Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?

• Wiskunde
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5,6

Introduction

Maak van je leerlingen echte wiskundige probleemoplossers door ze met differentiëren en de strategie van Pólya de ideale kabelroute voor het Quantum Internet te laten ontwerpen. Een uitdagende en motiverende les die abstracte wiskunde direct relevant maakt!

Instructions

Voorkennis van leerlingen

Leerlingen moeten bekend zijn met de stelling van Pythagoras en kwadratische en wortelfuncties kunnen differentiëren (inclusief de kettingregel).

Voorbereiding van de docent

• Neem de les een keer door.
• Download en print het werkblad. En download en print eventueel de uitwerkingen. 
• Zorg dat elke leerling een laptop en een grafische rekenmachine heeft. 
• Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen. 

Leerdoelen/vaardigheden

• De leerling kan de fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.
• De leerling kan een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.
• De leerling kan met behulp van de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Aansluiting curriculum

Deze les sluit specifiek aan op het examenprogramma Wiskunde B voor het vwo (bovenbouw), met name in de volgende domeinen:

Domein A (Vaardigheden):

• Subdomein A7 (Modelleren): De leerling vertaalt een technisch probleem (kabelroute) naar een wiskundig model en analyseert de resultaten.

Domein B (Formules, functies en grafieken):

• Subdomein B1 (Formules en functies): Manipuleren van formules om kosten en afstanden uit te drukken.
• Subdomein B2 (Standaardfuncties): Werken met wortelfuncties die voortkomen uit de Stelling van Pythagoras.

Domein C (Differentiaal- en integraalrekening):

• Subdomein C1 (Afgeleide functies): Gebruik van de afgeleide om eigenschappen van de functie (het minimum) te vinden.
• Subdomein C2 (Technieken voor differentiëren): Toepassen van de kettingregel bij samengestelde wortelfuncties.

Domein E (Meetkunde met coördinaten):

• Subdomein E1 (Meetkundige vaardigheden) & E2 (Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde): Vertalen van een meetkundige situatie naar algebraïsche formules.
• Subdomein E4 (Toepassingen): Optimaliseren van een route in een meetkundige context.

Feedback

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

ut.onl/docent4tu

Worksheets

4TU_Polya_werkblad.pdf

4TU_Polya_werkblad_uitwerkingen.pdf

Ondertitel

Hoe ontwerp je de ideale kabelroute voor het Quantum Internet?

Een les over wiskundig problem solving met Pólya (differentiëren en kettingregel)

Les 1. Wat is creativiteit?

Informatie voor de docent

Benodigdheden

Iconen

Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan

Toon notities bij elke dia

Navigeren door de les

Download en print het werkblad

Vergroot een afbeelding

Klik hier

Hotspot met meer informatie

Laptop voor elke leerling

Grafische rekenmachine voor elke leerling

Vooraf

Neem de les en het werkblad door.

Les 1. Wat is creativiteit?

Leerdoelen

Na deze les...

...kun je de 4 fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.

...kun je een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.

...kun je met behulp van de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Tekst

In deze les ga je aan de slag met het oplossen van wiskundige problemen. Die zijn vaak lastig en misschien lukt het je ook niet ze in één keer op te lossen. Aan de hand van drie problemen ga je werken aan je wiskundige problem solving vaardigheden. Je leert daarbij de strategie van een bekend wiskundige (George Pólya) toe te passen.

Super handig als je weer eens een moeilijke opgave tegenkomt bij een toets!

De problemen waarmee we aan de slag gaan, gaan over het Quantum Internet. Maar wat is dat eigenlijk?

Voor de docent

Let op! Het lukt waarschijnlijk niet om alle drie de opdrachten in één lesuur te doen. Je kunt de laatste opdracht overslaan of als huiswerk meegeven. 

Les 1. Wat is creativiteit?

1. Delft ↔ Den Haag

Onderzoekers van QuTech (TU Delft) en TNO bouwen een quantumnetwerk. Om een verbinding te maken tussen Delft en Den Haag, worden signalen naar een centrale Quantum Hub gestuurd om daar verstrengeld te worden. 

Maar waar zet je die Hub neer?

De totale glasvezelafstand moet minimaal zijn om signaalverlies te voorkomen. 

Bronnen: Schenk (2025) en TU Delft (2024)

Instructie

Vertel kort over de context. Het gaat niet om 'een sommetje uit het boek', maar om echte ontwerpkeuzes die ingenieurs maken over waar kabels moeten liggen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Gegevens

Lab A (Delft) heeft coördinaten            .

Lab B (Den Haag) heeft coördinaten

             .

Hub P is een punt              op de hoofdroute (  -as).

Opdracht

Bereken op welke plek hub P moet komen om het gegevensverlies zo laag mogelijk te houden. 

Modelleren is vereenvoudigen

In de werkelijkheid is de wereld niet plat en zijn kosten nooit overal precies constant. Kabels moeten om gebouwen heen en prijzen fluctueren. In deze opgaven maken we een wiskundig model: we vereenvoudigen de werkelijkheid (rechte lijnen, uniforme prijzen) om er aan te kunnen rekenen. Het antwoord is dus een ideaal scenario, dat ingenieurs gebruiken als startpunt voor het echte ontwerp. 

A(0,4)

B(10,8)

P(x,0)

x

Tekst

Les 1. Wat is creativiteit?

Strategie van Pólya

Wiskundig probleem oplossen aan de hand van de strategie van George Pólya:

1. Begrijp het probleem

2. Maak een plan

3. Voer het plan uit

4. Kijk terug en reflecteer

Bron: Polya (1957)

George Pólya

George Polya (1887-1985) was een belangrijke wiskundige en leraar met zowel een Hongaarse als Amerikaanse achtergrond. Hij staat vooral bekend om zijn grote invloed op het onderwijs in de wiskunde.

Zijn bekendste werk was gericht op hoe je problemen het beste kunt aanpakken en oplossen. Hij ontwikkelde hiervoor een baanbrekende methode die nog steeds veel wordt gebruikt in het wiskundeonderwijs.

Tekst

Ingenieurs moeten voortdurend afwegingen maken tussen kosten, afstand en terreinomstandigheden. 

Om complexe problemen zoals deze aan te pakken, gebruiken we de wereldberoemde strategie van de wiskundige George Pólya.

In zijn boek How to Solve It (1945) beschrijft hij vier essentiële stappen voor het oplossen van elk wiskundig probleem:

1. Begrijp het probleem: Wat is het onbekende? Wat zijn de gegevens? Maak een schets en introduceer geschikte notaties (zoals x of L(x)).

2. Maak een plan: Zoek naar een verband tussen de gegevens en het onbekende. Heb je een soortgelijk probleem eerder gezien? Kun je het probleem in delen opsplitsen?

3. Voer het plan uit: Voer de berekeningen nauwkeurig uit. Controleer elke stap.

4. Kijk terug en reflecteer: Klopt je uitkomst? Is het antwoord logisch in de context? Kun je het resultaat op een andere (slimmere) manier afleiden?

Les 1. Wat is creativiteit?

Werkblad

Gebruik het werkblad om te berekenen op welke plek hub P moet komen om het gegevensverlies zo laag mogelijk te houden. 

Instructie

Stel de formule L(x) op.

Leerlingen werken in stilte of in duo's. Loop rond en help bij het opstellen van de wortelfuncties (Pythagoras). Differentieer de functie en vindt het minimum.

Of, gebruik de spiegeltruc. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Terugkijken

Hoe heb je het probleem opgelost?

Kan het anders of zelfs slimmer?

Heb jij de spiegeltruc gebruikt?

Terugkijken

Kan dit anders of zelfs slimmer? Ja! De spiegeltruc.

Als de kosten voor de aanleg overal gelijk zijn, werkt het als lichtbreking van een spiegel.

Trek een lijn van A' naar B. Het snijpunt van deze lijn met de x-as vormt de oplossing. Je hebt dan geen afgeleide nodig!

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking 1a

Klik om de afbeelding te vergroten

Uitwerking met behulp van differentiëren. 

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan. 

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking 1b

Klik om de afbeelding te vergroten

Uitwerking met behulp van meetkunde.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Les 1. Wat is creativiteit?

2. Polder vs. spoor

B

A

A

Een verbinding moet worden aangelegd van een datacenter in de polder (   ) naar een verdeelstation aan het spoor (   ). Graven in de polder is duur (zachte grond/water). Langs het spoor ligt al een kabelgoot, wat veel goedkoper is.

B

Tekst

Je gaat nu met een vergelijkbare casus aan de slag, maar het probleem is iets lastiger doordat de kosten voor de aanleg van de verbinding niet overal gelijk zijn.

Les 1. Wat is creativiteit?

Werkblad en gegevens

Datacenter: 

Verdeelstation: 

Aansluiting: Van    door de polder naar aansluitpunt              

            dan langs het spoor naar   .

Kosten polder             : € 55.000,- per km.

Kosten spoor              : € 25.000,- per km.

Opdracht

Gebruik het werkblad om de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

A(0,8)

B(12,0)

A

P(x,0)

B

d(A,P)

d(P,B)

Tekst

Je krijgt de volgende gegevens.

Opdracht

Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

Instructie

Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Terugkijken

Hoe heb je het probleem opgelost?

Kon je de spiegeltruc weer toepassen?

Bespreek de antwoorden en oplosstrategieën. Benadruk dat wiskunde B hier de tool is die je nodig hebt als meetkunde tekortschiet.

De spiegeltruc toepassen kan hier niet. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking 2 

Klik om de afbeelding te vergroten

Uitwerking met behulp van differentiëren. 

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Les 1. Wat is creativiteit?

3. Water vs. land

Het Quantum Internet stopt niet in Den Haag. We willen verbinden met Engeland en de USA!

We leggen een kabel van land (   ) naar een platform in zee (   ). Installatie op zee vereist dure schepen en bepantserde kabels, waardoor de kilometerprijs hoger is dan op land.

A

B

Instructie

Laat de leerlingen zelfstandig de strategie van Pólya toepassen om het derde probleem op te lossen. 

Leerlingen hebben hier een grafische rekenmachine voor nodig. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Werkblad en gegevens

Datacenter op het land: 

Verdeelstation op zee: 

De kustlijn is de    -as.

Aansluiting: Van    op het land naar aansluitpunt              

            op de kustlijn en dan door de zee naar    .

Kosten over land              : € 40.000,- per km.

Kosten door de zee             : € 60.000,- per km.

Opdracht

Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

A(0,6)

B(10,−6)

A

P(x,0)

B

d(A,P)

d(P,B)

x

Tekst

Je krijgt de volgende gegevens.

Opdracht

Gebruik het werkblad om een kostenfunctie op te stellen en de minimale kosten voor de aanleg te berekenen.

Instructie

Dit is een pittige opdracht. Er is bewust geen afbeelding van de situatie bijgevoegd, deze moeten de leerlingen zelf maken. Help ze vervolgens een kostenfunctie K(x) op te stellen. Begeleid ze bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel). Laat ze algebraïsch K'(x)=0 oplossen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Terugkijken

Hoe heb je het probleem opgelost?

Kan het anders of zelfs slimmer?

Heb jij de wet van Snellius uit de natuurkunde gebruikt?

Wet van Snellius

De wet van Snellius beschrijft de breking van licht op het grensvlak van twee stoffen volgens de formule: n₁ ⋅ sin(i) = n₂ ⋅ sin(r). Hierin zijn n₁ en n₂ de brekingsindices van de stoffen, is i de hoek van inval en r de hoek van breking (beide gemeten ten opzichte van de normaal).

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking 3a

Klik om de afbeelding te vergroten

Uitwerking met behulp van differentiëren.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking 3b

Klik om de afbeelding te vergroten

Uitwerking met behulp van de Wet van Snellius.

Schat zelf in of het nodig is deze te laten zien en klassikaal te bespreken, of door de leerlingen zelf te laten bekijken of over te slaan.

Alle uitwerkingen zijn ook als los document bij deze les te vinden. 

Vraag

Stel je krijgt op je volgende toets een compleet nieuw, ingewikkeld probleem. Wat doe je?

Ik duik direct in de formules en begin met rekenen.

Ik neem eerst de tijd om het te schetsen en te begrijpen, ook al kost dat tijd.

Ik zoek meteen naar een vergelijkbaar of simpeler probleem om het op te lossen.

Instructie

Gebruik deze vraag om te peilen of leerlingen de kern van de les (eerst denken, dan doen) hebben begrepen. 

Je kunt na de stemming direct bespreken waarom 'A' vaak fout gaat en waarom 'B' en 'C' de kenmerken zijn van een goede ingenieur (en een goede wiskunde B-leerling).

Les 1. Wat is creativiteit?

Gefeliciteerd!

Je hebt geholpen de goedkoopste en kortste kabelroute voor het Quantum Internet te berekenen. 

Nu kun je...

...de 4 fasen van de strategie van Pólya benoemen en toepassen.

...een tekstueel probleem vertalen naar een wiskundig model.

...met behulp van onder andere de afgeleide de optimale waarde berekenen in een technische context.

Les 1. Wat is creativiteit?

Geïnspireerd?

Vond je dit een leuke les? Dan is één van de volgende vervolgopleidingen misschien iets voor jou. 

Bachelor Applied Mathematics (Utwente)

https://www.utwente.nl/onderwijs/bachelor/opleidingen/applied-mathematics/

Bachelor Civiele Techniek (TU Delft)

https://www.tudelft.nl/onderwijs/opleidingen/bachelors/civiele-techniek/bsc-civiele-techniek

Bachelor Applied Physics (TU/e)

https://www.tue.nl/studeren/bachelor-college/bachelor-applied-physics

Les 1. Wat is creativiteit?

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd

Klik hier om naar de vragenlijst voor leerlingen te gaan

Link naar vragenlijst voor leerlingen:

ut.onl/leerling4tu 

Les 1. Wat is creativiteit?

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd

Vragenlijst voor docenten

ut.onl/docent4tu

Link naar vragenlijst voor docenten:

ut.onl/docent4tu

Les 1. Wat is creativiteit?

Check www.4tuschools.nl voor meer inspirerende lessen!

Les 1. Wat is creativiteit?

Pólya, G. (1957). How to solve it.

Schenk, D. (2025, 29 januari). Onderweg naar het internet van de toekomst – tussen Delft en Den Haag is het vorig jaar al getest. NRC.

TU Delft. (2024). Een rudimentaire quantum-netwerkverbinding tussen Nederlandse steden. https://www.tudelft.nl/2024/tu-delft/een-rudimentaire-quantum-netwerkverbinding-tussen-nederlandse-steden. Geraadpleegd op 8 januari 2026.

Bronnen