Inducción

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Inducción matemática

¿El método que acabamos de ver funciona para todos los números? ¿Cómo podemos comprobarlo?

Método de Inducción matemática

1. Comprobar que funciona para el primer valor posible
2. Obtener el valor de f(n+1)
3. Obtener el valor de f(n) y probar la condicional "si funciona para n, entonces funciona para n+1".

Suma de naturales de gauss

$$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Paso 1 - Probar que la fórmula funciona con el primer valor

$$n=11=\frac{1(1+1)}{2}$$

$$n=11=\frac{2}{2}=1$$

Suma de naturales de gauss

$$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Paso 2 - Calcular f(n+1)

$$n=n+1f(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Suma de naturales de gauss

Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)

$$f(n)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$f(n+1)=1+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$

$$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Suma de naturales de gauss

Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)

$$f(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$

$$f(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$

$$1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Suma de naturales de gauss

Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)

$$f(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$

$$f(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

$$1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Suma de naturales de gauss

Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)

$$f(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$

$$f(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

$$1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Suma de naturales de gauss

Funciona con el primer valor (1). Y comprobamos que si funciona para un valor "n" debe de funcionar para un valor "n+1"

¡Entonces!

Probamos que si funciona para 1, funciona para 2.

Como funciona para 2, va a funcionar para 3

Como funciona para 3, va a funcionar para 4

¡Funciona siempre!

$$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica

$$\sum _{i=0}^n{r}^i=r^0+r^1+r^2+...r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

$$\sum _{i=0}^n{r}^i=r^0+r^1+r^2+...r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Paso 1: Probar con el primer valor de n

$$\sum _{i=0}^0{r}^i=r^0=\frac{r^{0+1}-1}{r-1}$$

$$\sum _{i=0}^0{r}^i=1=\frac{r-1}{r-1}=1$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

$$\sum _{i=0}^n{r}^i=r^0+r^1+r^2+...r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Paso 2: Calcular el valor de n+1

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+1+1}-1}{r-1}$$

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=\sum _{i=0}^n{r}^i+r^{n+1}=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}$$

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{r^{n+1}-1+r^{n+1}(r-1)}{r-1}$$

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{r^{n+1}-1+r^{n+1}(r-1)}{r-1}$$

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{r^{n+1}-1+r^{n+2}-r^{n+1}}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{-1+r^{n+2}}{r-1}$$

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{r^{n+1}-1+r^{n+2}-r^{n+1}}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.

Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"

$$\sum _{i=0}^{n+1}{r}^i=r^0+r^1+...+r^n+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{r^{n+2}-1}{r-1}$$

$$\frac{r^{n+1}-1}{r-1}+r^{n+1}=\frac{-1+r^{n+2}}{r-1}$$

Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica

$$\sum _{i=0}^n{r}^i=r^0+r^1+r^2+...r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Probamos que funciona para el primer valor (cero)

Como funciona para 0 funciona para 1

Como funciona para 1 funciona para 2

Y seguirá siendo verdad, hasta el infinito y más allá.

¿Dudas?