Progresiones Geométricas

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Progresión geométricas

Aquellas sucesiones que se obtienen al multiplicar un mismo valor a cada término anterior.

Progresión geométrica

A= {2,4,8,16,32,64,,...}

Va de 2 en dos, entonces si le multiplico 2 a un término obtengo el siguiente.

Terminología:

• Primer término =
• Término "n" = 
• Razón entre términos = r
• Cantidad de términos =  n

$$a_1$$

$$a_n$$

Regla de correspondencia:

$$A=\{2,6,18,54,162,486,1458\}$$

$$a_1=2$$

$$a_2=2\times 3$$

$$a_3=2\times 3\cdot 3$$

$$a_1=2$$

$$a_2=a_1\times r$$

$$a_3=a_1\times r^2$$

$$a_4=2\times 3\cdot 3\cdot 3$$

$$a_4=a_1\times r^3$$

Regla de correspondencia:

$$a_n=a_1\times r^{n-1}$$

Ejemplo:

Determine el término 11 de la progresión geométrica:

$$a_n=a_1\times r^{n-1}$$

$$a_1=3n=11r=-2$$

$$a_{11}=3(-2{)}^{11-1}=3(-2{)}^{10}=3(1024)$$

$$a_{11}=3072$$

$$A=\{3,-6,12,-24,48,...\}$$

Ejemplo:

Determine el término 5 de una progresión geométrica con valor inicial de          y razón 4

$$a_n=a_1\times r^{n-1}$$

$$a_1=\frac{1}{64}n=5r=4$$

$$a_5=\frac{1}{64}(4{)}^{5-1}=\frac{1}{64}{4}^4=\frac{1}{64}\cdot 256=4$$

$$\frac{1}{64}$$

No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

Ejemplo:

El último término de una progresión geométrica es 375, su primer término es 3 su razón es 5, ¿cuántos términos son?

$$375=3\cdot 5^{n-1}$$

$$\frac{375}{3}=5^{n-1}$$

$$a_n=375$$

$$125=5^{n-1}$$

$$5^3=5^{n-1}$$

$$n-1=3$$

$$n=4$$

Series Geométricas

La suma de términos de una progresión geométrica

Serie Geométrica

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{a_1-r\cdot a_n}{1-r}$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{a_1-a_1\cdot r^n}{1-r}$$

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

Ejemplo:

Obtener la serie geométrica hasta el término 4 de la siguiente progresión

$$A=\{2,6,18,54,...\}$$

$$a_1=2n=4r=3$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\frac{a_1-a_1{r}^n}{1-r}$$

$$\sum _{i=1}^{n}f(4)=\frac{2-2\cdot 3^4}{1-3}=\frac{2-162}{-2}=80$$