Momenten en hefbomen (Natuurkunde havo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introduction

Uitleg over momenten en hefbomen: draaipunt, werklijn en arm, de momentenwet of hefboomwet, het zwaartepunt en hefbomen in gereedschap en het menselijk lichaam. Havo, syllabus C1.7, met foto's, twee animaties en eigen figuren.

Wip op een speelplaats (foto: Killarnee, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Momenten en hefbomen

Examenstof natuurkunde havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C1.7. Image credit: Killarnee / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan de arm en het moment van een kracht bepalen en de momentenwet toepassen, ook bij de spierkracht in het lichaam.

Hoe krijg je een vastzittende schroef of moer los?

Verwacht: een sleutel of schroevendraaier, een lange steel, harder draaien. Noteer de woorden 'draaien' en 'lang': ze komen terug bij arm en moment. Syllabus C1.7.

Wip op een speelplaats (foto: Killarnee, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Draaien met een kracht

• Een kracht kan een voorwerp laten draaien om een vast punt: het draaipunt.

• Een wip draait om het punt waar hij op steunt.

• Hoe sterk een kracht draait, hangt af van de grootte én van het aangrijpingspunt: de plek waar ze duwt of trekt.

• Op een wip heeft een kind dat verder van het draaipunt zit meer effect.

Syllabus C1.7: draaipunt en aangrijpingspunt. Laat leerlingen voorspellen wie de wip omlaag drukt: het zwaardere kind of het kind dat verder van het draaipunt zit. Veelgemaakte fout: denken dat alleen de grootte van de kracht bepaalt hoe sterk iets draait. Image credit: Killarnee / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Arm en werklijn bij een schuine staaf (1 hokje = 10 cm)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Werklijn en arm

• De werklijn is de rechte lijn door het aangrijpingspunt, in de richting van de kracht.

• De arm r is de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn.

• Hier: F = 50 N omlaag en r = 8 hokjes = 80 cm. De staaf zelf is langer dan de arm.

• Gaat de werklijn door het draaipunt, dan is de arm nul en draait de kracht niet.

Syllabus C1.7: werklijn en arm; de arm in een tekening bepalen. In de figuur is 1 hokje = 10 cm. De arm is de horizontale afstand van het draaipunt tot de verticale werklijn: 8 hokjes = 80 cm. De staaf is wortel(8² + 4²) = 8,9 hokjes = 89 cm lang, maar dat is niet de arm. Havo: de arm lees je af uit de tekening, je rekent niet met sin, cos of tan (voetnoot 7). Veelgemaakte fout: de lengte van de staaf als arm nemen. Image credit: Eigen figuur

Steeksleutel (foto: Santeri Viinamäki, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Het moment van een kracht

• Het moment van een kracht is kracht maal arm, in newtonmeter (N·m). Kort: M = F·r (niet in de syllabus).

• Uit de figuur: F = 50 N en r = 0,80 m geven M = 40 N·m.

• Een langere sleutel geeft bij dezelfde kracht een grotere arm en dus een groter moment.

• Een moment draait linksom of rechtsom: let op de draairichting.

Syllabus C1.7: moment (vakbegrip). De schrijfwijze M = F·r is een eigen omschrijving en staat daarom zo op de dia; in het informatieboek staat de formule als F1·r1 = F2·r2 (volgende dia's). Controle: 50 × 0,80 = 40 N·m. Veelgemaakte fouten: de arm in cm laten staan (N·cm is een andere eenheid, 1 N·m = 100 N·cm) en kracht en arm optellen. Image credit: Santeri Viinamäki / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Een kracht van 30 N heeft een arm van 0,40 m. Hoe groot is het moment?

A

75 N·m

B

0,013 N·m

C

12 N·m

D

12 N

M = F·r = 30 · 0,40 = 12 N·m. Afleiders: delen door de arm (75 N·m), de arm door de kracht delen (0,013 N·m) en de eenheid van een kracht (12 N). Syllabus C1.7.

Vul in

Voor het moment M = F·r is F de kracht en r de arm, de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn.

kracht

arm

loodrechte

massa

snelheid

Syllabus C1.7: arm en werklijn. Veelgemaakte fout: 'loodrechte' vergeten en de afstand langs de staaf nemen.

Animatie: de rechterlast schuift naar buiten

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Evenwicht: de momentenwet

• Staat een voorwerp stil, dan is het linksom draaiende moment even groot als het rechtsom draaiende.

• Dat is de momentenwet, ook hefboomwet genoemd. Met twee krachten: F1·r1 = F2·r2.

• De formule staat in je informatieboek. F1 en F2 in N, r1 en r2 in m.

• In de animatie: 400 N · 1,5 m = 300 N · 2,0 m = 600 N·m, dus evenwicht.

Syllabus C1.7: momentenwet/hefboomwet, formule F1r1 = F2r2. Wat leerlingen moeten zien: de plank kantelt naar links zolang 300 · r2 kleiner is dan 600 N·m en ligt horizontaal bij r2 = 2,0 m. Kijkvraag: bij welke afstand rechts is de plank horizontaal? Antwoord: 2,0 m. Het draaipunt ligt in het midden, dus het gewicht van de plank heeft geen moment. De armen zijn horizontaal gemeten; bij de kleine hoek van de plank is het verschil verwaarloosbaar. Image credit: Eigen animatie

Balans met gewichten (foto: Nikodem Nijaki, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Een balans: gelijke armen

• Een balans is een hefboom met twee even lange armen.

• In evenwicht is het moment links gelijk aan het moment rechts.

• Zijn de armen gelijk, dan zijn ook de krachten gelijk: F1 = F2.

• Zo vergelijk je massa's: wat links en rechts in de schalen ligt, trekt dan even hard omlaag.

Syllabus C1.7: momentenwet als F1·r1 = F2·r2 met r1 = r2. Dan volgt F1 = F2, en met Fz = m·g dus m1 = m2. Dit maakt duidelijk waarom de momentenwet bij gelijke armen op 'gelijk gewicht' neerkomt. Veelgemaakte fout: denken dat het evenwicht alleen van de krachten afhangt en niet van de armen. Image credit: Nikodem Nijaki / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Wip: F1 = 240 N op 1,5 m, F2 onbekend op 1,0 m

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Rekenen met de hefboomwet

• Gegeven: F1 = 240 N, r1 = 1,5 m en r2 = 1,0 m. Gevraagd: F2.

• Herleid: F1·r1 = F2·r2 geeft F2 = F1·r1/r2.

• Invullen: F2 = 240 · 1,5 / 1,0 = 3,6·10² N.

• Controle: 240 · 1,5 = 360 · 1,0 = 360 N·m. Dichter bij het draaipunt is meer kracht nodig.

Syllabus C1.7: momentenwet toepassen op een stilstaand voorwerp met twee krachten. Controle: 240 × 1,5 = 360; 360 / 1,0 = 360 N; afgerond op twee significante cijfers 3,6·10² N. Veelgemaakte fout: de armen verwisselen: F2 = 240 · 1,0 / 1,5 = 160 N. Dat past niet bij de regel dat de kleinere arm de grotere kracht heeft. Image credit: Eigen figuur

Plank op een steunpunt met een last aan het uiteinde

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Zwaartepunt en eigen gewicht

• De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt. Bij een homogene plank ligt dat in het midden.

• Fz = m·g = 20 · 9,81 = 196 N (informatieboek). Dat is naast de last de tweede kracht.

• Het steunpunt is het draaipunt: de kracht van het steunpunt heeft arm nul.

• F · 0,50 = 196 · 1,5, dus F = 5,9·10² N.

Syllabus C1.7: zwaartepunt, aangrijpingspunt en momentenwet met twee krachten. Controle: Fz = 20 × 9,81 = 196,2 N; de arm van Fz is 2,0 m - 0,50 m = 1,5 m (het midden ligt 2,0 m van het linkereind); F = 196,2 × 1,5 / 0,50 = 588,6 N, afgerond op twee significante cijfers 5,9·10² N. De pijllengtes in de figuur zijn op schaal (F is drie keer Fz). Veelgemaakte fout: de arm van Fz vanaf het uiteinde meten in plaats van vanaf het steunpunt. Image credit: Eigen figuur

Zet de stappen van een hefboomsom op volgorde

1

Vul de getallen in en bereken F2

2

Controleer dat F1·r1 = F2·r2

3

Schrijf gegeven en gevraagd op

4

Herleid de formule naar F2

Syllabus C1.7. Volgorde van de dia 'Rekenen met de hefboomwet': gegeven en gevraagd, herleiden, invullen, controle.

Een homogene plank rust met het midden op een steunpunt. Draait de plank?

A

Nee, Fz grijpt aan in het draaipunt

B

Ja, de plank is zwaar genoeg om te draaien

C

Ja, links en rechts is niet gelijk

D

Nee, een plank heeft geen zwaartekracht

Het zwaartepunt ligt boven het steunpunt, dus Fz heeft arm nul en geeft geen moment. Afleiders: denken dat de zwaartekracht altijd draait of dat de plank geen gewicht heeft. Syllabus C1.7: zwaartepunt.

Boutenschaar (foto: Bluemel1, CC0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Hefbomen in gereedschap

• Een hefboom is een stijve staaf die kan draaien om een draaipunt.

• Bij een boutenschaar of tang werk je met lange handvatten.

• De handvatten geven je hand een grote arm, de last bij het draaipunt heeft een kleine arm.

• Gevolg: met een kleine kracht van je hand lever je een grote kracht op de last.

Syllabus C1.7: hefboomwet in een praktijkcontext. Kijk naar de foto: de handvatten zijn veel langer dan de bek. We gebruiken alleen het principe grote arm, kleine kracht; de werking van het mechaniek in een boutenschaar hoeft niet uitgelegd. Veelgemaakte fout: denken dat een hefboom energie of kracht 'maakt': het moment aan beide kanten blijft gelijk. Image credit: Bluemel1 / Wikimedia Commons, CC0

Animatie: het draaipunt schuift naar de last

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Kleine arm, grote kracht

• Uit F1·r1 = F2·r2 volgt: hoe kleiner de arm, hoe groter de kracht voor hetzelfde moment.

• De last is 400 N. Met het draaipunt midden in de staaf moet je hand ook 400 N leveren.

• Schuift het draaipunt naar 20 cm van de last, dan is 100 N genoeg: 400 · 0,20 = 100 · 0,80.

• Het moment blijft 80 N·m: alleen de verdeling over kracht en arm verandert.

Syllabus C1.7: hefboomwet, arm en kracht omgekeerd evenredig. Wat leerlingen moeten zien: de pijl van de hand wordt korter terwijl het draaipunt naar de last schuift. Kijkvraag: wat is F als het draaipunt op 35 cm van de last zit? Antwoord: 400 · 35 / 65 = 215 N (ongeveer 2,2·10² N). Controle bij 20 cm: 400 × 0,20 = 80 N·m en 100 × 0,80 = 80 N·m. De staaf is 100 cm lang. Image credit: Eigen animatie

Kruiwagens (foto: Oto Zapletal, CC BY 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

De kruiwagen

• Bij een kruiwagen is de as van het wiel het draaipunt.

• De last ligt vlak bij het wiel: kleine arm. Je handen zitten aan de uiteinden van de stelen: grote arm.

• Daardoor draag je maar een deel van het gewicht van de last.

• Pak je de steel dichter bij het wiel vast, dan moet je harder tillen.

Syllabus C1.7: hefboomwet, aangrijpingspunt en arm in een alledaagse context. De zwaartekracht op de lading grijpt aan in het zwaartepunt van de lading. Leerlingen rekenen hier niet mee; een berekening met een kruiwagen staat in de examentraining. Veelgemaakte fout: de afstand van de last tot de handen als arm nemen in plaats van de afstand tot het wiel. Image credit: Oto Zapletal / Wikimedia Commons, CC BY 4.0

Onderarm met last, spier en elleboog (1 hokje = 4,0 cm)

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Je onderarm als hefboom

• In je lichaam werken botten en spieren als hefbomen. Je elleboog is het draaipunt.

• De spier trekt dicht bij de elleboog aan de onderarm: een kleine arm, hier 4,0 cm.

• De last in je hand heeft een grote arm, hier 36 cm. De spierkracht is daarom veel groter dan Fz.

• Fz = 2,5 · 9,81 = 24,5 N, dus Fspier = 24,5 · 36 / 4,0 = 2,2·10² N.

Syllabus C1.7: menselijk lichaam (minimaal in de context) en spierkracht. Er werken twee krachten met een werklijn buiten het draaipunt: Fspier en Fz van de last. De kracht van het gewricht gaat door het draaipunt en heeft arm nul; het gewicht van de onderarm zelf wordt verwaarloosd. Controle: Fz = 2,5 × 9,81 = 24,5 N; 24,5 × 36 = 882; 882 / 4,0 = 220,5 N, afgerond op twee significante cijfers 2,2·10² N. Veelgemaakte fout: denken dat Fspier gelijk is aan Fz. Image credit: Eigen figuur

Waarom raak je een vastzittende moer makkelijker los met een lange sleutel?

A

Je spieren leveren dan meer kracht

B

De moer krijgt minder wrijving

C

De zwaartekracht helpt mee

D

Dezelfde kracht heeft een grotere arm

Bij dezelfde kracht geeft een grotere arm een groter moment: M = F·r. Afleiders: denken dat de kracht zelf groter wordt of dat de wrijving afneemt. Syllabus C1.7.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

De arm bepalen in een tekening

2

De momentenwet toepassen

3

Zwaartepunt en eigen gewicht

4

Spierkracht in het lichaam

Gebruik de uitslag om in de training extra aandacht te geven aan het lastigste onderdeel.

Noem een hefboom bij jou thuis of op school.

Goed: een schaar, een tang, een deurklink, een kruiwagen, een steeksleutel, een koevoet of een wip. Vraag welk punt het draaipunt is en waar je kracht zet.

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Begrippen (1/2)

• moment: kracht maal arm, M = F·r, in N·m

• momentenwet: bij evenwicht: linksom draaiend moment = rechtsom draaiend moment

• hefboomwet: andere naam voor de momentenwet; met twee krachten: F1·r1 = F2·r2

• draaipunt: het punt waaromheen een voorwerp kan draaien

• arm: loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn

EXAMENSTOF · C1 · MOMENTEN EN HEFBOMEN

Begrippen (2/2)

• werklijn: rechte lijn door het aangrijpingspunt in de richting van de kracht

• aangrijpingspunt: de plek waar een kracht op een voorwerp werkt

• zwaartepunt: het punt waar de zwaartekracht op een voorwerp aangrijpt

• hefboom: stijve staaf die kan draaien om een draaipunt

• spierkracht: kracht van een spier, grijpt dicht bij het gewricht aan