Radioactiviteit - Halveringsdikte & logaritmisch rekenen (V)

Radioactiviteit

Halveringsdikte & logaritmisch rekenen (V)

1 / 24

Slide 1: Tekstslide

NatuurkundeMiddelbare schoolhavo, vwoLeerjaar 4

In deze les zitten 24 slides, met interactieve quiz, tekstslides en 1 video.

Lesduur is: 45 min

Onderdelen in deze les

Radioactiviteit

Halveringsdikte & logaritmisch rekenen (V)

Slide 1 - Tekstslide

Leerdoelen

Aan het eind van de les...

... weet en begrijp je de formule voor de intensiteit als gevolg van de halveringsdikte
... weet je hoe je de halveringsdikte kan gebruiken in de formule
... weet waar je de halveringsdikte kan vinden in BINAS

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Video

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Halveringsdikte

De halveringsdikte is de materiaaldikte die de intensiteit van de straling halveert. Wanneer een stralingsbron voor een bepaald materiaal met dikte d wordt geplaatst (bij x = 0), zal een deel van de intensiteit worden geabsorbeerd en een ander deel worden doorgelaten aan de andere kant van het materiaal (bij x = d).

De intensiteit van een bron achter een materiaal van dikte d wordt gegeven met de formule:

waarin:

I_d = intensiteit op x = d (W/m² of %)

I₀ = intensiteit op x = 0 (W/m² of %)

d = dikte van het materiaal in (m)

d_½ = halveringsdikte van het materiaal in (m)

De intensiteit mag zowel in W/m² als in % worden uitgedrukt.

I^{​ d ​ ​} = I^{​ 0 ​ ​} (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ d ​ ​}{​ d ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

Slide 10 - Tekstslide

Halveringen

Net als bij de halveringen van activiteit en aantal kernen door de halveringstijd, wordt de intensiteit gehalveerd bij elke halveringsdikte van het materiaal. Ook hier is weer een duidelijke dalende lijn te zien, waarbij 50 % straling is geabsorbeerd na een eerste halveringsdikte, zie diagram hieronder.

In de formule voor intensiteit staat de factor d/d_½:

Deze factor staat voor het aantal keren dat de intensiteit van de stralingsbron op positie x = 0 gehalveerd wordt door het materiaal. We kunnen die factor ook uitdrukken in n = d/d_½ en dan krijgen we de formule:

Het symbool n staat nu voor het aantal keren dat de intensiteit gehalveerd wordt:

I^{​ d ​ ​} = I^{​ 0 ​ ​} (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ d ​ ​}{​ d ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

I^{​ d ​ ​} = I^{​ 0 ​ ​} (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ n ​ ​}

n = \frac{​ d ​ ​}{​ d ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​}

Slide 11 - Tekstslide

Halveringsdikte in BINAS

Let op! De halveringsdikte hangt niet alleen af van het soort materiaal.

De energie van de röntgen- en/of gammafotonen spelen ook een belangrijke rol in het toepassen van de formule.

In BINAS Tabel 28F staat zowel de stof, de energie E als de halveringsdikte in cm weergegeven, zie hieronder.

De gele rij stelt het gas lucht voor, de blauwe lijn de vloeistof water en de oranje rijen stellen vaste stoffen voor.

Om de juiste halveringsdikte te bepalen uit de tabel, moet eerst de stof gevonden worden uit de eerste kolom. De energie van de straling moet bekend zijn, anders kan de juiste halveringsdikte niet daarbij gevonden worden. Bovenaan de kolommen staan de energieën vermeld. Kies de juiste kolom bij de juiste energie en de juiste rij bij de juiste stof.

Bijvoorbeeld: de halveringsdikte van beton bij een energie van 2,0 MeV is 6,6 cm.

Slide 12 - Tekstslide

Voorbeeld I: halveringen

V: Iemand heeft een plaat met een halveringsdikte
van d_½ = 0,5 cm. Het materiaal zelf is 4,0 cm dik.

Hoe vaak zal de intensiteit van een stralingsbron gehalveerd worden wanneer die voor de plaat gezet wordt?

A: Dit kunnen we op twee manieren berekenen.

Manier I: In de vraag wordt eigenlijk om n gevraagd.

Oftewel, de straling moet 8 keer 0,5 cm door het 4,0 cm dikke materiaal voort te planten.

Manier II: Het aantal halveringen kan ook op een andere manier bepaald worden, wat ook 8 halveringen geeft:

0 cm → 0,5 cm → 1,0 cm → 1,5 cm → 2,0 cm → 1,5 cm → 3,0 cm → 3,5 cm → 4,0 cm.

Acht pijltjes dus 8 halveringen.

n = \frac{​ d ​ ​}{​ d ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} = \frac{​ 4 , 0 ​ ​}{​ 0 , 5 ​} = 8

Slide 13 - Tekstslide

Voorbeeld II: loden schort

V: Een verpleegkundige doet onderzoek in het ziekenhuis waarbij ze aan röntgenstraling met een energie van 0,1 MeV wordt blootgesteld. Tegen deze straling gebruikt ze een loden schort. Hoe dik in cm moet het schort zijn om de intensiteit van de bron met 98,4375 % te verminderen?

A: I₀ = 100 %.

I_d = 100 % - 98,4375 % = 1,5625 %, omdat I_d de intensiteit aangeeft die over is op positie x = d.

d_{½, lood, 0,1 MeV} = 0,0106 cm, zie BINAS T28F.

Om erachter te komen doe dik het lood moet zijn, kan de formule n = d/d_½ gebruikt worden om d uit te rekenen.

Echter, wat nog mist is het aantal halveringsstappen n. Daar kan achter gekomen worden door de intensiteit van 100 % op positie x = 0 continu te halveren tot het getal 1,5625 % behaald wordt.

100 % → 50 % → 25 % → 12,5 % → 6,25 % → 3,125 % → 1,5625 %. Dit zijn 6 halveringsstappen, dus n = 6.

De dikte van het loden schort moet dus 0,0635 cm zijn.

n = \frac{​ d ​ ​}{​ d ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} \to d = n \cdot d^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = 6 \cdot 0, 0106 = 0, 0636 c m

Slide 14 - Tekstslide

Logaritmisch rekenen

Het is echter niet altijd zo dat je een halveringsdikte d_½, dikte van een materiaal d, halveringstijd t_½ of de tijd waarin een isotoop vervalt t kan uitrekenen door een geheel getal halveringen n.

Het kan namelijk zo zijn dat je niet met gehele halveringsstappen n van de ene waarde exact op een andere waarde komt. In dat geval moet je gebruik maken van logaritmisch rekenen om uiteindelijk wel het vraagstuk op te lossen.

In dit hoofdstuk zijn een aantal formules voorbij gekomen met daarin een machtsfunctie, bijvoorbeeld:

Het logaritmisch rekenen komt van pas wanneer we één van de twee grootheden in de machtsterm willen berekenen, in dit geval of t of t_½. Hoe kunnen de formule herschrijven naar de vorm:

N^{​ t ​ ​} = N^{​ 0 ​ ​} (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

t = . . .

Slide 15 - Tekstslide

Logaritmisch rekenen

Daar hebben we de logaritmische functie voor nodig, vergelijkbaar met de sinus- en cosinusfunctie. De (wiskundige) definitie van de logaritmische functie is:

Zo wordt de variable macht (x in dit voorbeeld) "losgemaakt" van de (½).

Hoe begin je hiermee? Je moet ervoor zorgen dat de (½)^x-vorm alleen komt te staan aan een van de twee kanten van het =-teken, zoals dit:

Op deze manier kan je de logaritme nemen aan beide kanten van de vergelijking. Dan komt de x-term van de (½)^x-vorm voor de log(½) staan:

En nu kan wat in de macht staat, (t/t_½ in dit voorbeeld) "losgemaakt" worden van de (½):

Let op dat de log blijft staan!

\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} = (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

N^{​ t ​ ​} = N^{​ 0 ​ ​} \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​} \to \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} = (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

\to lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} \cdot lo g (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})

\to lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = lo g ((\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​})

lo g (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ x ​ ​} = x \cdot lo g (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})

Slide 16 - Tekstslide

Logaritmisch rekenen

Wat overblijft is deze vergelijking:

Let op dat log(½) is een getal is, gelijk aan -0,301..., net zoals dat ln(2) ook een getal is, gelijk aan 0,693...

Om de log(½) aan de rechterkant weg te werken, delen we beide kanten van de vergelijking door log(½):

Dan aan beide kanten met t½ te vermenigvuldigen:

Nu hebben is er een vorm waarmee gerekend kan worden:

Wanneer je N_t en N₀ hebt, kan je ook log(N_t/N₀) uitrekenen, wat dan ook een getal wordt.

Om bijvoorbeeld log(½) uit te reke-
nen volg je de volgende manier van
toetsen op je rekenmachine:

1. Rood, 2. Groen, 3, Paars, 4. Blauw,

5. Oranje, 6. Geel, 7. Donkerblauw.

Op de volgende sheet staat een
voorbeeldopgave met logaritmisch rekenen.

t = t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} \cdot \frac{​ lo g ( \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​}

\to t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} \cdot \frac{​ lo g ( \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​} = t

\to \frac{​ lo g ( \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​} = \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​}

lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} \cdot lo g (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})

Slide 17 - Tekstslide

Voorbeeld III

V: Van een Po-isotoop met een onbekend massagetal is bekend dat er 1,00·10⁶ kernen zijn. Na een half uur wordt het aantal onvervallen kernen nogmaals gemeten en blijkt dat er nog 1074 kernen over zijn.

Om welk isotoop van Po gaat het hier? Noteer je antwoord als Po-x waarbij x het juiste massagetal is.

Hint: gebruik BINAS T25 om de halveringstijden van de Po-isotopen te vergelijken.

A: Om te achterhalen om welk isotoop het hier gaat, moet je de halveringstijd uitrekenen. Deze halveringstijd is gekoppeld aan een bepaald isotoop en dus moet de halveringstijd uitgerekend worden.

Hieronder wordt sneller door de omschrijving van de formule heen gewerkt (zie details vorige sheets):

N^{​ t ​ ​} = N^{​ 0 ​ ​} \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​} \to \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} = (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}

\to lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = lo g ((\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​})^{​ \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} ​ ​}) \to lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} \cdot lo g ((\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}))

\to lo g (\frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​}) = \frac{​ t ​ ​}{​ t ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} \cdot lo g ((\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}))

\to t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = t \cdot (\frac{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} ) ​})

Slide 18 - Tekstslide

Voorbeeld III

Gegevens:

t = 0,5 u = 0,5·60·60 = 1800 s,

N_t = 1074 kernen,

N₀ = 1,00·10⁶ kernen

Invullen geeft:

Om uiteindelijk uit te komen op:

Dit komt het dichtst in de buurt van Po-218 met een t_½ = 3,05 min, zie BINAS T25.

t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = t \cdot (\frac{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ N ^{​ t ​ ​} ​ ​}{​ N ^{​ 0 ​ ​} ​} ) ​})

\to t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = 1800 \cdot (\frac{​ - 0 , 3 0 1 . . . ​ ​}{​ - 2 , 9 6 8 . . . ​})

\to t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = 1800 \cdot (\frac{​ lo g ( \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ) ​ ​}{​ lo g ( \frac{​ 1 0 7 4 ​ ​}{​ 1 , 0 \cdot 1 0 ^{​ 6 ​ ​} ​} ) ​})

\to t^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = 182, 5 . . . s = 3, 04 min

Slide 19 - Tekstslide

Als je vragen hebt, kan je ze hier stellen.

Slide 20 - Open vraag

Opgaven

Opgave 1

Artsen en verpleegkundigen die werken met röntgenapparatuur dragen tijdens hun werk een schort waarin lood is opgenomen. Dit schort dient ervoor om de ioniserende röntgenstraling zo veel mogelijk tegen te houden.

a. Leg uit waarom het belangrijk is om een loodschort te dragen.

b. De dikte van het lood in een loodschort is 0,5 mm. Laat zien dat meer dan 98% van de röntgenstraling wordt tegengehouden door het loodschort. Ga er hierbij vanuit dat

gewerkt wordt met röntgenstraling van 50 keV.

Opgave 2

Een rol aluminiumfolie met een breedte 30 cm en een lengte van 15 m (uitgerold) heeft een massa van 217,2 g. De lege rol heeft een massa van 120 g.

a. Laat met een berekening zien dat de dikte van dit aluminiumfolie 8,0 μm is. Bereken hiervoor eerst m.b.v. de dichtheid (BINAS tabel 8) het volume.

b. De intensiteit van de röntgenstraling blijkt met 75% af te nemen als het door het aluminium heen is gegaan. Laat dit zien dat dit klopt met de dikte en de halveringsdikte van het aluminium.

c. Van een andere soort aluminiumfolie blijkt de intensiteit van de röntgenstraling met 50% af te nemen als het aluminiumfolie zich tussen de röntgenbuis en de detector bevindt. Bepaal hiermee de dikte van het aluminiumfolie.

Slide 21 - Tekstslide

Opgaven

Opgave 3

Bij plaatselijke klachten was het vroeger mogelijk om een kompres met radium-226 op de pijnlijke plek te leggen. Zo’n radiumkompres met een activiteit van 7,2 MBq werd eens in een container gevonden. Bij de productie in 1951 had dit kompres een activiteit van 7,4 MBq.

Bereken het jaar waarin het radiumkompres gevonden werd.

Opgave 4

Een mummie wordt gevonden in een houten sarcofaag. De leeftijd van het hout wordt gevonden met behulp van koolstofdatering met behulp van het isotoop C-14. Uit een chemische analyse blijkt dat in de loop van de jaren 35% van C-14 vervallen is. Bereken hoeveel jaar voor Christus de mummie begraven is.

Opgave 5

Een verpleegkundige moet voor haar werkzaamheden in het ziekenhuis een loden schort om, om haar tegen röntgenstraling te beschermen. In het ziekenhuis wordt met de volgende isotopen gewerkt:

Tc-99m met een energieniveau van 10,0 MeV,

N-16 met een energieniveau van 1,0 MeV en

Ba-137m met een energieniveau van 5,0 MeV.

Hoe dik moet het loden schort zijn om minimaal 99,9 % van de straling tegen te houden?

Slide 22 - Tekstslide

Opgaven

Opgave 6

In een behandelkamer waarin röntgenstraling wordt gebruikt, is het de bedoeling dat zo weinig mogelijk van deze straling doordringt tot buiten de kamer. De kamer is daarom voorzien van betonnen wanden van 1,5 m dikte.

Als een bundel röntgenstraling op deze wand zou vallen, is de sterkte van de straling achter deze wand 1,0·10⁴ maal zo zwak als die voor de wand, zie afbeelding hiernaast.

Bereken de halveringsdikte van het beton voor deze straling.

Opgave 6 (vervolg)

Slide 23 - Tekstslide

Opgaven

Opgave 3

Thalliumscintigrafie is een techniek die gebruikt wordt om de doorbloeding van de hartspier te onderzoeken. In het onderzoek wordt thallium-201 gebruikt.

De stralingsintensiteit van het isotoop neemt o.a. af vanwege absorptie in het lichaam. In de afbeelding hiernaast geeft H het hart aan. De fotonen die bij het verval van thallium-201 vrijkomen hebben een energie van 0,10 MeV.

Toon met een berekening aan dat de absorptie van γ-straling tussen de punten A en B in de lucht verwaarloosbaar is.

Opgave 3 (vervolg)

Slide 24 - Tekstslide

Radioactiviteit - Halveringsdikte & logaritmisch rekenen (V)

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Video

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Open vraag

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze

Radioactiviteit - Halveringsdikte (H)

H5.2 Radioactiviteit - Halveringsdikte (H)

10.3 Beelden door stralingsabsorptie

Oefenen halveringsdikte

H10.2 & 10.3 Stralingsbronnen en Straling en materie

Introductie - Straling

RA.4-5-6-Halveringsdikte 2122

les 2 rontgenstraling