Oefentoets H4 Handig tellen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Oefentoets H4 Handig tellen

oefentoets H4 

Gebruik bij het berekenen van de antwoorden naast je GR ook papier en pen. Werk de antwoorden dus uit in je schrift! Op de echte toets moet je altijd laten zien hoe je aan je antwoord komt, dus dan is een antwoord zonder berekening of toelichting fout!!

combinatoriek

Combinatoriek

Linda gaat op reis en neemt drie spijkerbroeken en vijf T-shirts mee. Ze trekt elke dag een spijkerbroek en een T-shirt aan. 

Op hoeveel manieren kan Linda zich kleden?

Wegendiagram

Op hoeveel manieren kun je in totaal van A naar D lopen?

1. 13
2. 18
3. 72

Je kunt óf via C (de bovenkant) óf via B (de onderkant) naar D lopen. Via C kan op 6 manieren en via B op 12 manieren. Vanuit A kun je dus op 18 manieren naar D lopen. 

Je kunt niet via C én B naar D lopen!

De somregel:

Een gecombineerde handeling die bestaat uit handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd óf handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd, kan op p + q manieren worden uitgevoerd. 

Op de  menukaart van een eetcafé staan:

*    4 voorgerechten:    2 met vlees, 1 met vis, 1 vegetarisch

*    6 hoofdgerechten:  3 met vlees, 2 met vis, 1 vegetarisch

*    3 nagerechten

Vraag: 

Hoeveel verschillende 3-gangenmenu's zijn er mogelijk?

Totaal aantal mogelijkheden:

4 x 6 x 3 = 72 

Op de  menukaart van een eetcafé staan:

*    4 voorgerechten:    2 met vlees, 1 met vis, 1 vegetarisch

*    6 hoofdgerechten:  3 met vlees, 2 met vis, 1 vegetarisch

*    3 nagerechten

Vraag: 

Hoeveel verschillende 3-gangenmenu's zijn er mogelijk?

Op de  menukaart van een eetcafé staan:

*    4 voorgerechten:    2 met vlees, 1 met vis, 1 vegetarisch

*    6 hoofdgerechten:  3 met vlees, 2 met vis, 1 vegetarisch

*    3 nagerechten

Vraag: Hoeveel verschillende 3-gangenmenu's zijn er mogelijk met alleen vlees of alleen vis in zowel het  voor- als hoofdgerecht.

Totaal aantal mogelijkheden menu's met of alleen vis of alleen vlees in het voor- en hoofdgerecht:

alleen vlees: 2 x 3 x 3 = 18

alleen vis: 1 x 2 x 3 = 6

Totaal aantal mogelijkheden: 18 + 6 = 24

Op de  menukaart van een eetcafé staan:

*    4 voorgerechten:    2 met vlees, 1 met vis, 1 vegetarisch

*    6 hoofdgerechten:  3 met vlees, 2 met vis, 1 vegetarisch

*    3 nagerechten

Vraag: Hoeveel verschillende 3-gangenmenu's zijn er mogelijk met of alleen vis of alleen vlees in het voor- én hoofdgerecht.

Met of zonder herhaling

Artikelcode met twee letters en drie cijfers. Hoeveel verschillende artikelcodes zijn mogelijk?

1. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. 26 x 1 x 10 x 9 x 8 = 18720
3. 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000
4. 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720

Artikelcode met twee letters en drie cijfers. Hoeveel verschillende artikelcodes zijn mogelijk wanneer elke letter en elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden?

1. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. 26 x 1 x 10 x 9 x 8 = 18720
3. 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000
4. 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720

Hoeveel mogelijkheden zijn er wanneer de code begint met een A, eindigt met een 0 (nul), en er geen herhalingen zijn?

1. 12600
2. 18000
3. 2340
4. 1800

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

meerdere keren mag worden gebruikt en het getal met een even cijfer moet beginnen?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 cijfers

eerste cijfer moet even zijn (3 mogelijkheden), de andere cijfers mogen alles zijn (dus 6 mogelijkheden, want met herhaling!)

Vier plaatsen, eerste cijfer moet even zijn:

even

3       x          6        x       6        x       6         =      648

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

8. Hoogstens één keer mag worden gebruikt en het getal groter dan 5400 moet zijn?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

Geen herhaling  en groter dan 5400

Eerste cijfer een 6 of hoger --> 3 mogelijkheden (6, 7, 8)

Tweede, derde en vierde cijfer mogen alles zijn (maar geen herhaling dus steeds -1 mogelijkheid) geeft:

Eerste cijfer een 5  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 4, 6, 7 of 8  --> vier mogelijkheden (3 mag niet --> te laag  en 5 mag niet --> geen herhaling)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn, maar geen herhaling dus er vallen respectievelijk twee en drie van de zes mogelijkheden af

Totaal aantal mogelijkheden: 180 + 48 = 228

3      x      5       x      4         x    3     =   180

1      x      4       x      4         x    3     =   48

Geen herhaling en groter dan 5400:

Als het eerste cijfer een 6 of hoger is (6, 7 of 8) dan mogen het tweede, derde en vierde cijfer alles zijn dus

 

3 (een 6, 7 of 8) x 5 (geen herhaling 6 - 1 = 5) x 4 (geen herhaling) x 3 (geen herhaling ) geeft 3 x 5 x 4 x 3 = 180

Een 5 als eerste cijfer kan ook, maar dan moet het tweede cijfer een 4 of hoger zijn! Het derde en vierde cijfer mogen weer alles zijn, behalve de cijfers die al geweest zijn:

1 (alleen een 5) x 4 (4, 6, 7, 8 want 5 mag niet --> geen herhaling) x 4 (geen herhaling dus 6 - 2 mogelijkheden ) x 3 (geen herhaling) geeft 1 x 4 x 4 x 3 = 48

In totaal dus 180 + 48 = 228 mogelijkheden

Permutaties en combinaties

Faculteit

Permutatie

Combinatie

!

Permutaties en combinaties

nPr

nCr

Sleepvraag!

Permutatie

Combinatie

UIt een klas worden zes leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen.

Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een fiets, een GR en een taart.

In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een concert.

Uit de toptien van vorige week stel je een persoonlijke top 3 samen.

Van 100 leraren van een school komen er vijf op een feest. 

Uit een selectie van 18 personen wordt een spelersraad van 6 spelers samengesteld. Hoeveel spelersraden zijn mogelijk?

Reken het antwoord voor jezelf uit met de GR!

Antwoord:

6 personen uit groep van 18 --> combinatie, want uit de tekst blijkt niet dat de spelers ieder een aparte functie hebben

             --> 18 nCr 6 = 18564

(​6​18​​)

In een mediatheek staan  20 cd's  met klassieke muziek, 9 cd's met popmuziek en 5 cd's met nederlandstalige muziek.

1860480

91182

15504

5379616

1593900

Manon kiest 5 cd's met klassieke muziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Bart kiest 8 cd's uit waaronder 4 cd's met popmuziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Judith kiest uit alle cd's er 7 uit. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Johan kiest  5 cd's uit en wil hoogstens 2 cd's met klassieke muziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Manon kiest uit 20 cd's met klassieke muziek 5 cd's met klassieke muziek:

(​5​20​​)

= 20 nCr 5 = 15504

Bart kiest uit 9 cd's met popmuziek 4 cd's met popmuziek en uit de overige 25 cd's ook nog eens 4 cd's:

(​4​9​​)

= 9 nCr 4 x 30 nCr 4  = 1593900

Judith kiest uit alle cd's  (34 stuks) er 7 uit:

(​7​34​​)

= 34 nCr 7 = 5379616

(​4​25​​)

x

Johan kiest 5 cd's uit en wil hoogstens 2 cd's met klassieke muziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er? 

0 cd's met klassieke muziek:  

1 cd met klassieke muziek:

2 cd's met klassieke muziek:

(​1​20​​)

(​0​20​​)

(​2​20​​)

x

x

x

(​5​14​​)

(​4​14​​)

(​3​14​​)

= 20C0 x 14C5  = 2002

= 20C1 x 14C4  = 20020

= 20C2 x 14C5  = 69160

Totaal aantal mogelijkheden (somregel):

2002 + 20020 + 69160 = 91182

Aantal pop en nederlandstalig

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

1. Op hoeveel manieren kunnen deze 14 boeken gerangschikt staan? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

14 boeken kun je op 14! manieren rangschikken

Er zijn 14 plaatsen beschikbaar en de volgorde is belangrijk!

14!=8,7⋅10​10​​

Eerste boek --> keuze uit 14 plaatsen

Tweede boek --> keuze uit 13 plaatsen

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden:

14 x 13 x 12 x ................x 3 x 2 x 1 = 14! 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

2. Als Sabine 7 boeken van Yvonne wil lenen, hoeveel mogelijkheden zijn er dan?

7 boeken uit een totaal van 14 zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet), dus het is een combinatie (groepje uit aantal):

14 boven 7  --> 14 nCr 7 = 3432

Er zijn 3432 mogelijkheden om 7 boeken uit een totaal van 14 boeken te halen. 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

3. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine één Engels boek, één Frans boek en één Duits boek van Yvonne leent?

      6            x            3             x           5   = 90

Engels            en

 Frans             en

Duits 

<--  keuze uit

Dit komt ook overeen met het wegendiagram  of verschillende kledingcombinaties of de keuzes voor verschillende gerechten per gang in menu's. Per handeling heb je een aantal mogelijkheden.

Van elke taal één boek:

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

4. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine twee Engelse boeken leent?

2 boeken uit een totaal van 6 Engelse boeken zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet):

6 boven 2  --> 6 nCr 2 = 15

Er zijn dus 15 mogelijkheden.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

5. Hoeveel mogelijkheden zijn er om 8 keer munt te gooien?

Er ontstaat dan een rijtje met 8 keer munt en 4 keer kop. Zo'n rijtje zou er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien: KMMMKKMMMKMM

Er zijn in totaal 12 boven 8 dus 12 nCr 8 = 495 rijtjes mogelijk.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

6. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

Per worp zijn er steeds twee mogelijkheden: K of M

In totaal: 

2 x 2 x 2 x 2 x....x 2=

2​12​​=4096

Er zijn in totaal 4096 mogelijke series van Kop of Munt bij 12x gooien.

Worp 1

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

10. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met precies drie meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met precies 3 meisjes en dus 2 jongens:

Aantal mogelijkheden meisjes '11 boven 3' --> 11 nCr 3 = 165

Aantal mogelijkheden jongens '10 boven 2'--> 10 nCr 2 = 45

Totaal aantal mogelijkheden: 11 nCr 3 x 10 nCr 2 = 7425

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

11. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met hoogstens twee meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes dus met 

0 meisjes of 1 meisje of 2 meisjes --> per situatie mogelijkheden uitrekenen en optellen (somregel): 

Aantal mogelijkheden met 0 meisjes (dus alleen jongens): 10 nCr 5 = 252

Aantal mogelijkheden met 1 meisje en 4 jongens:  11 nCr 1 x 10 nCr 4  = 2310

Aantal mogelijkheden met 2 meisjes en 3 jongens: 11 nCr 2 x 10 nCr 3 = 6600

Totaal aantal mogelijkheden: 252 + 2310 + 6600 = 9162

Er zijn 9162 mogelijke schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes.

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

12. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met meer dan drie jongens?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens dus met 4 jongens of met 5 jongens:

Aantal mogelijkheden met 4 jongens en 1 meisje:  10 nCr 4 x 11 nCr 1 = 2310

Aantal mogelijkheden met 5 jongens (en geen meisjes) : 10 nCr 5 x 11 nCr 0 = 252

Totaal aantal mogelijkheden: 2310 + 252 = 2562

Er zijn 2562 mogelijke schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

13. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waarbij de eindstand 7-5 is?

12 keer gescoord

7x door ploeg A en 5x door ploeg B

Rijtje met 7A's en 5 B's

of

Roosterdiagram van 7 bij 5

Aantal scoreverlopen: 12 nCr 5 = 792

Ploeg B

Ploeg A

0-0

7-5

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

14. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waar de  ruststand 7-8 is en de eindstand 14-15 is?

Ruststand 7 - 8, eindstand 14 - 15

Dit moet je als twee helften van een wedstrijd zien waar in de eerste helft 15x wordt gescoord, waarbij ploeg A 7 keer scoort en ploeg B 8 keer scoort. Dit levert een rijtje op van 15 A's en B's of een roosterdiagram van 7 bij 8 met A horizontaal en B verticaal.

Totaal aantal mogelijkheden wordt dan 15 boven 7 --> 15C7 = 6435

De tweede helft scoren de teams in totaal nog 14x (elk 7x) en (daarbij hoort dus

7 - 7 als score) waardoor de stand van 7 - 8 naar 14 - 15 gaat.

Bij een score van 7 - 7 horen 14 boven 7 --> 14C7 = 3432 scoreverlopen.

In de eerste helft 6435 mogelijkheden en in de tweede helft 3432 scoreverlopen

In totaal dus 6435 x 3432 = 22084920 scoreverlopen!

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

15. Hoeveel scoreverlopen zijn er in totaal mogelijk bij een wedstrijd waarbij in totaal acht keer wordt gescoord?

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2​8​​=256

Bij een wedstrijd waar 8x wordt gescoord en geen eindstand wordt gegeven, kunnen alle eindstanden van 0-8 tot 8-0 en alles wat daar tussenin zit (1-7, 5-3 etc. ) mogelijk zijn. 

Je moet dit nu als volgt zien:

Voor het eerste doelpunt zijn twee mogelijkheden nl. ploeg A scoort of ploeg B scoort. 

Bij het tweede doelpunt zijn weer twee mogelijkheden nl. A scoort of B scoort.

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden: 

EINDE