Factorización

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Factorización

Separar un polinomio en multiplicaciones.

Factorización

Así como un número se separa en productos primos (36 = 2*2*3*3) un polinomio puede separarse en monomios

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)\cdot (a+b)$$

Factor común

Existe un elemento que aparece en todos los términos.

$$a{x}^2+ax+a\cdot c$$

$$a{x}^2+ax+a\cdot c=a(\frac{a{x}^2}{a}+\frac{ax}{a}+\frac{ac}{a})$$

$$a{x}^2+ax+a\cdot c=a(x^2+x+c)$$

Factor común

Existe un elemento que aparece en todos los términos.

$$4x^2+8x-16=4x^2+4\cdot 2\cdot x-4\cdot 4$$

$$4x^2+8x-16=4(\frac{4x^2}{4}+\frac{8x}{4}-\frac{16}{4})$$

$$4x^2+8x-16=4(x^2+2x-4)$$

Factor común con exponentes.

Se separa el término con menor exponente.

$$3x^3-9x^2=$$

$$3x^3-9x^2=3\cdot x^2(\frac{3x^3}{3x^2}-\frac{9x^2}{3x^2})$$

$$3x^3-9x^2=3x^2(x-3)$$

Otro ejemplo

$$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}+x^{-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}$$

$$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{-\frac{1}{2}}}+\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{x^{-\frac{1}{2}}})$$

$$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}(x^1+x^0)=\frac{1}{\sqrt{x}}(x+1)$$

También funciona con paréntesis

$$(x-4{)}^3-3x(x-4{)}^2=$$

$$(x-4{)}^3-3x(x-4{)}^2=(x-4{)}^2(x-4-3x)$$

$$=(x-4{)}^2(\frac{(x-4{)}^3}{(x-4{)}^2}-\frac{3x(x-4{)}^2}{(x-4{)}^2})$$

$$=(x-4{)}^2(-2x-4)=-(x-4{)}^2(2x+4)$$

También funciona con paréntesis

$$3x^2\sqrt{x+2}+\frac{9x}{\sqrt{x+2}}=3x^2(x+2{)}^{\frac{1}{2}}+9x(x+2{)}^{-\frac{1}{2}}$$

$$=3\cdot x\cdot (x+2{)}^{-\frac{1}{2}}(x(x+2{)}^1+3(x+2{)}^0)$$

$$=\frac{3\cdot x}{\sqrt{x+2}}(x^2+2x+3)$$

Factoriza:

$$6x^3(3x-2{)}^2-9x(3x-2{)}^3$$

1. 3x⋅(3x−2)​2​​(2x​2​​−9x+6)

$$6x^3(3x-2{)}^2-9x(3x-2{)}^3$$

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c$$

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c$$

El único método 100% efectivo es la fórmula general:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$(x-x_1)(x-x_2)$$

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

Vamos a multiplicar a y c y encontrar sus factores:

72	1
36	2
24	3
18	4
12	6
9	8

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

El signo de "b" va en la columna de los mayores:

- 72	1
- 36	2
- 24	3
- 18	4
- 12	6
- 9	8

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

Si el signo de "c" es +, repetimos signo, si es - cambiamos

- 72	+ 1
- 36	+ 2
- 24	+ 3
- 18	+ 4
- 12	+ 6
- 9	+ 8

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

Agregamos una tercer columna con la suma y buscamos a "b":

- 72	+ 1	-71
- 36	+ 2	-34
- 24	+ 3	-21
- 18	+ 4	-14
- 12	+ 6	-6
- 9	+ 8	-1

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

Expresamos el trinomio usando los dos términos que sumamos

-9

+8

-1

$$6x^2-9x+8x-12$$

Factorizar un trinomio

$$a{x}^2+bx+c=6x^2-x-12$$

Agrupamos de dos en dos y buscamos factor común dos veces

$$6x^2-9x+8x-12$$

$$(6x^2-9x)+(8x-12)$$

$$3x(2x-3)+4(2x-3)$$

$$(2x-3)(3x+4)$$

Diferencia de cuadrados:

$$(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$$

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

Suma o resta de cubos:

$$(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Factorice:

$$6x^2-x-12$$

1. (3x−4)(2x+3)
2. (3x+4)(2x−3)
3. (3x−3)(2x+4)
4. (3x+3)(2x+4)

Factorice:

$$(\frac{x^2}{4}-\frac{9}{x^4})$$

1. (​2​​x​​+​x​2​​​​3​​)(​2​​x​​−​x​2​​​​3​​)
2. (​2​​x​​+​x​2​​​​3​​)(​2​​x​​+​x​2​​​​3​​)
3. (​2​​x​​−​x​2​​​​3​​)(​2​​x​​−​x​2​​​​3​​)
4. (x−3)(x+3)

Factorice:

$$4x^2-28x+49$$

1. (x−7)(4x+7)
2. (2x−7)(2x+7)
3. (2x+7)​2​​
4. (2x−7)​2​​