Rekenen, meten en modellen (Natuurkunde havo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introductie

Uitleg over rekenen en meten bij natuurkunde: eenheden en voorvoegsels, significante cijfers, orde van grootte, evenredigheden en grafieken met trendlijn, en het werken met modellen en analogieën. Havo, met foto's, twee animaties en checkvragen.

De aarde, gefotografeerd door Apollo 17 in 1972 (NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Rekenen, meten en modellen

Examenstof natuurkunde havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: A5, A7, A8, A12, A13, A15, H. Image credit: Harrison Schmitt / Apollo 17 / NASA, Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan rekenen met significante cijfers en eenheden, een uitkomst schatten, een grafiek lezen en een model of onderzoek beoordelen.

Wat komt bij jou op bij het woord meten?

Verwacht: liniaal, stopwatch, nauwkeurig, eenheden, afronden, fout, grafiek. Gebruik de woorden om te laten zien dat deze les over de vaardigheden gaat die bij elk onderwerp van het examen terugkomen: rekenen, meten en modelleren. Syllabus domein A.

Maatglas van 25 mL met schaalverdeling (foto: Nadine90, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Meten en significante cijfers

• Een meetwaarde is nooit exact: de schaalverdeling van het instrument bepaalt hoeveel cijfers je noteert.

• Significante cijfers zijn alle cijfers van een meetwaarde, behalve nullen vooraan: 4,0 s heeft er 2, 0,0250 m heeft er 3.

• Bij 120 weet je niet of de nul telt; in de wetenschappelijke notatie wel: 1,2·10² (2) of 1,20·10² (3).

• Getelde aantallen (5 stappen) en wiskundige constanten zoals π tellen niet mee.

Syllabus A8.3 (significantie van meetwaarden) en A11.1 (maatglas, meetlint, stopwatch en weegschaal). Het maatglas heeft een verdeling van 1 mL: lees je af tot op de streep, schat je tot op een tiende streep, dan noteer je dat aantal cijfers. Veelgemaakte fout: nullen vooraan (0,0250) meetellen, of nullen aan het eind van een decimaal getal (4,0) weglaten. Kijkvraag: hoeveel significante cijfers heeft 25,0 mL en hoeveel 25 mL? Image credit: Nadine90 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Rekenen met significante cijfers

• Vermenigvuldigen en delen: evenveel significante cijfers als het gegeven met de minste.

• Optellen en aftrekken: evenveel decimalen als het gegeven met de minste decimalen.

• Voorbeeld: 12,5 m / 4,0 s = 3,125 m/s. Afgerond: 3,1 m/s (2 significante cijfers).

• Voorbeeld: 12,5 m + 0,34 m = 12,84 m. Afgerond: 12,8 m (1 decimaal).

• Reken met onafgeronde tussenresultaten en rond alleen het eindantwoord af.

Syllabus A8.3 en de examenwerkwoorden (Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers; bij tussentijds afronden minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meenemen). Controle: 12,5/4,0 = 3,125; 12,5 + 0,34 = 12,84. Veelgemaakte fout: bij een som het aantal significante cijfers tellen in plaats van de decimalen, of te vroeg afronden.

Een opvouwbare meetlat met centimeters en millimeters (foto: Goele, CC0)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Eenheden herleiden naar SI

• Reken om naar SI-grondeenheden: meter (m), kilogram (kg), seconde (s), ampère (A) en kelvin (K).

• Voorvoegsels staan in je informatieboek: k = 10³, c = 10⁻², m = 10⁻³, μ = 10⁻⁶. Dus 17,5 cm = 0,175 m.

• Kubieke eenheden: 1 cm³ = 10⁻⁶ m³, dus 2,7 g/cm³ = 2,7·10³ kg/m³.

• Afgeleide eenheden: 1 N = 1 kg·m/s². Controleer een formule met eenheden: bij P = E/t is J/s gelijk aan W.

Syllabus A15.2 (omrekenen, afleiden en controleren van eenheden en herleiden tot SI-grondeenheden) en A13.1 (betekenis van symbolen en notaties). Controle: 17,5·10⁻² = 0,175; 2,7·10⁻³ kg / 10⁻⁶ m³ = 2,7·10³ kg/m³; F = m·a geeft N = kg·m/s². Veelgemaakte fout: cm³ omrekenen met 10⁻² in plaats van 10⁻⁶. De voorvoegsels en constanten staan in Binas of ScienceData. Image credit: Goele / Wikimedia Commons, CC0

Een balkje is 12,50 cm lang en 2,5 cm breed. Wat is de oppervlakte?

A

31,3 cm²

B

31,25 cm²

C

30 cm²

D

31 cm²

Syllabus A8.3. 12,50 · 2,5 = 31,25 cm². Het gegeven met de minste significante cijfers is 2,5 (2 cijfers), dus 31 cm². Fouten: 31,25 (te veel cijfers), 31,3 (3 cijfers), 30 (te weinig nauwkeurig genoteerd).

Vul in

Bij optellen en aftrekken kijk je naar het aantal decimalen, bij vermenigvuldigen en delen naar het aantal significante cijfers van het minst nauwkeurige gegeven.

decimalen

significante cijfers

cijfers voor de komma

nullen

Syllabus A8.3. Fout: de twee regels verwisselen.

De aarde, gefotografeerd door Apollo 17 in 1972 (NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Orde van grootte en schatten

• De orde van grootte is de macht van tien waar een grootheid ongeveer bij hoort, zoals 10⁷ m voor de omtrek van de aarde.

• Bij een beredeneerde schatting noem je je aannames, reken je door en schrijf je de stappen op.

• Voorbeeld: aardstraal ongeveer 6,4·10⁶ m, dus omtrek = 2·π·6,4·10⁶ ≈ 4·10⁷ m.

• Gebruik het ook als check: een fietser van 60 m/s is onmogelijk, want 5 tot 10 m/s is gewoon.

Syllabus A15.1 (beredeneerde schattingen) en A15.2 (vooraf de orde van grootte inschatten en achteraf beoordelen), ook domein H (denken in ordes van grootte). Controle: 2 · π · 6,4·10⁶ = 4,02·10⁷ m. Bij een schatting moet uit de uitwerking blijken welke waarden zijn gebruikt en welke stappen zijn gezet (examenwerkwoord schatten). Veelgemaakte fout: alleen een getal opschrijven zonder aannames. Kijkvraag: welke andere afstand uit het dagelijks leven heeft orde 10³ m? Image credit: Harrison Schmitt / Apollo 17 / NASA, Wikimedia Commons, publiek domein

Vier soorten verband tussen x en y

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Evenredigheden herkennen

• Rechtevenredig: x twee keer zo groot, dan y twee keer zo groot (s = v·t bij constante v).

• Omgekeerd evenredig: x twee keer zo groot, dan y de helft (v = s/t bij vaste s).

• Kwadratisch: x twee keer zo groot, dan y vier keer zo groot (A = π·r²).

• Omgekeerd kwadratisch: x twee keer zo groot, dan y vier keer zo klein (Fg = G·m·M/r²).

Syllabus A12.2 (redeneren met evenredigheden: recht, omgekeerd, kwadratisch, omgekeerd kwadratisch) en A15.3 (de invloed van veranderingen van variabelen op elkaar aangeven; wiskundige patronen herkennen). De formules staan in je informatieboek of zijn gegeven. Veelgemaakte fout: kwadratisch verwarren met rechtevenredig: een straal van 3 keer zo groot geeft 9 keer zo veel oppervlakte. Kijkvraag: welke figuur hoort bij de zwaartekracht op grotere afstand? Image credit: Eigen figuur

Helling in een (m,V)-diagram en oppervlakte in een (P,t)-diagram

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Helling en oppervlakte

• De helling Δy/Δx heeft de eenheid van y gedeeld door de eenheid van x.

• In een (m,V)-diagram is de helling de dichtheid ρ = Δm/ΔV: hier 2,7 g/cm³.

• De oppervlakte onder een grafiek heeft de eenheid y·x: onder een (P,t)-diagram is W·s = J de energie.

• Bij een kromme teken je een raaklijn voor de helling of je telt hokjes voor de oppervlakte.

Syllabus A15.2 (helling en oppervlakte onder de grafiek interpreteren als natuurkundige grootheid) en A12.2 (raaklijn en steilheid, oppervlakte onder een grafiek). In de figuur: van 2 cm³ naar 8 cm³ is Δm = 16,2 g, dus helling 2,7 g/cm³; onder het (P,t)-diagram: 1,2 kW · 10 s + 0,6 kW · 20 s = 12 kJ + 12 kJ = 24 kJ. Beweging in (x,t)- en (v,t)-diagrammen komt in Beweging in diagrammen; hier gaat het om de eenheid en betekenis bij elke grafiek. Veelgemaakte fout: helling en oppervlakte verwisselen of de eenheid van de as vergeten. Image credit: Eigen figuur

Voorbeeldmeting: de trendlijn klopt alleen binnen het meetbereik

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Trendlijn en voorspellen

• Een trendlijn loopt zo dicht mogelijk langs de meetpunten; hij hoeft niet door alle punten te gaan.

• Een rechte lijn heeft het functievoorschrift y = a·x + b: a is de helling, b het snijpunt met de y-as.

• Interpoleren is aflezen binnen het meetbereik, extrapoleren erbuiten en dat is minder betrouwbaar.

• Begint een as niet bij nul (asonderbreking), dan lijken verschillen groter dan ze zijn.

Syllabus A12.2 (grafieken tekenen bij een meetserie met trendlijn, functievoorschriften van lineaire verbanden, interpoleren en extrapoleren, diagrammen met asonderbrekingen) en A7.3 (geldigheidsgebied). De animatie toont een voorbeeldmeting aan een elastiek: bij 0 tot 500 g loopt u rechtlijnig met ongeveer 2,0 cm per 100 g (trendlijn u = 0,020 m, u in cm en m in g); de extrapolatie naar 800 g geeft 16 cm, maar de drie metingen bij 600, 700 en 800 g liggen hoger. Kijkvraag: waarom mag je de trendlijn niet zomaar doortrekken tot 800 g? Veelgemaakte fout: de trendlijn door de oorsprong dwingen terwijl de meetpunten dat niet doen. Image credit: Eigen animatie

De straal van een ronde plaat wordt 3 keer zo groot. Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte?

A

3 keer zo groot

B

6 keer zo groot

C

27 keer zo groot

D

9 keer zo groot

Syllabus A12.2: A = π·r² is kwadratisch, dus 3² = 9. Fouten: 3 (rechtevenredig), 6 (verdubbelen van de factor), 27 (derde macht, zoals bij een volume).

Vul in

Onder een (P,t)-diagram is de oppervlakte de energie, want de eenheid W·s is gelijk aan J, de eenheid van energie.

oppervlakte

J

helling

N

Syllabus A15.2. Fout: de helling nemen: dat geeft de verandering van het vermogen per seconde, in W/s.

Een orrery: een mechanisch model van de zon, aarde en maan (foto: Kaptain Kobold, CC BY 2.0)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Wat is een model?

• Een model is een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid, om iets te beschrijven, verklaren of voorspellen.

• Je houdt de essentiële kenmerken en laat de rest weg: een orrery toont de beweging van aarde en maan, niet de echte maten.

• Een model kan fysiek zijn (maquette), schematisch (tekening, schakelschema) of wiskundig (formule, grafiek).

• Elk model heeft een geldigheidsgebied: het gebied waarin het model goed genoeg klopt voor zijn doel.

Syllabus A7.1 en A7.2 (verschijnsel specificeren en vereenvoudigen), A7.3 (overeenkomsten en verschillen met de werkelijkheid, geldigheidsgebied), A7.5 (fysieke, schematische of wiskundige weergave) en domein H (model als vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid). Het gaat om modelleren in brede zin, niet om numeriek modelleren of computermodellen. Kijkvraag: wat laat deze orrery weg, en voor welk doel is hij toch handig? Veelgemaakte fout: denken dat een model de werkelijkheid precies nabootst. Image credit: Kaptain Kobold / Wikimedia Commons, CC BY 2.0

Standaardmodel van een vliegtuig in een windtunnel (foto: Vdjole, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Een model beoordelen

• Vergelijk het model met de werkelijkheid: wat komt overeen en wat laat het model weg?

• Past het model bij het doel? Ontwerpers testen schaalmodellen in een windtunnel om luchtstroming te onderzoeken.

• Voorbeeld: bij het model van de vrije val negeer je luchtweerstand. Dat past bij een zware steen, niet bij een vogelveer.

• Klopt het model niet goed genoeg, verbeter of breid het dan uit, bijvoorbeeld met luchtweerstand.

Syllabus A7.3, A7.4 (aansluiting bij het doel), A7.6 en A7.7 (beschrijven, verklaren en voorspellen met een model; verbeteren of uitbreiden) en domein H1 (wederzijdse beïnvloeding van technologie en natuurkundige kennis). Het gaat hier om het beoordelen van een model, de natuurkunde van luchtweerstand en vrije val komt in andere onderwerpen. Kijkvraag: welke kenmerken van een echt vliegtuig laat dit model weg? Veelgemaakte fout: een model beoordelen op uiterlijk in plaats van op het doel. Image credit: Vdjole / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

De waterkring en de stroomkring als analogie

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Een analogie

• Een analogie vergelijkt iets nieuws met iets bekends dat op dezelfde manier werkt.

• Waterkring en stroomkring: pomp en spanningsbron, buis en draad, vernauwing en weerstand.

• De hoeveelheid water die per seconde passeert, hoort bij de stroomsterkte I.

• Elke analogie heeft grenzen: een leidingbreuk laat water weglopen, een onderbroken draad stopt de stroom.

Domein H (analogie als principe) en A7.3 (overeenkomsten en verschillen). De animatie toont links een pomp en rechts een vernauwing in een waterkring, en eronder een spanningsbron en een weerstand in een stroomkring. De stippen lopen in beide kringen even snel rond, om te laten zien dat overal evenveel passeert. Kijkvraag: welk onderdeel van de waterkring hoort bij de weerstand? De vernauwing. De elektrische stroom en de schakelingen zelf komen in Stroomkringen. Veelgemaakte fout: de analogie als een bewijs zien in plaats van als hulpmiddel. Image credit: Eigen animatie

Een analoge stopwatch (foto: Al Riaz Uddin, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Een onderzoek opzetten

• Stel een onderzoeksvraag, bijvoorbeeld: hoe hangt de valtijd van een bal af van de valhoogte?

• Formuleer een hypothese: een verwachting met reden, zoals: hoe hoger, hoe langer de bal valt.

• De onafhankelijke variabele verander je (hoogte), de afhankelijke variabele meet je (tijd), de rest is constant.

• Verwerk de metingen, trek een conclusie en evalueer. Behalve experimenteren kan ook waarnemen of modelleren.

Syllabus A5.1 tot en met A5.5, A5.7 tot en met A5.9 (probleem en onderzoeksvraag, verband met kennis, hypothese, werkplan, verwerken, conclusie, evalueren), A5.11 (naast een experiment zijn er andere onderzoeksaanpakken, zoals waarnemen zonder in te grijpen of een modelstudie), A13.2 (afhankelijke en onafhankelijke variabelen en constanten) en A11.1 (stopwatch). Bij de evaluatie gaat het om nauwkeurigheid van het meetinstrument, storende factoren en het aantal metingen. Veelgemaakte fout: meer dan één variabele tegelijk veranderen. Kijkvraag: welke grootheden moet je constant houden bij dit onderzoek? Image credit: Al Riaz Uddin / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Water wordt verwarmd en de temperatuur wordt steeds na een minuut gemeten. Wat is de onafhankelijke variabele?

A

De temperatuur van het water

B

De verwarmingstijd

C

De hoeveelheid water

D

Het vermogen van de kookplaat

Syllabus A13.2. De tijd kies je zelf (onafhankelijk), de temperatuur is wat je meet (afhankelijk); hoeveelheid water en vermogen houd je constant. Fout: de gemeten grootheid noemen.

Zet de stappen van een onderzoek op volgorde

1

Metingen doen en verwerken

2

Conclusie trekken

3

Onderzoeksvraag formuleren

4

Hypothese opstellen

5

Onderzoek evalueren

Syllabus A5: onderzoeksvraag, hypothese, werkplan en metingen, verwerken, conclusie, evalueren. Fout: de hypothese pas na de metingen opstellen.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Significante cijfers en eenheden

2

Schatten en evenredigheden

3

Grafieken en trendlijnen

4

Modellen en onderzoek

Gebruik de uitslag om te bepalen waar je in de examentraining mee begint.

Welke rekenfout maak jij het vaakst?

Verwacht: eenheden vergeten om te rekenen, te vroeg afronden, te veel cijfers, formule verkeerd herleid. Vraag door: hoe voorkom je die fout? Laat leerlingen elkaars aanpak vergelijken.

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Begrippen (1/2)

• significante cijfers: de cijfers van een getal die iets zeggen over de nauwkeurigheid, zonder de nullen vooraan

• SI-grondeenheid: de basiseenheden m, kg, s, A en K waarmee je andere eenheden opbouwt

• orde van grootte: de macht van tien waar een grootheid ongeveer bij hoort

• evenredigheid: recht, omgekeerd, kwadratisch of omgekeerd kwadratisch verband tussen twee grootheden

• trendlijn: een lijn die zo goed mogelijk langs de meetpunten loopt

EXAMENSTOF · A · REKENEN EN MODELLEN

Begrippen (2/2)

• model: een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid om iets te beschrijven of te voorspellen

• geldigheidsgebied: het gebied waarin een model goed genoeg klopt voor zijn doel

• analogie: een vergelijking met iets bekends dat op dezelfde manier werkt

• hypothese: een verwachting bij een onderzoeksvraag, met een reden

• variabele: een grootheid die kan veranderen; onafhankelijk, afhankelijk of constant