K4.1: Tijdrek en lengtekrimp

• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

K4 (speciale) Relativiteit

Ga naar Lessonup 

K4. Relativiteit

'Tijd is relatief'

'Massa is energie'

Postulaten

Voor waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, geldt dat:

• "De natuurkundige wetten hetzelfde zijn." (Galileï, 1638)

                                Beweging en snelheid zijn relatief! 

Postulaten

Voor waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, geldt dat:

• "De natuurkundige wetten hetzelfde zijn." (Galileï, 1638)
• "De lichtsnelheid in vacuüm hetzelfde is." (Einstein, 1905)

Wat volgt er uit het postulaat dat de lichtsnelheid constant is voor alle waarnemers?

Gedachtenexperiment: Lichtklok in de trein

afleiding gamma (in opg.5), de factor waarmee lengte of tijd moet aanpassen

Lichtklok en
constante lichtsnelheid:
 c = s / t = constant

• In de trein / voor Anita duurt het op en neer gaan van de lichtstraal een tijd t = s/c = 2d/c.
• Op het perron / voor Bruce duurt het langer: 
• Het licht moet een grotere afstand afleggen...met dezelfde snelheid c.
• Hoeveel langer, welke factor, wordt afgeleid in opgave 7: De relativistische factor 𝛾. 
  (doen we volgende les)

Anita:

Bruce:

Relativistische factor 𝛾:

 

c = 2,9979 .108 m/s (lichtsnelheid)

Als v gelijk is aan 90% van de lichtsnelheid:

v = 0,90 c

v/c = 0,90

                𝛾 = 2,29 (geen eenheid!)

γ=​√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​​​1​​

γ=​√​(1−0,90​2​​)​​​​​1​​

Referentiestelsels

Ruststelsel: het referentiestelsel van een waarnemer die niet beweegt ten opzichte van een proces, afstand of voorwerp.

Bewegend stelsel: het referentiestelsel van een waarnemer die met constante snelheid beweegt ten opzichte van een proces, afstand of voorwerp.

Beweging is relatief!

We beschouwen de treincoupé waar Anita in zit. Wie bevindt zich in het ruststelsel van de coupé?

1. Anita
2. Bruce

Eigentijd en tijdrek 

• Voor een waarnemer die beweegt t.o.v. een proces duurt dat proces een factor 𝛾 langer dan voor een waarnemer in het ruststelsel van het proces.
• Δtb = 𝛾 Δte

• De tijd in een ruststelsel noemen we de eigentijd te.

• Dit verschijnsel heet tijdrek. 
• De tijd líjkt niet alleen verschillend te zijn voor beide waarnemers, maar is dat ook echt!

Eigenlengte en lengtekrimp 

• Voor een waarnemer die beweegt t.o.v. een lengte is die lengte een factor 𝛾 korter in de bewegingsrichting, dan voor de waarnemer in het ruststelsel van de lengte. 
• Lb = Le/𝛾

• De lengte in een ruststelsel noemen we de eigenlengte Le.

• Dit verschijnsel heet lengtekrimp
• De lengte líjkt niet alleen korter zijn voor de bewegende waarnemer, maar is dat ook echt!

Wie bevindt zich in het bewegende stelsel t.o.v. de trein?

1. Anita
2. Bruce
3. de klok

Voor wie is de trein korter?

1. Anita
2. Bruce
3. voor beiden hetzefde

Voor wie is de trein hoger?

1. Anita
2. Bruce
3. voor beiden hetzelfde

Maak opg. 1, 2, 4, 7

Het raadsel van de Muonen

• We weten van experimenten dat de gemiddelde levensduur van een muon 2,2 μs is.

• Bovenin de atmosfeer (op 10 km hoogte) ontstaan muonen met een snelheid v = 0,999 c richting aarde.

• Een muon kan gedurende zijn leven gemiddeld maar s = v . t = 660 m afleggen en dus nooit het aardoppervlak bereiken ... maar we meten ze wel op aarde! Hoe kan dit?!

Vanuit aarde gezien: tijdrek

• In het referentiestelsel van de aarde beweegt het muon met 0,999 c en legt een afstand van 10 km af.
• Het leven van een muon is een proces dat in het ruststelsel van het muon plaatsvindt, met een eigentijd te = 2,2 μs.
• Wij op aarde meten een tijdsduur die een factor 𝛾 = 22,4 groter is. 
• De levensduur van het muon rekt voor ons uit tot  22,4 . 2,2 μs = 49 μs.
• In die tijd kan het muon wel 10 km afleggen.
  

Vanuit het muon gezien: lengtekrimp

• In het referentiestelsel van het muon beweegt de aarde + atmosfeer met een snelheid van 0,999 c naar hem toe. Bedenk: beweging is relatief! Het muon beweegt dus t.o.v. de "lengte" van de atmosfeer.
• De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km 
• Voor de muon is die lengte een factor 𝛾 = 22,4 korter!                                                                                       De lengte krimpt tot L_b = 10.000/22,4 = 440 m
• Het muon ziet een gekrompen atmosfeer met lengte Lb = 440 m, die hem met 0,999 c voorbij raast.  Het aardoppervlak kan hem ruimschoots bereiken binnen zijn gemiddelde levensduur van 2,2 μs

Muonen

HW

1a

• Het vliegtuig is in stilstand gemeten 15 m. Dus de eigenlengte Le = 15 m.
• Voor de waarnemer op aarde beweegt het vliegtuig met snelheid 0,50 c en dus neemt deze waarnemer de gekrompen lengte Lb waar.
• Bereken: 𝛾 = 1 / √ (1 - 0,502) = 1,154
• Bereken Lb = Le / 𝛾 = 15 / 1,154 = 12,99 = 13 m

HW

1b

• Er geldt nog steeds dat Le = 15 m. 
• Lb = 7,5 m
• Lb = Le/𝛾     -->   𝛾 = 2,0
• 𝛾 = 1 / √ (1 -  (v/c)2) = 2,0
• Hoe bereken je hieruit v op een handige manier?

1b. Bereken v uit 𝛾 

• Houdt berekeningen overzichtelijk met de hulpvariabele ꞵ = v / c:
• 𝛾 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  ->
• 2,0 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  kwadrateren -> 
• 4,0 = 1 / (1 - ꞵ2)  'switch': delen door 4,0 en vermenigvuldigen met 1-ꞵ2 ->
• 1 - ꞵ2 = 1 / 4,0   herschrijven ->
• ꞵ2 = 1 - 1 / 4,0 = 0,75
• ꞵ = 0,886
• v = 0,886 c  (Omzetten naar m/s hoeft niet, je mag c laten staan)