3_2_Ordenaciones sin repetición

• Algebra
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Ordenaciones sin repetición de elementos.

y Permutaciones.

Variables

Dentro de todo problema de análisis combinatorio vamos a contar con las siguientes variables:

-Número de elementos totales a elegir (n)

-Cantidad de vecces que se elige (r)

Antes de ver la fórmula

¿De cuántas formas se pueden acomodar 4 cartas de un grupo de 10? 

¿De cuántas formas podemos acomodar 4 cartas de un grupo de 10?

Como vimos, necesitamos multiplicar el número de opciones que tenemos para cada elección

$$O_4^{10}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$$

Creemos una fórmula para esta operación.

Se multiplican número sucesivos de n hacia abajo.

$$O_4^{10}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!$$

$$O_r^n=n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)\cdot ...\cdot 1$$

Creemos una fórmula para esta operación.

Pero queremos eliminara partir de r-ésimo elemento.

$$O_4^{10}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!}$$

$$O_r^n=\frac{n!}{?}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)\cdot ...\cdot 1}{(n-4)\cdot ...\cdot 1}$$

Creemos una fórmula para esta operación.

Es decir, dividimos entre la diferencia de n y r factorial

$$O_4^{10}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{10-4!}$$

$$O_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)$$

Ordenaciones sin repetición

$$O_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}$$

¿Las permutaciones son lo mismo?

Español

Ordenación: Elección de ciertos elementos de un conjunto en un orden dado.

Permutación: Es una ordenación en donde se tuilizan todos los elementos posibles. (n = r)

Inglés

Permutation: Se utiliza en ambos casos de manera indistinta.

Permutaciones

$$O_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{n!}{0!}=n!$$

Permutaciones

$$P^n=n!$$

¿Cuántos Staff distintos puedo formar en el salón?

Si el salón tiene 40 alumnos pasa a la siguiente slide!

$$O_3^{39}=\frac{39!}{(39-3)!}$$

$$O_3^{39}=\frac{39!}{(36)!}=\frac{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36!}{36!}$$

$$O_3^{39}=39\cdot 38\cdot 37=54,834$$

¿Cuántos Staff distintos puedo formar en el salón?

Si el salón tiene 39 alumnos pasa a la slide anterior

$$O_3^{40}=\frac{40!}{(40-3)!}$$

$$O_3^{40}=\frac{40!}{(37)!}=\frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37!}{37!}$$

$$O_3^{40}=40\cdot 39\cdot 38=59,280$$

Queremos acomodar los siguientes libros, todos ellos del mejor al peor sin separar ninguna de las sagas.

7 Harry Potter, 5 El señor de los anillos, 4 The Hunger Games y adicional a esto hay 4 libros sueltos.

Primero debemos de acomodar cada una de las sagas de forma independiente. Veamos de cuantas formas se peude acomodar Haryr Potter:

$$O_7^7=P^7=7!=5040$$

Queremos acomodar los siguientes libros, todos ellos del mejor al peor sin separar ninguna de las sagas.

7 Harry Potter, 5 El señor de los anillos, 4 The Hunger Games y adicional a esto hay 4 libros sueltos.

Primero debemos de acomodar cada una de las sagas de forma independiente. Veamos de cuantas formas se peude acomodar TLotR

$$P^5=5!=120$$

Queremos acomodar los siguientes libros, todos ellos del mejor al peor sin separar ninguna de las sagas.

7 Harry Potter, 5 El señor de los anillos, 4 The Hunger Games y adicional a esto hay 4 libros sueltos.

Primero debemos de acomodar cada una de las sagas de forma independiente. Veamos de cuantas formas se peude acomodar Hunger Games

$$P^4=4!=24$$

Queremos acomodar los siguientes libros, todos ellos del mejor al peor sin separar ninguna de las sagas.

7 Harry Potter, 5 El señor de los anillos, 4 The Hunger Games y adicional a esto hay 4 libros sueltos.

Ahora debemos acomodar cada saga en orden junto con los 4 libros sobrantes.

3 sagas y 4 libros.

$$P^7=7!=5040$$

Queremos acomodar los siguientes libros, todos ellos del mejor al peor sin separar ninguna de las sagas.

7 Harry Potter, 5 El señor de los anillos, 4 The Hunger Games y adicional a esto hay 4 libros sueltos.

DE acuerdo a la teoría fundamental del conteo, como quiero acomodar todo lo anterior junto, debo de multiplicarlo.

$$P^7\cdot P^5\cdot P^4\cdot P^7=7.3156608\times 10^{10}$$

$$73,156,608,000opciones$$

¿Cuántas contraseñas de facebook puedo generar con letras mayúsculas minúsculas, números y símbolos (15) de una longitud de 8 carácteres si no quiero repetir ninguno?

• 26 letras minúsculas
• 26 letras mayúsculas
• 10 números
• 15 símbolos
• 77 totales elementos posibles.

$$O_8^{77}=\frac{77!}{(77-8)!}=\frac{77!}{69!}$$

¿Cuántas contraseñas de facebook puedo generar con letras mayúsculas minúsculas, números y símbolos (15) de una longitud de 8 carácteres si no quiero repetir ninguno?

¡¿Math error y ahora?!

$$O_8^{77}=\frac{77!}{(77-8)!}=\frac{77!}{69!}$$

$$O_8^{77}=\frac{77!}{(77-8)!}=77\cdot 76\cdot 75\cdot 74\cdot 73\cdot 72\cdot 71\cdot 70$$

¿Cuántas contraseñas de facebook puedo generar con letras mayúsculas minúsculas, números y símbolos (15) de una longitud de 8 carácteres si no quiero repetir ninguno?

O usando la tecla "nPr" de tu calculadora

$$O_8^{77}=77nPr8$$

$$O_8^{77}=8.484163824\times 10^{14}$$

$$O_8^{77}=848,416,382,400,000$$