Propiedades y De Morgan

Propiedades de conjuntos.

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Slide 1: Tekstslide

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Propiedades de conjuntos.

Slide 1 - Tekstslide

Unión:

A \cup A = A

A \cup A^{​ c ​ ​} = U

Propiedad conmutativa

A \cup B = B \cup A

Propiedad asociativa

A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

Slide 2 - Tekstslide

Intersección:

A \cap A = A

A \cap A^{​ c ​ ​} = Φ

Propiedad conmutativa

A \cap B = B \cap A

Propiedad asociativa

A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

Slide 3 - Tekstslide

Diferencia:

A - A = Φ

A - A^{​ c ​ ​} = A

Propiedad conmutativa

A - B \neq B - A

Propiedad asociativa

Para que exista la propiedad asociativa debe de existir la conmutativa

Slide 4 - Tekstslide

Operaciones con conjunto vacío

El conjunto vacío en una operación va a mostrar características especiales:

Slide 5 - Tekstslide

A \cup Φ

¿Cual será el resultado de?

Slide 6 - Woordweb

Al unir algo con el vacío

A \cup Φ = A

Slide 7 - Tekstslide

A \cap Φ

¿Cual será el resultado de?

Slide 8 - Woordweb

Intersección con vacío:

A \cap Φ = Φ

Slide 9 - Tekstslide

A - Φ

¿Cual será el resultado de?

Slide 10 - Woordweb

Diferencia con vacío:

A - Φ = A

Slide 11 - Tekstslide

Φ^{​ c ​ ​}

¿Cual será el resultado de?

Slide 12 - Woordweb

Complemento del vacío:

Φ^{​ c ​ ​} = U

Slide 13 - Tekstslide

Operaciones con conjunto universo

El conjunto universo en una operación va a mostrar características especiales:

Slide 14 - Tekstslide

A \cup U

¿Cual será el resultado de?

Slide 15 - Woordweb

Al unir algo con el universo

A \cup U = U

Slide 16 - Tekstslide

A \cap U

¿Cual será el resultado de?

Slide 17 - Woordweb

Intersección con universo:

A \cap U = A

Slide 18 - Tekstslide

A - U

¿Cual será el resultado de?

Slide 19 - Woordweb

Diferencia con universo:

A - U = Φ

Slide 20 - Tekstslide

U^{​ c ​ ​}

¿Cual será el resultado de?

Slide 21 - Woordweb

Complemento del universo:

U^{​ c ​ ​} = Φ

Slide 22 - Tekstslide

Complementos múltiples

El complemento nos entrega aquellos elementos que están fuera del conjunto. Por lo que:

(A^{​ c ​ ​})^{​ c ​ ​} = A

Slide 23 - Tekstslide

Propiedad distributiva (Unión e intersección)

Funciona como un producto algebraíco cuando tenemos dos operaciones diferentes

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

Slide 24 - Tekstslide

Leyes de DeMorgan

La negación de una operación entre conjuntos.

Slide 25 - Tekstslide

Leyes de DeMorgan

La negación de una operación entre conjuntos.

(A \cap B)^{​ c ​ ​} = A^{​ c ​ ​} \cup B^{​ c ​ ​}

(A \cup B)^{​ c ​ ​} = A^{​ c ​ ​} \cap B^{​ c ​ ​}

Slide 26 - Tekstslide

Resumen

Asociativa

Conmutativa

A \cup B = B \cup A

A \cap B = B \cap A

A - B \neq B - A

A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C)

A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C)

Distributiva

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

DeMorgan

(A \cup B)^{​ c ​ ​} = A^{​ c ​ ​} \cap B^{​ c ​ ​}

(A \cap B)^{​ c ​ ​} = A^{​ c ​ ​} \cup B^{​ c ​ ​}

Unión

A \cup A = A

A \cup A^{​ c ​ ​} = U

A \cup U = U

A \cup Φ = A

Intersección

A \cap A = A

A \cap A^{​ c ​ ​} = Φ

A \cap U = A

A \cap Φ = Φ

Slide 27 - Tekstslide

Y todo esto, ¿Para qué?

(A \cap B) \cup (A \cap B^{​ c ​ ​})

Slide 28 - Tekstslide

Y todo esto, ¿Para qué?

(A \cap B) \cup (A \cap B^{​ c ​ ​})

A \cap (B \cup B^{​ c ​ ​})

Aplicando la propiedad distributiva (factorización)

Slide 29 - Tekstslide

Y todo esto, ¿Para qué?

(A \cap B) \cup (A \cap B^{​ c ​ ​})

A \cap (B \cup B^{​ c ​ ​})

Aplicando la propiedad distributiva (factorización)

La unión de un conjunto y su complemento es U

A \cap U = A

Slide 30 - Tekstslide

Ejemplo 2

((A^{​ c ​ ​} \cap B)^{​ c ​ ​} \cap (A \cup B))^{​ c ​ ​}

Slide 31 - Tekstslide

Ejemplo 2

((A^{​ c ​ ​} \cap B)^{​ c ​ ​} \cap (A \cup B))^{​ c ​ ​}

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

(A^{​ c ​ ​} \cap B) \cup (A \cup B)^{​ c ​ ​}

Slide 32 - Tekstslide

Ejemplo 2

((A^{​ c ​ ​} \cap B)^{​ c ​ ​} \cap (A \cup B))^{​ c ​ ​}

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

(A^{​ c ​ ​} \cap B) \cup (A \cup B)^{​ c ​ ​}

Sigue habiendo un complemento afectando a todo un paréntesis...

(A^{​ c ​ ​} \cap B) \cup (A^{​ c ​ ​} \cap B^{​ c ​ ​})

Slide 33 - Tekstslide

Ejemplo 2

((A^{​ c ​ ​} \cap B)^{​ c ​ ​} \cap (A \cup B))^{​ c ​ ​}

Como tenemos un complemento afectando a un paréntesis aplicamos DeMorgan

(A^{​ c ​ ​} \cap B) \cup (A \cup B)^{​ c ​ ​}

Sigue habiendo un complemento afectando a todo un paréntesis...

(A^{​ c ​ ​} \cap B) \cup (A^{​ c ​ ​} \cap B^{​ c ​ ​})

Propiedad distributiva

A^{​ c ​ ​} \cap (B \cup B^{​ c ​ ​}) = A^{​ c ​ ​} \cap U = A^{​ c ​ ​}

Slide 34 - Tekstslide

Ejemplo 3

((A \cap B)^{​ c ​ ​} \cap (A^{​ c ​ ​} \cup B))^{​ c ​ ​} \cup ((C \cup D)^{​ c ​ ​} \cup (C^{​ c ​ ​} \cap D))^{​ c ​ ​}

((A \cap B) \cup (A^{​ c ​ ​} \cup B)^{​ c ​ ​}) \cup ((C \cup D) \cap (C^{​ c ​ ​} \cap D)^{​ c ​ ​})

((A \cap B) \cup (A \cap B^{​ c ​ ​})) \cup ((C \cup D) \cap (C \cup D^{​ c ​ ​}))

((A \cap (B \cup B^{​ c ​ ​})) \cup (C \cup (D \cap D^{​ c ​ ​}))

Slide 35 - Tekstslide

Ejemplo 3

((A \cap (B \cup B^{​ c ​ ​})) \cup (C \cup (D \cap D^{​ c ​ ​}))

((A \cap (U) \cup (C \cup (Φ))

A \cup C

Slide 36 - Tekstslide

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