Evenredigheden (Wiskunde B havo), les 1: Uitleg
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Evenredigheden
Examenstof wiskunde B havo
Lesduur is: 45 minIntroductie
Onderdelen in deze les
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Evenredigheden
Examenstof wiskunde B havo
Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: Subdomein B3 Evenredigheidsverbanden.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Wat ga je kunnen?
Ik kan recht en omgekeerd evenredige verbanden en machtsverbanden herkennen, de exponent en de evenredigheidsconstante bepalen en rekenen met schaalvergroting.
Deze slide heeft geen instructies
Waar kom je in het dagelijks leven twee dingen tegen die samen groter of kleiner worden?
Verwacht: prijs en gewicht, snelheid en reistijd, aantal mensen en de tijd die een klus kost, formaat en prijs. Sorteer de woorden alvast: sommige dingen worden samen groter (meer kilo, meer geld), andere gaan tegen elkaar in (meer mensen, minder tijd). Dat verschil is de kern van deze les.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Recht evenredig
Twee grootheden zijn recht evenredig als y 2, 3, 4 keer zo groot wordt wanneer x 2, 3, 4 keer zo groot wordt.
Formule: y = c · x. De constante c heet de evenredigheidsconstante.
Voorbeeld: 5 kg appels kosten € 9,00, dus c = 9,00 : 5 = € 1,80 per kg.
Bij recht evenredig hoort c = y/x en is dat getal voor elk punt hetzelfde. Voor 2 kg betaal je 2 · 1,80 = € 3,60 en voor 8 kg 8 · 1,80 = € 14,40. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong: bij 0 kg betaal je € 0. Syllabus B3: de begrippen recht evenredig en evenredigheidsconstante en de formule y = c · x.
y = 2x is recht evenredig, y = 2x + 3 niet
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Lineair is niet altijd recht evenredig
Recht evenredig: y = c · x, de lijn gaat door (0, 0).
Lineair: y = a · x + b. Is b ≠ 0, dan is het verband niet recht evenredig.
Test: bij recht evenredig is y/x voor elk punt hetzelfde getal.
Bij y = 2x is y/x steeds 2. Bij y = 2x + 3 is y/x bij x = 1 gelijk aan 5 en bij x = 2 gelijk aan 3,5: niet constant, dus niet recht evenredig. Een verdubbeling van x geeft hier ook geen verdubbeling van y: y(1) = 5 en y(2) = 7. Syllabus B3: het verschil tussen een lineair verband en een recht evenredig verband. Image credit: Eigen figuur
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Omgekeerd evenredig
Bij omgekeerd evenredig wordt y 2 keer zo klein als x 2 keer zo groot wordt.
Formule: y = c/x, dus x · y = c.
Voorbeeld: een klus van 60 arbeidsuren die n mensen samen doen duurt t = 60/n uur.
Met 2 mensen kost de klus 30 uur, met 4 mensen 15 uur: twee keer zoveel mensen, de helft van de tijd. Het product n · t is steeds 60. De grafiek is een hyperbool. Syllabus B3: formule y = c/x als omgekeerd evenredig verband. Veelgemaakte fout: denken dat 'omgekeerd evenredig' betekent dat y afneemt met een vast aantal per stap (lineair dalend).
Een taxi rekent € 4,00 starttarief plus € 2,00 per km. Is de prijs recht evenredig met de afstand?
Ja: de grafiek is een rechte lijn
Ja: elke km kost evenveel
Nee: de prijs is omgekeerd evenredig met de afstand
Nee: bij 0 km betaal je al € 4,00
De prijs is P = 4 + 2 · km: lineair, maar de lijn gaat niet door (0, 0). P/km is niet constant: bij 5 km is het 14/5 = 2,8 en bij 10 km 24/10 = 2,4. Ja: de grafiek is een rechte lijn en Ja: elke km kost evenveel zijn de klassieke fout lineair en recht evenredig te verwarren. Omgekeerd evenredig kan niet: de prijs stijgt als de afstand stijgt.
De prijs K (in euro) van tomaten is recht evenredig met het gewicht. Voor 4 kg betaal je € 9,00. Wat kost 10 kg?
c = 9,00 : 4 = 2,25 euro per kg, dus K = 2,25 · 10 = € 22,50. Dezelfde uitkomst via de factor: 10/4 = 2,5 en 2,5 · 9,00 = 22,50. Verwachte fout: 9,00 + 6 = 15,00 optellen in plaats van vermenigvuldigen.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Evenredig met een macht
y is evenredig met een macht van x als y = c · x tot de macht n.
Voor n = 1 is dat recht evenredig, voor n = −1 omgekeerd evenredig.
Voorbeeld: de oppervlakte van een cirkel met straal r is evenredig met r², met c = π.
Dit is de algemene vorm uit de syllabus (B3, vaardigheid 2 en 3): y = c · xⁿ. De exponent n mag negatief of een breuk zijn. Voorbeelden: n = ½ bij y = 3√x, n = 2 bij een oppervlakte, n = 3 bij een inhoud, n = −1 bij y = c/x. Bij r = 3 is A = 9π.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Exponent en constante bepalen
Gegeven twee punten van y = c · x tot de macht n: deel de twee vergelijkingen op elkaar, dan valt c weg.
Je krijgt een vergelijking voor n.
Vul daarna één punt in om c te vinden.
Voorbeeld: de punten (2, 12) en (4, 48) liggen op y = c · xⁿ. Delen geeft 48/12 = (4/2)ⁿ, dus 4 = 2ⁿ en n = 2. Dan c · 2² = 12 geeft c = 3, dus y = 3x². Controle met het andere punt: 3 · 4² = 48. Veelgemaakte fout: x₂ − x₁ of y₂ − y₁ nemen in plaats van de verhouding.
y = xⁿ voor n = 0,5, n = 1 en n = 2
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
De vorm van de grafiek
n > 1: de grafiek buigt steeds steiler omhoog.
n = 1: een rechte lijn door de oorsprong.
0 < n < 1: de grafiek vlakt af. n < 0: de grafiek daalt als een hyperbool.
In de figuur is c = 1, dus alle grafieken gaan door (1, 1). Bij x = 4 geven de drie grafieken y = 2, y = 4 en y = 16 (die laatste valt buiten het beeld). Bij een negatieve exponent is x = 0 niet toegestaan en komt de grafiek nooit op de assen. Syllabus B3: bijbehorende grafieken tekenen. Image credit: Eigen figuur
Er geldt y = c · x tot de macht n. Bij x = 2 is y = 5 en bij x = 6 is y = 45. Wat is n?
n = 3
n = 9
n = 4
n = 2
45/5 = 9 en 6/2 = 3, dus 3ⁿ = 9 en n = 2 (c = 5/4). n = 3 is de factor van x; n = 9 is de factor van y; n = 4 komt van 45 − 5 = 40 en 6 − 2 = 4 (verschillen in plaats van verhoudingen).
Er geldt y = 3 · x tot de macht n. Bij x = 4 is y = 6 en bij x = 16 is y = 12. Bereken n.
3 · 4ⁿ = 6 geeft 4ⁿ = 2, dus n = ½ (want 4 tot de macht ½ is √4 = 2). Controle: 3 · 16 tot de macht ½ = 3 · 4 = 12. Het verband is dus y = 3√x. Verwachte fout: n = 2 (denken dat 4ⁿ = 2 betekent dat n = 2) of n = 1 (omdat 6 en 12 bij 4 en 16 lineair lijken).
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Schaalvergroting
Bij y = c · x tot de macht n geldt: wordt x k keer zo groot, dan wordt y k tot de macht n keer zo groot.
n = 2 en k = 3: y wordt 3² = 9 keer zo groot.
n = −1 en k = 2: y wordt 2⁻¹ = ½ keer zo groot, dus half zo groot.
De constante c valt weg: c · (kx)ⁿ / (c · xⁿ) = kⁿ. Dit is het effect van schaalvergroting uit de syllabus (B3). Voorbeeld: een voorwerp dat 1,5 keer zo groot wordt in elke richting heeft 1,5² = 2,25 keer zoveel oppervlakte en 1,5³ = 3,375 keer zoveel inhoud. Veelgemaakte fout: y wordt k · n keer zo groot.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Schaalvergroting in een context
Een pizza van 24 cm kost € 9,00. De prijs is evenredig met het kwadraat van de doorsnede d.
De doorsnede wordt 36 cm: k = 36/24 = 1,5.
De prijs wordt 1,5² = 2,25 keer zo groot: 2,25 · 9,00 = € 20,25.
Je hoeft c niet uit te rekenen: de verhouding is genoeg. Controle met c: K = c · d² met c = 9/24² = 9/576, dus K(36) = 9/576 · 1296 = 20,25. Verwachte fout: 1,5 · 9,00 = € 13,50 (de prijs evenredig met d in plaats van d²).
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Vergelijking opstellen en oplossen
Een vis van 30 cm weegt 270 g. De massa M is evenredig met l³.
Stel M = c · l³ op en bereken c met het gegeven punt.
Los dan op: hoe lang is een vis van 640 g?
c = 270/27 000 = 0,01 (30³ = 27 000). Dan 0,01 · l³ = 640 geeft l³ = 64 000 en l = 40 cm, want 40³ = 64 000. Zo staat een opgave in de syllabus (B3, vaardigheid 4): vergelijking opstellen, oplossen en de oplossing interpreteren: een vis van 640 g is 40 cm lang. Examenwerkwoord exact: laat de stappen zien en rond niet af.
De lichtsterkte L is omgekeerd evenredig met d². De afstand d tot de lamp wordt 3 keer zo groot. Wat gebeurt er met L?
L wordt 3 keer zo klein
L wordt 9 keer zo klein
L wordt 9 keer zo groot
L wordt 6 keer zo klein
n = −2 en k = 3: L wordt 3⁻² = 1/9 keer zo groot, dus 9 keer zo klein. 3 keer zo klein vergeet het kwadraat; 9 keer zo groot negeert het omgekeerde; 6 keer zo klein komt van 3 · 2.
De massa van een vis is evenredig met l³. De vis wordt 20% langer. Met welke factor neemt de massa toe? Rond af op 2 decimalen.
20% langer is k = 1,2. De massa wordt 1,2³ = 1,728 keer zo groot, afgerond 1,73. Dat is een toename van ongeveer 73%. Verwachte fouten: 1,44 (kwadraat) of 1,2 (geen macht).
Wat vind je nu het lastigst?
Recht of omgekeerd evenredig herkennen
n en c bepalen uit twee gegevens
Schaalvergroting met factor k
Een vergelijking opstellen en oplossen
Gebruik de uitslag om te kiezen welk vraagtype je in les 2 als eerste bespreekt.
Leg uit waarom y = 2x + 3 niet recht evenredig is met x.
Een goed antwoord: bij x = 0 is y = 3 en niet 0, of: y/x is niet constant (bij x = 1 is het 5, bij x = 2 is het 3,5), of: verdubbelt x, dan verdubbelt y niet (y = 5 wordt 7). Verwachte fout: 'het is niet recht evenredig omdat het geen rechte lijn is', terwijl de grafiek wel een rechte lijn is.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Begrippen (1/2)
recht evenredig: x 2, 3, 4 keer zo groot geeft y 2, 3, 4 keer zo groot: y = c · x
omgekeerd evenredig: x 2 keer zo groot geeft y 2 keer zo klein: y = c/x
evenredig met een macht: een verband van de vorm y = c · x tot de macht n
evenredigheidsconstante: het vaste getal c in y = c · x tot de macht n
lineair verband: y = a · x + b: een rechte lijn, niet altijd door de oorsprong
Deze slide heeft geen instructies
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · VERBANDEN · EVENREDIGHEID
Begrippen (2/2)
machtsverband: een verband waarin y een constante keer een macht van x is
exponent: het getal n in x tot de macht n; het bepaalt de vorm van de grafiek
schaalfactor: het getal k waarmee x wordt vermenigvuldigd
schaalvergroting: wordt x k keer zo groot, dan wordt y k tot de macht n keer zo groot
hyperbool: de grafiek van y = c/x, die de assen nooit snijdt
Deze slide heeft geen instructies
