstanden van en naar punten

Je gaat maken:

H1.5 Grafen