Progresiones Geométricas

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Progresión geométricas

Aquellas sucesiones que se obtienen al multiplicar un mismo valor a cada término anterior.

Progresión geométrica

A= {2,4,8,16,32,64,,...}

Va de 2 en dos, entonces si le multiplico 2 a un término obtengo el siguiente.

Terminología:

• Primer término =
• Término "n" = 
• Razón entre términos = r
• Cantidad de términos =  n

a​1​​

a​n​​

Regla de correspondencia:

A={2,6,18,54,162,486,1458}

a​1​​=2

a​2​​=2×3

a​3​​=2×3⋅3

a​1​​=2

a​2​​=a​1​​×r

a​3​​=a​1​​×r​2​​

a​4​​=2×3⋅3⋅3

a​4​​=a​1​​×r​3​​

Regla de correspondencia:

a​n​​=a​1​​×r​n−1​​

Ejemplo:

Determine el término 11 de la progresión geométrica:

a​n​​=a​1​​×r​n−1​​

a​1​​=3n=11r=−2

a​11​​=3(−2)​11−1​​=3(−2)​10​​=3(1024)

a​11​​=3072

A={3,−6,12,−24,48,...}

Ejemplo:

Determine el término 5 de una progresión geométrica con valor inicial de          y razón 4

a​n​​=a​1​​×r​n−1​​

a​1​​=​64​​1​​n=5r=4

a​5​​=​64​​1​​(4)​5−1​​=​64​​1​​4​4​​=​64​​1​​⋅256=4

​64​​1​​

No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

Ejemplo:

El último término de una progresión geométrica es 375, su primer término es 3 su razón es 5, ¿cuántos términos son?

375=3⋅5​n−1​​

​3​​375​​=5​n−1​​

a​n​​=375

125=5​n−1​​

5​3​​=5​n−1​​

n−1=3

n=4

Series Geométricas

La suma de términos de una progresión geométrica

Serie Geométrica

​i=1​∑​n​​f(n)=​1−r​​a​1​​−r⋅a​n​​​​

​i=1​∑​n​​f(n)=​1−r​​a​1​​−a​1​​⋅r​n​​​​

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

Ejemplo:

Obtener la serie geométrica hasta el término 4 de la siguiente progresión

A={2,6,18,54,...}

a​1​​=2n=4r=3

​i=1​∑​n​​f(n)=​1−r​​a​1​​−a​1​​r​n​​​​

​i=1​∑​n​​f(4)=​1−3​​2−2⋅3​4​​​​=​−2​​2−162​​=80