Exponentes

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Leyes de los exponentes y productos notables

¿Qué es un exponente?

1. Operación que permite representar multiplicaciones sucesivas

$$f(x)=a^x=a\cdot a\cdot a\cdot a...$$

Base

Exponente

Una raíz es un exponente

La única diferencia es que la raíz es un exponente fracción

$$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$$

Denominador

Numerador

Propiedades de los exponentes

1. Producto de bases iguales

$$a^n\cdot a^m$$

Propiedades de los exponentes

1. Producto de bases iguales

$$a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)\cdot (a\cdot a)$$

$$a^3\cdot a^2=a^5$$

Propiedades de los exponentes

1. Producto de bases iguales
2. Se suman los exponentes y se deja igual la base

$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$

Producto de exponentes

$$x^2\cdot x^7=x^9$$

$$x^3\cdot x^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{9}{2}}$$

$$2^3\cdot 2^4=2^7=128$$

Resuelve:

$$a^4\cdot a^3\cdot a^{-2}$$

1. a​9​​
2. a​2​​
3. a​3​​
4. a​5​​

Propiedades de los exponentes

1. División de bases iguales

$$\frac{a^n}{a^m}$$

Propiedades de los exponentes

1. División de bases iguales

$$\frac{a^3}{a^2}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}=a^1$$

Propiedades de los exponentes

1. División de bases iguales
2. Se restan los exponentes y se deja igual la base

$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$

Producto de exponentes

$$\frac{x^2}{x^5}=x^{2-5}=x^{-3}$$

$$\frac{3^7}{3^4}=3^{7-4}=3^3=27$$

Resuelve:

$$\frac{a^3}{a^2\cdot a^5}$$

1. a​10​​
2. a​−4​​
3. a​−2​​
4. a​1​​

Propiedades de los exponentes

1. Potencia de una potencia

$$(a^n{)}^m$$

Propiedades de los exponentes

1. Producto de una potencia

$$(a^2{)}^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^{2+2+2}$$

$$(a^2{)}^3=a^{2\cdot 3}=a^6$$

Propiedades de los exponentes

1. Potencia de una potencia
2. Se multiplican los exponentes y se deja igual la base

$$(a^n{)}^m=a^{n\cdot m}$$

Producto de exponentes

$$(\sqrt{x}{)}^3=(x^{\frac{1}{2}}{)}^3=x^{\frac{3}{2}}$$

$$(x^2{)}^{-2}=x^{2\cdot -2}=x^{-4}$$

$$(2^3{)}^2=2^{2\cdot 3}=2^6=64$$

Resuelve:

$$(a^{\frac{3}{2}}{)}^{\frac{1}{3}}$$

1. a​​2​​1​​​​=√​a​​​
2. a​​6​​5​​​​=​6​​√​a​5​​​​​
3. a​​6​​15​​​​=​6​​√​a​15​​​​​
4. a​1​​

¡También se puede usar en el otro sentido!

$$a^{\frac{7}{4}}=a^{1\frac{3}{4}}=a^{1+\frac{3}{4}}=a^1\cdot a^{\frac{3}{4}}$$

Casos especiales:

• Potenica 1

• Potencia 0

$$a^1=a$$

$$a^0=a^{1-1}=\frac{a}{a}=1$$

Casos especiales:

• Exponente negativo

$$a^{-1}=a^{0-1}=\frac{a^0}{a^1}$$

$$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$$

Casos especiales:

• Todo lo visto aplica cuando hay una potencia de varios términos.

$$(a^2{b}^{3}c)\cdot (ab{c}^2)=(a^2\cdot a)\cdot (b^3\cdot b)\cdot (c\cdot c^2)=a^3\cdot b^4\cdot c^3$$

$$\frac{a{b}^{2}c}{a^{2}b}=\frac{bc}{a}$$

¿Dudas?

¡A PRACTICAR!

Resuelve:

$$3^3\cdot 3^4\cdot 3=$$

1. 3​10​​
2. 3​8​​
3. 3​4​​
4. 3

Resuelve:

$$5^7\cdot 5^3=$$

1. 5​10​​
2. 5​8​​
3. 5​4​​
4. 5

Resuelve:

$$(5^3{)}^4$$

1. 5​7​​
2. 5​1​​
3. 5​​4​​3​​​​
4. 5​12​​

Resuelve:

$$\frac{x^2}{x^{-1}}$$

1. x​3​​
2. ​x​3​​​​1​​
3. ​x​2​​​​1​​
4. x​2​​

Resuelve:

$$\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt{x}\cdot x^3=$$

1. x​​4​​15​​​​
2. x​3​​⋅​4​​√​x​3​​​​​
3. ​4​​√​x​​​⋅√​x​​​⋅x​3​​
4. x​2​​

Resolución: 

$$\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt{x}\cdot x^3=x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot x^3$$

$$x^{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+3}=x^{\frac{1+2+12}{4}}=x^{\frac{15}{4}}$$

$$x^{\frac{15}{4}}=x^{3+\frac{3}{4}}=x^3\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^3\cdot \sqrt[4]{x^3}$$