K4.1-K4.2. Ruimtetijd-diagram (opg.2-5)

Les 2. K4.1 - K42
Deze les:
  • De laatste dia's van les 1 waar we gisteren niet aan toe kwamen. (opg.1)
  • D1. Tijdrek en lengtekrimp toepassen (opg.2-4)
  • D2. Ruimtetijd-diagram in klassieke situaties (huiswerk opg.6-8)
1 / 25
next
Slide 1: Slide
NatuurkundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 5

This lesson contains 25 slides, with interactive quizzes and text slides.

time-iconLesson duration is: 90 min

Items in this lesson

Les 2. K4.1 - K42
Deze les:
  • De laatste dia's van les 1 waar we gisteren niet aan toe kwamen. (opg.1)
  • D1. Tijdrek en lengtekrimp toepassen (opg.2-4)
  • D2. Ruimtetijd-diagram in klassieke situaties (huiswerk opg.6-8)

Slide 1 - Slide

Tijdrek
  • Δtb = 𝛾 Δte : In het stelsel dat beweegt is de tijd Δtb gerekt.
  • De eigentijd wordt gemeten in het ruststelsel van het proces:
  • Trein: Het proces is: licht weerkaatst tegen bovenste spiegel
  • De trein is in rust t.o.v. de bovenste spiegel. -> Bruce meet tijdrek.
  • Muonen: Het proces is: de muon veroudert
  • De muon is in rust t.o.v. zichzelf. De gemiddelde leeftijd van 2,2 μs is een eigentijd in het stelsel van de muon. De waarnemer op aarde meet tijdrek.

Slide 2 - Slide

Muonen verklaard met lengtekrimp
  • In het stelsel van de muon beweegt de atmosfeer met een lengte van 10 km met v = 0,999 c naar de muon toe.
  • De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km.
  • De muon ziet de gekrompen atmosfeer Lb = 440 m met 0,999 c op hem afkomen en de 'achterkant', het aardoppervlak, kan hem ruimschoots bereiken binnen zijn gemiddelde levensduur.

Slide 3 - Slide

Lengtekrimp
  • Lb = Le / 𝛾: In het stelsel dat beweegt is de lengte Lb gekrompen.
  • De eigenlengte wordt gemeten in het ruststelsel van het voorwerp / de afstand (in rust t.o.v. begin- en eindpunt):
  • Muonen: De atmosfeer is 10 km, gemeten door een waarnemer die stilstaat t.o.v. de atmosfeer, bijv. een waarnemer op aarde. De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km. De muon ziet de gekrompen atmosfeer Lb = 440 m.

Slide 4 - Slide

Huiswerk opgave 1a
  • Het vliegtuig is in stilstand gemeten 15 m.
  • Dat is dus de eigenlengte Le = 15 m.
  • Voor de waarnemer op aarde beweegt het vliegtuig met snelheid 0,50 c en dus neemt deze waarnemer de gekrompen lengte Lb waar.
  • Bereken 𝛾 = 1 / √ (1 - 0,502) = 1,154
  • Bereken Lb = Le / 𝛾 = 15 / 1,154 = 12,99 = 13 m

Slide 5 - Slide

Huiswerk opgave 1b
  • We weten van de a-vraag wat Le en Lb is.
  • Gegeven is Le = 15 m en Lb = 7,5 m
  • Bereken 𝛾 = Le / Lb = 15 / 7,5 = 2,0
  • Hoe bereken je nu uit 𝛾 = 2,0 de snelheid v?
  • Kies een handige manier en oefen die!

Slide 6 - Slide

Bereken v  voor 𝛾 = 2,0 (overzichtelijk en handig)
  • Houdt berekeningen overzichtelijk met de hulpvariabele ꞵ = v / c:
  • 𝛾 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  invullen -> 
  • 2,0 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  kwadrateren -> 
  • 4,0 = 1 / (1 - ꞵ2'switch': delen door 4,0 en vermenigvuldigen met 1-ꞵ2 ->
  • 1 - ꞵ2 = 1 / 4,0  en nu gaat het verder gemakkelijk ->
  • 2 = 1 - 1 / 4,0 = 0,75
  • ꞵ = 0,886,  v = 0,886 c. (naar m/s hoeft niet, je mag c laten staan)

Slide 7 - Slide

Hoe groot is de relativistische factor (ongeveer) bij v = 0,80 c?
A
1,2
B
1,5
C
1,7
D
2,3

Slide 8 - Quiz

Een raket beweegt met snelheid v van de aarde af. Er wordt een lichtpuls uit de raket naar de aarde gezonden. Op aarde meten wij de snelheid van deze puls als:
A
c
B
c + v
C
c - v
D
v

Slide 9 - Quiz

Wat is de eigenlengte van een voorwerp?
timer
1:00

Slide 10 - Open question

Een lichtseconde is
A
een afstandsmaat
B
een tijdseenheid
C
een snelheidsmaat
D
geen idee

Slide 11 - Quiz

De afstand die met snelheid v = 0,50 c wordt afgelegd in een minuut is:
A
60 lichtseconden
B
30 lichtseconden
C
1 lichtminuten
D
2 lichtminuten

Slide 12 - Quiz

De Melkweg, ons sterrenstelsel, heeft een diameter van ongeveer 100.000 lichtjaren. Kan iemand in één mensenleven met hoge snelheid de Melkweg doorkruisen van de ene naar de andere kant?
A
Ja
B
Nee

Slide 13 - Quiz

Opgave 2. Raket met astronaut
  • Standaard situatie

Slide 14 - Slide

Opgave 3a
  • Astronaut Buzz reist met v = 0,60 c t.o.v. de aarde en vertelt een boodschap van 45 seconden.
  • Voor v = 0,60 c berekenen we 𝛾 = 1,25
  • Is die 45 seconden een eigentijd?
  • Buzz is in rust t.o.v. het proces van het vertellen van de boodschap. De 45 seconden is de eigentijd in het referentiestelsel van Buzz: Δte = 45 s
  • De waarnemer op aarde (controlepost) ervaart gerekte tijd en ontvangt een boodschap van Δtb = 𝛾 Δte = 1,25 . 45 = 56 s

Slide 15 - Slide

Opgave 3b,c
  • De trillingstijd van tonen in de boodschap van Buzz worden op aarde groter: T wordt groter.
  • f = 1 / T dus wordt de frequentie van de tonen kleiner: f wordt lager
  • De noemen dit een lagere toon(hoogte).
  • Vraag c
  • De factor waarmee T groter en f kleiner wordt is de relativistische factor.
  • De hartslag met fe = 70 min-1 wordt op aarde waargenomen als fb = fe / 𝛾
  • fb = 70 / 1,25 = 56 min-1

Slide 16 - Slide

Opgave 4
  • Vergelijk met Muonen experiment:
  • Op aarde weet je de tijd van de eerste gebeurtenis (de muon ontstaat bovenin de atmosfeer) niet.

Slide 17 - Slide

Opgave 5
  • Vergelijk met Trein-tunnel gedachtenexperiment.
  • In het referentiestelsel van de (waarnemer op) aarde wordt de trein gekrompen waargenomen.

Slide 18 - Slide

Opg5. de trein-tunnel paradox
  • Een trein van 200m rijdt door een tunnel van 150m.
  • In het referentiestelsel van de tunnel (aarde) past de trein in de tunnel!
  • Zijn die 200m en 150m eigenlengtes?
  • Ja, dat zijn beide eigenlengtes.
  • In het referentiestelsel van de aarde wordt de trein gekrompen waargenomen: Lb,trein = Le,trein / 𝛾 en moet de gekrompen lengte passen in de lengte van de tunnel (zoals men die op aarde ziet, dus in 150m). 
  • We kunnen nu 𝛾 berekenen: 150 = 200 / 𝛾. Dus 𝛾 = 1,333.
  • Zie eerdere dia over het handig bereken van v voor een bekende 𝛾.

Slide 19 - Slide

Ruimtetijd
Ruimte en tijd vormen één geheel, de ruimtetijd. Voor iedere waarnemer is dit geheel op een andere manier opgedeeld in ruimte en tijd - steeds op zo'n manier dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer even groot is.

(Van Marcel Vonk, quantumuniverse.nl)

Slide 20 - Slide

D2. Ruimtetijd-diagram
  • We beginnen bij wat we kennen: het (x,t)-diagram
  • De eerst aanpassing die we maken is de assen verwisselen.
  • Ieder punt in het (t,x) ruimtetijd-diagram is een gebeurtenis.
  • De gebeurtenissen van een voorwerp vormen een wereldlijn.
  • In het referentiestelsel van de boom is de tijd-as de wereldlijn van de boom. (x=0: je staat stil in jouw eigen referentiestelsel)

Slide 21 - Slide

Ruimtetijd-diagram
  • We tekenen het referentiestelsel van de boom.
  • Het huis staat op een vaste positie 8 meter naar links.
  • De hond loopt met constante snelheid naar links.
  • De steilheid geeft de snelheid: v = Δx / Δt, alleen nu is sneller minder steil.

Slide 22 - Slide

Diagrammen: de eerste en tweede stap
  • Om met de diagrammen te leren werken beginnen we met experimenten uit de klassieke mechanica (theorie tot lichtkegel, opgaven 8-9).
  • Daarna doen we nog een aanpassing aan de tijd-as om snelheden in de buurt van de lichtsnelheid duidelijk te kunnen weergeven.
  • En in paragraaf 3 tekenen we twee referentiestelsel in hetzelfde diagram. Daarna kunnen we experimenten met relativistische mechanica weergeven.

Slide 23 - Slide

Ga oefenen met deze diagrammen
  • In het boek staat in de tekst van paragraaf K4.2 het diagram met de Boom en met de Hond als referentiestelsel.
  • In opgave 8 wordt gevraagd of jij het diagram kan maken met het referentiestelsel van het Huis en daarbij tijden kan berekenen.

Slide 24 - Slide

Huiswerk
Bestudeer K4.2 (p.18-20 tot de lichtkegel)
Maak opgaven 8, 9, 10

Slide 25 - Slide