4TU.Schools
Empower the tech generation!
Visit the website
menu
VO Onderbouw
VO Bovenbouw
Search
About
Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?

Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?

Ondertitel
Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?
Een les over wiskundig problem solving met Pólya (differentiëren en kettingregel)
1 / 27
next
Slide 1: Slide
WiskundeNatuurkundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 5,6

Lesson by 4TU.Schools

This lesson contains 27 slides, with interactive quiz, text slides and 1 video.

time-iconLesson duration is: 50 min

Introduction

Maak van je leerlingen echte wiskundige probleemoplossers door ze met differentiëren en de strategie van Pólya de ideale kabelroute voor het Quantum Internet te laten ontwerpen. Een uitdagende en motiverende les die abstracte wiskunde direct relevant maakt!

Instructions

Voorkennis van leerlingen
Leerlingen moeten bekend zijn met de stelling van Pythagoras en kwadratische en wortelfuncties kunnen differentiëren (inclusief de kettingregel).

Voorbereiding van de docent
  • Neem de les een keer door.
  • Download en print het werkblad. En download en print eventueel de uitwerkingen. 
  • Zorg dat elke leerling een laptop en een grafische rekenmachine heeft. 
  • Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen. 

Leerdoelen/vaardigheden
  • De leerling kan de fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.
  • De leerling kan een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.
  • De leerling kan met behulp van de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Aansluiting curriculum
Deze les sluit specifiek aan op het examenprogramma Wiskunde B voor het vwo (bovenbouw), met name in de volgende domeinen:

Domein A (Vaardigheden):
  • Subdomein A7 (Modelleren): De leerling vertaalt een technisch probleem (kabelroute) naar een wiskundig model en analyseert de resultaten.
Domein B (Formules, functies en grafieken):
  • Subdomein B1 (Formules en functies): Manipuleren van formules om kosten en afstanden uit te drukken.
  • Subdomein B2 (Standaardfuncties): Werken met wortelfuncties die voortkomen uit de Stelling van Pythagoras.
Domein C (Differentiaal- en integraalrekening):
  • Subdomein C1 (Afgeleide functies): Gebruik van de afgeleide om eigenschappen van de functie (het minimum) te vinden.
  • Subdomein C2 (Technieken voor differentiëren): Toepassen van de kettingregel bij samengestelde wortelfuncties.
Domein E (Meetkunde met coördinaten):
  • Subdomein E1 (Meetkundige vaardigheden) & E2 (Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde): Vertalen van een meetkundige situatie naar algebraïsche formules.
  • Subdomein E4 (Toepassingen): Optimaliseren van een route in een meetkundige context.

Feedback
De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Worksheets

Items in this lesson

Ondertitel
Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?
Een les over wiskundig problem solving met Pólya (differentiëren en kettingregel)

Slide 1 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
Informatie voor de docent
Benodigdheden
Iconen







Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan
Toon notities bij elke dia
Navigeren door de les
Download en print het werkblad
Vergroot een afbeelding
Klik hier
Hotspot met meer informatie
Laptop voor elke leerling
Grafische rekenmachine voor elke leerling
Vooraf
Neem de les en het werkblad door.

Slide 2 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
Leerdoelen
Na deze les...

...kun je de 4 fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.

...kun je een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.

...kun je met behulp van de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Slide 3 - Slide

This item has no instructions

Slide 4 - Video

Tekst
In deze les ga je aan de slag met het oplossen van wiskundige problemen. Die zijn vaak lastig en misschien lukt het je ook niet ze in één keer op te lossen. Aan de hand van drie problemen ga je werken aan je wiskundige problem solving vaardigheden. Je leert daarbij de strategie van een bekend wiskundige (George Pólya) toe te passen.

Super handig als je weer eens een moeilijke opgave tegenkomt bij een toets!

De problemen waarmee we aan de slag gaan, gaan over het Quantum Internet. Maar wat is dat eigenlijk?

Voor de docent
Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen. Je kunt de laatste opdracht overslaan of als huiswerk meegeven. 

Les 1. Wat is creativiteit?
1. Delft ↔ Den Haag
Onderzoekers van QuTech (TU Delft) en TNO bouwen een quantumnetwerk. Om een verbinding te maken tussen Delft en Den Haag, worden signalen naar een centrale Quantum Hub gestuurd om daar verstrengeld te worden. 

Maar waar zet je die Hub neer?

De totale glasvezelafstand moet minimaal zijn om signaalverlies te voorkomen. 

Bronnen: Schenk (2025) en TU Delft (2024)

Slide 5 - Slide

Instructie
Vertel kort over de context. Het gaat niet om 'een sommetje uit het boek', maar om echte ontwerpkeuzes die ingenieurs maken over waar kabels moeten liggen.
Les 1. Wat is creativiteit?
Gegevens
Lab A (Delft) heeft coördinaten            .

Lab B (Den Haag) heeft coördinaten
             .

Hub P is een punt              op de hoofdroute (  -as).

Opdracht
Bereken op welke plek hub P moet komen om het gegevensverlies zo laag mogelijk te houden. 
Modelleren is vereenvoudigen
In de werkelijkheid is de wereld niet plat en zijn kosten nooit overal precies constant. Kabels moeten om gebouwen heen en prijzen fluctueren. In deze opgaven maken we een wiskundig model: we vereenvoudigen de werkelijkheid (rechte lijnen, uniforme prijzen) om er aan te kunnen rekenen. Het antwoord is dus een ideaal scenario, dat ingenieurs gebruiken als startpunt voor het echte ontwerp. 
A(0,4)
B(10,8)
P(x,0)
x

Slide 6 - Slide

Tekst

Les 1. Wat is creativiteit?
Strategie van Pólya
Wiskundig probleem oplossen aan de hand van de strategie van George Pólya:

1. Begrijp het probleem

2. Maak een plan

3. Voer het plan uit

4. Kijk terug en reflecteer
Bron: Polya (1957)
George Pólya
George Polya (1887-1985) was een belangrijke wiskundige en leraar met zowel een Hongaarse als Amerikaanse achtergrond. Hij staat vooral bekend om zijn grote invloed op het onderwijs in de wiskunde.

Zijn bekendste werk was gericht op hoe je problemen het beste kunt aanpakken en oplossen. Hij ontwikkelde hiervoor een baanbrekende methode die nog steeds veel wordt gebruikt in het wiskundeonderwijs.

Slide 7 - Slide

Tekst
Ingenieurs moeten voortdurend afwegingen maken tussen kosten, afstand en terreinomstandigheden. 

Om complexe problemen zoals deze aan te pakken, gebruiken we de wereldberoemde strategie van de wiskundige George Pólya.

In zijn boek How to Solve It (1945) beschrijft hij vier essentiële stappen voor het oplossen van elk wiskundig probleem:

1. Begrijp het probleem: Wat is het onbekende? Wat zijn de gegevens? Maak een schets en introduceer geschikte notaties (zoals x of L(x)).

2. Maak een plan: Zoek naar een verband tussen de gegevens en het onbekende. Heb je een soortgelijk probleem eerder gezien? Kun je het probleem in delen opsplitsen?

3. Voer het plan uit: Voer de berekeningen nauwkeurig uit. Controleer elke stap.

4. Kijk terug en reflecteer: Klopt je uitkomst? Is het antwoord logisch in de context? Kun je het resultaat op een andere (slimmere) manier afleiden?
Les 1. Wat is creativiteit?
Werkblad
Gebruik het werkblad om te berekenen op welke plek hub P moet komen om het gegevensverlies zo laag mogelijk te houden. 
timer
10:00

Slide 8 - Slide

Instructie
Stel de formule L(x) op.

Leerlingen werken in stilte of in duo's. Loop rond en help bij het opstellen van de wortelfuncties (Pythagoras). Differentieer de functie en vindt het minimum.

Of, gebruik de spiegeltruc. 
Les 1. Wat is creativiteit?
Terugkijken
Hoe heb je het probleem opgelost?

Kan het anders of zelfs slimmer?
Heb jij de spiegeltruc gebruikt?

Slide 9 - Slide

Terugkijken
Kan dit anders of zelfs slimmer? Ja! De spiegeltruc.

Als de kosten voor de aanleg overal gelijk zijn, werkt het als lichtbreking van een spiegel.

Trek een lijn van A' naar B. Het snijpunt van deze lijn met de x-as vormt de oplossing. Je hebt dan geen afgeleide nodig!
Les 1. Wat is creativiteit?
Uitwerking 1a
Klik om de afbeelding te vergroten

Slide 10 - Slide

Uitwerking met behulp van differentiëren. 

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan. 

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 
Les 1. Wat is creativiteit?
Uitwerking 1b
Klik om de afbeelding te vergroten

Slide 11 - Slide

Uitwerking met behulp van meetkunde.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 
Les 1. Wat is creativiteit?
2. Polder vs. spoor
B
A
A
Een verbinding moet worden aangelegd van een datacenter in de polder (   ) naar een verdeelstation aan het spoor (   ). Graven in de polder is duur (zachte grond/water). Langs het spoor ligt al een kabelgoot, wat veel goedkoper is.
B

Slide 12 - Slide

Tekst
Je gaat nu met een vergelijkbare casus aan de slag, maar het probleem is iets lastiger doordat de kosten voor de aanleg van de verbinding niet overal gelijk zijn.
Les 1. Wat is creativiteit?
Werkblad en gegevens
Datacenter: 
Verdeelstation: 

Aansluiting: Van    door de polder naar aansluitpunt              
            dan langs het spoor naar   .

Kosten polder             : € 55.000,- per km.
Kosten spoor              : € 25.000,- per km.

Opdracht
Gebruik het werkblad om de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.
A(0,8)
B(12,0)
A
P(x,0)
B
d(A,P)
d(P,B)
timer
8:00

Slide 13 - Slide

Tekst
Je krijgt de volgende gegevens.

Opdracht
Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

Instructie
Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.

Les 1. Wat is creativiteit?
Terugkijken
Hoe heb je het probleem opgelost?

Kon je de spiegeltruc weer toepassen?

Slide 14 - Slide

Bespreek de antwoorden en oplosstrategieën. Benadruk dat wiskunde B hier de tool is die je nodig hebt als meetkunde tekortschiet.

De spiegeltruc toepassen kan hier niet. 
Les 1. Wat is creativiteit?
Uitwerking 2 
Klik om de afbeelding te vergroten

Slide 15 - Slide

Uitwerking met behulp van differentiëren. 

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.
Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 
Les 1. Wat is creativiteit?
3. Water vs. land
Het Quantum Internet stopt niet in Den Haag. We willen verbinden met Engeland en de USA!

We leggen een kabel van land (   ) naar een platform in zee (   ). Installatie op zee vereist dure schepen en bepantserde kabels, waardoor de kilometerprijs hoger is dan op land.
A
B

Slide 16 - Slide

Instructie
Laat de leerlingen zelfstandig de strategie van Pólya toepassen om het derde probleem op te lossen. 

Leerlingen hebben hier een grafische rekenmachine voor nodig. 
Les 1. Wat is creativiteit?
Werkblad en gegevens
Datacenter op het land: 
Verdeelstation op zee: 
De kustlijn is de    -as.

Aansluiting: Van    op het land naar aansluitpunt              
            op de kustlijn en dan door de zee naar    .

Kosten over land              : € 40.000,- per km.
Kosten door de zee             : € 60.000,- per km.

Opdracht
Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.
A(0,6)
B(10,−6)
A
P(x,0)
B
d(A,P)
d(P,B)
timer
8:00
x

Slide 17 - Slide

Tekst
Je krijgt de volgende gegevens.

Opdracht
Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

Instructie
Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.

Les 1. Wat is creativiteit?
Terugkijken
Hoe heb je het probleem opgelost?

Kan het anders of zelfs slimmer?
Heb jij de wet van Snellius uit de natuurkunde gebruikt?
Wet van Snellius
De wet van Snellius beschrijft de breking van licht op het grensvlak van twee stoffen volgens de formule: n₁ ⋅ sin(i) = n₂ ⋅ sin(r). Hierin zijn n₁ en n₂ de brekingsindices van de stoffen, is i de hoek van inval en r de hoek van breking (beide gemeten ten opzichte van de normaal).

Slide 18 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
Uitwerking 3a
Klik om de afbeelding te vergroten

Slide 19 - Slide

Uitwerking met behulp van differentiëren.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 
Les 1. Wat is creativiteit?
Uitwerking 3b
Klik om de afbeelding te vergroten

Slide 20 - Slide

Uitwerking met behulp van de Wet van Snellius.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Vraag
Stel je krijgt op je volgende toets een compleet nieuw, ingewikkeld probleem. Wat doe je?
Ik duik direct in de formules en begin met rekenen.
Ik neem eerst de tijd om het te schetsen en te begrijpen, ook al kost dat tijd.
Ik zoek meteen naar een vergelijkbaar of simpeler probleem om het op te lossen.

Slide 21 - Poll

Instructie
Gebruik deze vraag om te peilen of leerlingen de kern van de les (eerst denken, dan doen) hebben begrepen. 

Je kunt na de stemming direct bespreken waarom 'A' vaak fout gaat en waarom 'B' en 'C' de kenmerken zijn van een goede ingenieur (en een goede wiskunde B-leerling).
Les 1. Wat is creativiteit?
Gefeliciteerd!
Je hebt geholpen de goedkoopste en kortste kabelroute voor het Quantum Internet te berekenen. 

Nu kun je...

...de 4 fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.

...een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.

...met behulp van onder andere de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Slide 22 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
Geïnspireerd?
Vond je dit een leuke les? Dan is één van de volgende vervolgopleidingen misschien iets voor jou. 


Slide 23 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd
Klik hier om naar de vragenlijst voor leerlingen te gaan

Slide 24 - Slide

Link naar vragenlijst voor leerlingen:

ut.onl/leerling4tu 
Les 1. Wat is creativiteit?
De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd
Vragenlijst voor docenten

Slide 25 - Slide

Link naar vragenlijst voor docenten:

ut.onl/docent4tu
Les 1. Wat is creativiteit?
Check www.4tuschools.nl voor meer inspirerende lessen!

Slide 26 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?
Pólya, G. (1957). How to solve it.

Schenk, D. (2025, 29 januari). Onderweg naar het internet van de toekomst – tussen Delft en Den Haag is het vorig jaar al getest. NRC.

TU Delft. (2024). Een rudimentaire quantum-netwerkverbinding tussen Nederlandse steden. https://www.tudelft.nl/2024/tu-delft/een-rudimentaire-quantum-netwerkverbinding-tussen-nederlandse-steden. Geraadpleegd op 8 januari 2026.
Bronnen

Slide 27 - Slide

This item has no instructions