Meetkundige berekeningen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Meetkundeproblemen

Havo 5 wiskunde B

SOSCASTOA

•                                                           o = overstaande rechthoekszijde

•                                                           a = aanliggende rechthoekszijde
  

•                                                           s = schuine zijde
  

sin(α)=​s​​o​​

cos(α)=​s​​a​​

tan(α)=​a​​o​​

cosinusregel

2 zijden + ingesloten hoek gegeven -> zijde tegenover hoek gevraagd

3 zijden gegeven -> hoek gevraagd

a​2​​=b​2​​+c​2​​−2bc⋅cos(α)

b​2​​=a​2​​+c​2​​−2ac⋅cos(β)

c​2​​=a​2​​+b​2​​−2ab⋅cos(γ)

Sinusregel:

zijde +overstaande hoek moet gegeven/te berekenen zijn!

vb : bereken a, zie het figuur hiernaast

​sin(α)​​a​​=​sin(β)​​b​​=​sin(γ)​​c​​

γ=180°−48°−76°=56°

​sin(48°)​​a​​=​sin(56°)​​12​​

a=​sin(56°)​​12⋅sin(48°)​​≈10,8

Bereken BC
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Antwoord met uitwerking

In driehoek ACD cosinusregel om AC te berekenen

In driehoek ACD hoek CAD berekenen met de sinusregel

In driehoek ABC cosinusregel om BC te berekenen

AC​2​​=4​2​​+6​2​​−2⋅4⋅6⋅cos(130°)

AC≈9,10....

​sin(130°)​​9,10...​​=​∠CAD​​6​​

∠CAD≈30,3...dus∠BAC≈70−30,3...≈39,67....

BC​2​​=9,10​2​​+10​2​​−2⋅9,10⋅10⋅cos(39,67)

BC≈6,54

Gelijkvormige driehoeken

•  2 hoeken gelijk in 2 driehoeken? -> driehoeken zijn                      gelijkvormig
•  denk aan Z-hoeken (zandloperfiguur), F-hoeken                            (snavelfiguur) en overstaande hoeken
• met behulp van een verhoudingstabel kun je de                             ontbrekende zijde berekenen (gebruik eventueel een variabele)

Gegeven het figuur hiernaast.
Bereken AE.

Uitwerking

Bereken DS in 2 decimalen nauwkeurig.

Bijzondere rechthoekige driehoeken

•  De zijden van een gelijkbenige
  

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

•  De zijden van een driehoek met
  

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

√​2​​​

°

30°en60°

√​3​​​

Vergelijkingen en bijzondere rechthoekige driehoeken

Zie som op de volgende pagina voor een voorbeeld

Gegeven is de vierhoek ABCD met :


De oppervlakte van de vierhoek is
Bereken exact de lengte van BD en AB.

∠A=60°en∠C=45°

∠ADB=∠CBD=90°

7​2​​1​​

vergelijkingen en Pythagoras

Onderlinge ligging van lijnen

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.

Afstand tussen 2 punten

Gegeven A(xA,yA) en B(xB, yB)

• Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d:distance) tussen A en B:

d(A,B)=√​(yB−yA)​2​​+(xB−xA)​2​​​​​

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 

√​(4−2)​2​​+(5−1)​2​​​​​≈4,47

Afstand punt-lijn d(A,k)

•  Stel de vergelijking op van de lijn l door A loodrecht op k
  

   -> als de vergelijking in de vorm y=ax+b staat

        dus a = 

   en anders k: ax+by=c ->l: bx-ay=d
   A invullen om de ontbrekende waarde te berekenen (b/d)

• Bereken de coordinaten van het snijpunt B van k en l.
• Gebruik d(A,k)=d(A,B) om d(A,k) te berekenen.

rcl⋅rck=−1

rc​l​​=−​rc​k​​​​1​​

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Antwoord + uitwerking

• vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 

       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26

• snijpunt S van lijn l en lijn f:
  

       3x-7y=4

       7x+3y=26

       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83

• d(A,f) =d (A,S) = 
  

7⋅2+3⋅4=26

√​(1,83−4)​2​​+(2,93−2)​2​​​​​≈2,36

Hoek tussen 2 krommen

• Stel een vergelijking op van de raaklijnen l en k aan de           krommen in het snijpunt 
  
• 
  
• 
  
• gevraagde hoek:
  

       of

tan(β)=rck

ϕ=α−β

ϕ=180°−(α−β)

tan(α)=rcl

vraag 8 blz 195

Zijdexhoogte-methode

Voor driehoeken geldt:

ene zijde x bijbehorende hoogte= andere zijde x bijbehorende hoogte

Vaak te gebruiken als je een rechte hoek ziet ergens in het figuur.

Gegeven vierkant ABCD hiernaast.
Bereken CF.
Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig

Antwoord met uitwerking

• Teken EC en teken EG loodrecht op BC met G op BC.

• De zijde x hoogte-methode in driehoek BCE geeft

BE=√​6​2​​+4​2​​​​​=√​52​​​

BE⋅CF=BC⋅EG

√​52​​​⋅CF=6⋅6

CF=​√​52​​​​​36​​≈4,99

Cirkelvergelijking herschrijven

Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

• Herschrijven tot:

Zodat je weet: M(2,4) en straal r =

x​2​​−4x+y​2​​−8y+10=0

(x−2)​2​​−4+(y−4)​2​​−16+10=0

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=10

√​10​​​

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?

• Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
• bereken d(A,M)

• vergelijk d(A,M) met de straal
  

         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel

         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel

         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

1. buiten
2. binnen
3. op

Uitwerking

• 
  

      dus M(1,-3) en straal=6

•     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

•  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
  

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

(x−1)​2​​−1+(y+3)​2​​−9=26

(x−1)​2​​+(y+3)​2​​=36

√​(2−−3)​2​​+(6−1)​2​​​​​≈√​50​​​≈7,07

Cirkels en raaklijnen

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Raaklijnprobleem 1

Stel vgl op van c met M(xM, yM) die lijn k raakt

• Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

• stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
• bereken snijpunt m en k (S)
• r =d(M,k) = d(M,S)
  

(x−xm)​2​​+(y−ym)​2​​=r​2​​

Raaklijnprobleem 2

Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B

• Bereken rc van de lijn k door M en B

      rck=

•  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt

       bereken hiermee rcl=a

• Bereken b door B in te vullen.
  

​(xB−xM)​​(yB−yM)​​

rcl⋅rck=−1

Raaklijnprobleem 3

Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.

- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie

- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 

waarvan je discriminant D kunt berekenen

- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b

ax​2​​+bx+c=0

D=b​2​​−4⋅a⋅c

De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.

c1→x​2​​+y​2​​=16

c2→x​2​​−10x+y​2​​+16=0

Uitwerking

• De straal r1 van c1 is 4

       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3

• In OAM geldt
• Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden
  

x​2​​−10x+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​−25+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​+y​2​​=9

OA​2​​+AM​2​​=OM​2​​want4​2​​+3​2​​=5​2​​

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

y=−​12​​1​​√​6​​​⋅x+​3​​5​​√​6​​​

Uitwerking

• k gaat door M en staat loodrecht op l dus

       k:y=ax+b

       a=

      M invullen om b te berekenen:  geeft b =

       k:

•  k snijden met l geeft x =              en y=
  
• dus P(       ,              )
  

r​k​​⋅rc​l​​=−1

rc​k​​=−​​12​​√​6​​​​​​​1​​=​√​6​​​​​12​​⋅​√​6​​​​​√​6​​​​​=2√​6​​​

−10√​6​​​

y=2√​6​​​⋅x−10√​6​​​

5​5​​3​​

1​5​​1​​√​6​​​

5​5​​3​​

1​5​​1​​√​6​​​

Cirkels en afstanden

• Afstand punt A tot cirkel c met M en r

        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)

        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r

•  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  

        middelpunt N

        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Uitwerking