Staande golven (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitleg over staande golven op vwo-niveau: knopen en buiken, ℓ = n·½λ voor snaren en open buizen, ℓ = (2n − 1)·¼λ voor een gesloten buis, grondtoon en boventonen, in de context van muziekinstrumenten. Syllabus B1.4, met twee animaties, foto's en checks.

Orgelpijpen van een kerkorgel, St Davids (foto: Kmtextor, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Staande golven

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: B1.4. Image credit: Kmtextor / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan met ℓ = n·½λ en ℓ = (2n − 1)·¼λ de golflengte en de frequenties van grondtoon en boventonen van een snaar of buis bepalen.

Hoe maakt een instrument uit één snaar of buis meerdere tonen?

Verwacht: snaar indrukken, gaatjes dichtdoen, harder blazen, andere lengte, overblazen. Koppel aan de les: de lengte van het trillende medium bepaalt welke golven passen (syllabus B1.4, muziekinstrumenten). Veelgemaakte misvatting: een staande golf staat stil. Lopende golven, faseverschil en het dopplereffect komen in andere lessen aan bod.

Snaren van een cello boven de kam (foto: Dogmonster, publiek domein)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Heen en weer in een snaar

• Een golf in een snaar loopt naar een vast uiteinde en kaatst daar terug.

• Dan lopen er twee golven in tegengestelde richting door elkaar: ze interfereren.

• Bij bepaalde frequenties ontstaat een staande golf: een patroon dat niet voortloopt.

• Dat kan alleen in een begrensd medium, zoals een snaar of een luchtkolom.

Syllabus B1.4: bij een staande golf het verband tussen de golflengte en de lengte van het trillende medium analyseren; context muziekinstrumenten. Een staande golf is de som van een heenlopende en een teruggekaatste golf met gelijke frequentie en amplitude. Veelgemaakte fout: denken dat de snaar bij een staande golf stilstaat. Het patroon loopt niet voort, maar de snaar trilt wel. Kijkvraag voor de volgende dia: welke punten staan echt stil? Image credit: Dogmonster / Wikimedia Commons, publiek domein

Heen- en teruglopende golf en hun som (eigen animatie)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Knopen en buiken

• Een knoop is een punt dat nooit beweegt. Een buik is een punt met de grootste amplitude.

• Twee opeenvolgende knopen liggen een halve golflengte uit elkaar: ½λ.

• Een knoop en de dichtstbijzijnde buik liggen ¼λ uit elkaar.

• Punten tussen twee knopen trillen in fase, aan weerszijden van een knoop in tegenfase.

Syllabus B1.4: knoop en buik. In de animatie lopen de gestippelde golven naar rechts (heen) en naar links (terug); de violette lijn is de som. De som is nul op de knopen, de gestippelde golven wisselen daar steeds van teken. Kijkvraag: hoeveel knopen zie je en hoe ver liggen ze uit elkaar? Antwoord: vier knopen (twee op de uiteinden), elk ½λ uit elkaar. Veelgemaakte fout: de afstand tussen knoop en buik ½λ noemen. Image credit: Eigen animatie

Snaar met n = 1, 2 en 3 buiken (eigen figuur)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Wat past er in de snaar?

• De uiteinden van de snaar zijn vast: daar zit altijd een knoop.

• Dan past een geheel aantal halve golflengtes in de snaar: ℓ = n·½λ, met n = 1, 2, 3, ...

• n is het aantal buiken: n = 1 is de grondtoon, n = 2 de 1e boventoon, enzovoort.

• De formule staat in je informatieboek: jij kiest welke formule bij de situatie hoort.

Syllabus B1.4: formule ℓ = n·½λ (staat in Binas en ScienceData; de syllabus geeft de formules bij B1). ℓ is de lengte van het trillende medium. n telt de buiken. Veelgemaakte fout: n gelijkstellen aan het nummer van de boventoon. De 1e boventoon hoort bij n = 2. Kijkvraag: hoeveel knopen heeft de staande golf bij n = 3, de uiteinden meegeteld? Antwoord: vier. Image credit: Eigen figuur

Twee opeenvolgende knopen liggen 0,25 m uit elkaar. Bereken λ.

A

0,50 m

B

0,25 m

C

1,0 m

D

0,13 m

Twee opeenvolgende knopen liggen ½λ uit elkaar, dus λ = 2 · 0,25 = 0,50 m. Verwachte fouten: 0,25 m (afstand zelf als λ), 1,0 m (4 · 0,25, afstand tussen knoop en buik verward), 0,13 m (0,25 gedeeld door 2). Controle: ½ · 0,50 = 0,25. Syllabus B1.4.

Vul in

Een staande golf is de som van een heenlopende en een teruggekaatste golf met gelijke frequentie en amplitude.

heenlopende

teruggekaatste

frequentie

stilstaande

fase

Staande golf als interferentie van heen- en teruglopende golf. Verwachte fout: denken dat er één golf is die stilstaat. Syllabus B1.4.

Snaren in een vleugel, kort en lang (foto: Valerie Everett, CC BY-SA 2.0)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Frequenties van een snaar

• Combineer ℓ = n·½λ met v = f·λ: λ = 2ℓ/n. Dat geeft f = n·v/(2ℓ), met f in Hz.

• Grondtoon (n = 1): f1 = v/(2ℓ). Alle andere frequenties zijn n keer zo hoog.

• De 1e boventoon hoort bij n = 2: het nummer van de boventoon is n − 1.

• v is een eigenschap van de snaar en blijft gelijk bij elke toon.

Syllabus B1.4 en B1.3: ℓ = n·½λ en v = f·λ staan in het informatieboek. Herleiden hoort bij de vaardigheid: λ = 2ℓ/n, dan f = v/λ. Veelgemaakte fout: de 1e boventoon bij n = 1 plaatsen, of denken dat v verandert als je een andere toon speelt. In een vleugel hebben de hoge tonen korte snaren en de lage tonen lange snaren. Image credit: Valerie Everett / Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Rekenvoorbeeld

• Gegeven: ℓ = 0,50 m en v = 3,2·10² m/s. Gevraagd: de eerste drie frequenties.

• Grondtoon, n = 1: λ = 2ℓ = 1,00 m, dus f = v/λ = 3,2·10² Hz.

• 1e boventoon, n = 2: λ = ℓ = 0,50 m, dus f = 6,4·10² Hz.

• 2e boventoon, n = 3: λ = 2ℓ/3 = 0,33 m, dus f = 9,6·10² Hz.

• Controle: de frequenties verhouden zich als 1 : 2 : 3.

Syllabus B1.4 en B1.3. Nagerekend: 2 · 0,50 = 1,00 m en 320/1,00 = 320 Hz; λ = 0,50 m geeft 640 Hz; λ = 2 · 0,50/3 = 0,3333 m geeft 320/0,3333 = 960 Hz. Twee significante cijfers, want ℓ en v hebben er twee. Veelgemaakte fout: λ = ℓ nemen bij de grondtoon.

Frets en snaren van een basgitaar (foto: Dejan Krsmanovic, CC BY 2.0)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Korter is hoger

• Bij gelijke v zijn f en ℓ omgekeerd evenredig: f ~ 1/ℓ.

• Maak je ℓ twee keer zo klein, dan wordt f twee keer zo groot.

• Een fret verkort de trillende lengte van de snaar: de grondtoon wordt hoger.

• Meet je ℓ en de frequentie van de grondtoon, dan volgt v = 2ℓ·f1.

Syllabus B1.4, context muziekinstrumenten. f = n·v/(2ℓ): bij vaste n en v is f omgekeerd evenredig met ℓ. De golfsnelheid in een snaar bepaal je uit meetgegevens met v = 2ℓ·f1 (grondtoon). Veelgemaakte fout: denken dat een kortere snaar een lagere toon geeft, of f ~ ℓ in plaats van f ~ 1/ℓ. Image credit: Dejan Krsmanovic / Wikimedia Commons, CC BY 2.0

Een snaar van 0,70 m heeft v = 2,1·10² m/s. Bereken f van de 3e boventoon.

A

4,5·10² Hz

B

7,5·10² Hz

C

6,0·10² Hz

D

1,5·10² Hz

De 3e boventoon hoort bij n = 4. f = n·v/(2ℓ) = 4 · 2,1·10²/(2 · 0,70) = 4 · 150 = 6,0·10² Hz. Verwachte fouten: n = 3 geeft 4,5·10² Hz (nummer van de boventoon als n), n = 5 geeft 7,5·10² Hz, grondtoon geeft 1,5·10² Hz. Controle: 210/1,40 = 150 Hz.

De trillende lengte van een snaar gaat van 0,60 m naar 0,40 m. Hoe verandert de grondtoon?

A

f wordt 0,67 keer zo groot

B

f wordt 1,5 keer zo groot

C

f wordt 2,3 keer zo groot

D

f blijft gelijk

f ~ 1/ℓ, dus f2/f1 = 0,60/0,40 = 1,5. Verwachte fouten: 0,67 (evenredig in plaats van omgekeerd evenredig), 2,3 (kwadraat), gelijk (v blijft gelijk, dus f ook). Syllabus B1.4.

Bamboefluiten van verschillende lengte (foto: Pallab Kumar Nath, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

De luchtkolom in een buis

• In een fluit trilt een luchtkolom: de lucht in de buis vormt een staande golf.

• Een open uiteinde is een buik, een dicht uiteinde is een knoop.

• Geluid in lucht is longitudinaal: de tekening laat de uitwijking van de luchtdeeltjes zien.

• De opgave geeft de geluidsnelheid, of je zoekt hem op in je informatieboek.

Syllabus B1.4 en B1.3: geluid als golfverschijnsel, geluidsnelheid, longitudinaal. Ga bij tekenen uit van een buik precies aan het open uiteinde. Veelgemaakte fout: een knoop tekenen aan een open uiteinde. Luchtkolom is geen vakbegrip uit de syllabus, maar de gangbare naam voor het trillende medium in een blaasinstrument. Image credit: Pallab Kumar Nath / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Buis met twee open uiteinden, n = 1, 2 en 3 (eigen figuur)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Twee open uiteinden

• Beide uiteinden zijn open: aan beide kanten een buik.

• Er past een geheel aantal halve golflengtes: ℓ = n·½λ, net als bij een snaar.

• Dus f = n·v/(2ℓ): de frequenties verhouden zich als 1 : 2 : 3 : 4.

• Het verschil met de snaar: de uiteinden zijn buiken in plaats van knopen.

Syllabus B1.4: grondtoon, boventoon, verband tussen golflengte en lengte, formule ℓ = n·½λ. Bij n = 1 is er één knoop in het midden. Kijkvraag: hoeveel knopen heeft de buis bij n = 3? Antwoord: drie. Veelgemaakte fout: de tekening van een snaar overnemen, met knopen aan de uiteinden. Image credit: Eigen figuur

Luchtdeeltjes in een buis met één dicht uiteinde (eigen animatie)

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Eén uiteinde dicht

• Een knoop bij het dichte uiteinde, een buik bij het open uiteinde.

• Er past een oneven aantal kwart golflengtes: ℓ = (2n − 1)·¼λ.

• Dus f = (2n − 1)·v/(4ℓ): de frequenties verhouden zich als 1 : 3 : 5 : 7.

• Bij gelijke ℓ is de grondtoon van een gesloten buis de helft van die van een open buis.

Syllabus B1.4: formule ℓ = (2n − 1)·¼λ. In de animatie hoort de bovenste buis bij n = 1 (ℓ = ¼λ) en de onderste bij n = 2 (ℓ = ¾λ); de onderste trilt drie keer zo snel. Bij het dichte uiteinde staan de luchtdeeltjes stil (knoop), bij het open uiteinde bewegen ze het meest (buik). Volg de witte deeltjes; waar de deeltjes dicht opeen zitten, is de luchtdruk hoger. Kijkvraag: hoeveel keer zo snel trilt de onderste buis? Antwoord: drie keer. Veelgemaakte fout: bij de 1e boventoon 2 keer de grondtoon nemen, zoals bij een snaar. Image credit: Eigen animatie

Laagste grondtoon eerst (zelfde v)

1

Open buis van 0,50 m

2

Gesloten buis van 1,0 m

3

Open buis van 1,0 m

4

Gesloten buis van 2,0 m

Grondtoon gesloten: v/(4ℓ), open: v/(2ℓ). Met v = 343 m/s: 43 Hz, 86 Hz, 1,7·10² Hz, 3,4·10² Hz. Verwachte fout: open en gesloten niet onderscheiden. Syllabus B1.4.

Een buis met één dicht uiteinde heeft f1 = 120 Hz. Bereken f van de 1e boventoon.

A

2,4·10² Hz

B

4,8·10² Hz

C

6,0·10² Hz

D

3,6·10² Hz

1e boventoon is n = 2, dus factor 2n − 1 = 3: f = 3 · 120 = 3,6·10² Hz. Verwachte fouten: 2,4·10² (2 keer, zoals bij een snaar), 4,8·10² (4 keer), 6,0·10² (5 keer, dat is de 2e boventoon). Syllabus B1.4.

Wat vond je vandaag het lastigst?

1

Kiezen tussen de twee formules

2

Knopen en buiken tekenen

3

Het nummer van de boventoon

4

Rekenen met de frequentieformule

Gebruik de uitslag om te bepalen welk deel je met de tekeningen nog eens doorloopt.

Waarom geeft een snaar vaste tonen?

Vraag een antwoord in één zin. Een goed antwoord noemt dat alleen golven met een knoop op beide uiteinden passen, dus ℓ = n·½λ met een geheel aantal n. Verwachte fout: alleen zeggen dat de snaar vastzit.

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Begrippen (1/2)

• staande golf: Patroon dat ontstaat door interferentie van een heen- en een teruggekaatste golf; het loopt niet voort.

• knoop: Punt dat altijd in rust is: de uitwijking is nul.

• buik: Punt met de grootste amplitude.

• grondtoon: Laagste frequentie waarbij een staande golf past: n = 1.

• boventoon: Hogere frequentie waarbij een staande golf past. De 1e boventoon hoort bij n = 2.

EXAMENSTOF · B1 · STAANDE GOLVEN

Begrippen (2/2)

• ℓ = n·½λ: Twee gelijke uiteinden (knoop-knoop of buik-buik); staat in je informatieboek.

• ℓ = (2n − 1)·¼λ: Ongelijke uiteinden (een dicht, een open); staat in je informatieboek.

• open en dicht uiteinde: Open uiteinde: buik. Dicht uiteinde: knoop.

• v = f·λ: Voortplantingssnelheid = frequentie maal golflengte; staat in je informatieboek.