Hoe scoor je het goedkoopste ticket voor je favoriete artiest?

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 3

Introduction

Wil jij niet te veel betalen voor een concert? Met een beetje wiskunde ontdek je op welke manieren tickets worden aangeboden en hoe jij ervoor kan zorgen dat je het goedkoopste uit bent. In deze les gaan de leerlingen aan de slag met recht evenredige en lineaire verbanden, leren ze het verschil tussen gelijkstellen, substitutie en eliminatie tijdens het oplossen van linaire stelsels en geniet iedereen van het concert zonder teveel betaald te hebben!

Instructions

Voorkennis van leerlingen

De leerlingen hebben kennis van het tekenen van grafieken en oplossen van stelsels. 

Voorbereiding van de docent

• Neem de les een keer door.
• Print de werkbladen uit.
• Zorg voor een laptop voor elke leerling.

Leerdoelen/vaardigheden

• De leerling kan uitleggen wat een recht evenredig en lineair verband is; 
• De leerling kan een lineair stelsel oplossen; 
• De leerling kan bepalen in welke situatie je gelijkstellen, subsitutie of eliminatie kunt toepassen om een stelsel op te lossen.

Aansluiting curriculum

In deze les komen de volgende wiskundige onderwerpen aan bod:

• Vergelijkingen oplossen;
• Recht evenredige verbanden;
• Lineaire verbanden;
• Grafieken tekenen;
• Lineaire stelsels;
• Gelijkstellen;
• Substitutie;
• Eliminatie.

Deze les kan ingezet worden als herhalingsles, nadat het oplossen van stelsels aan bod is gekomen.

Feedback

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

ut.onl/docent4tu

Worksheets

Werkblad - Concertkaartjes.pdf

Ondertitel

Hoe scoor je het goedkoopste ticket voor je favoriete artiest?

Maak gebruik van recht evenredige verbanden en lineaire stelsels

Les 1. Wat is creativiteit?

Informatie voor de docent

Benodigdheden

Iconen

Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan

Toon notities bij elke dia

Navigeren door de les

Download en print het werkblad 

Vergroot een afbeelding

Klik hier

Hotspot met meer informatie

Laptop voor elke leerling

Rekenmachine voor elke leerling

Vooraf

Klik de les een keer goed door en lees de notities bij verschillende dia's. 

De focus van deze les ligt bij het oplossen van lineaire stelsels. 

Aan deze les zijn extra opdrachten toegevoegd om te kunnen oefenen met vergelijkingen en lineaire verbanden. Deze opdrachten zijn momenteel verborgen. Wanneer gewenst, kunnen deze opdrachten zichtbaar gemaakt worden, zodat deze ook in de les meegenomen kunnen worden. Dit is aan de docent om te bepalen. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Leerdoelen

Na deze les...

...kun je uitleggen wat een recht evenredig en lineair verband is; 

...kun je een lineair stelsel oplossen; 

...kun je bepalen in welke situatie je gelijkstellen, subsitutie of eliminatie kunt toepassen om een stelsel op te lossen.

Naar welke concerten ben je al eens geweest?

Les 1. Wat is creativiteit?

Roxy Dekker concert

Roxy Dekker geeft in december een concert in de Ziggo Dome. De kaartjes hiervoor zijn niet goedkoop, dus je moet slim plannen hoe je jouw budget het beste kunt gebruiken. Via TicketPlein kun je op verschillende manieren kaartjes kopen, wat invloed heeft op de prijs en ervaring. Om erachter te komen welke optie het voordeligste is, gaan we aan de slag met vergelijkingen en stelsels. 

Vraag

Kosten van een kaartje

Je zoekt kaartjes via TicketPlein. Je ziet dat je 3 kaartjes kan kopen voor €165,-. Wat is via deze website de prijs per kaartje?

Vraag

Nu willen we totale prijs van de kaartjes van TicketPlein omzetten naar een formule. Welke formule is juist? 

K is hierbij de totale kosten en t het aantal tickets. 

1. K=55t+10
2. K=10t+55
3. t=50K
4. K=55t

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 1

Via TicketPlein kan de prijs van de tickets berekend worden met de volgende formule:               . 

Gebruik het werkblad om deze formule te visualiseren. Doe dit als volgt:

1. Vul de tabel in: gebruik de formule om de totale prijs te berekenen bij de hoeveelheid kaartjes. 
2. Teken de grafiek: zet de coördinaten op het lege assenstelsel en teken de grafiek. 

K=55t

Les 1. Wat is creativiteit?

Recht evenredig

Wanneer we de grafiek van de formule 

tekenen op een assenstelsel, zien we dat de lijn door het punt (0,0) gaat. Dit is logisch: als je 0 kaartjes koopt betaal je ook €0,-. Dit betekent dat de formule een recht evenredig verband is. 

Een recht evenredig verband komt altijd voor in de vorm: y = ax. Hierbij is a de evenredigheidsconstante, die ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd wordt. Verder is y in deze situatie de totale prijs (K) en x het aantal kaartjes (t).

Grafiek van de formule K = 55t

K=55t

Les 1. Wat is creativiteit?

Fanclub tickets

Roxy Dekker heeft een speciale fanclub opgericht voor het concert. Als lid van de fanclub krijg je niet alleen exclusieve informatie over het concert, maar ook korting op je ticket.  

Om bij de fanclub te mogen, moet je eenmalig €30,-contributie betalen die je tegelijk met je tickets afrekent. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Fanclub tickets

Via een vriend(in) hoor je dat je met de kortingscode van de fanclub voor 3 kaartjes €180,- moet betalen. Als jij kijkt, zie je dat je voor 5 kaartjes €280,- moet betalen. 

Wat is de prijs voor 1 kaartje voor het concert? Vul je antwoord in op de volgende slide.

Vraag

Wat is de prijs voor 1 kaartje als 5 kaartjes €280,- kosten en 3 kaartjes €180,- kosten? 

Let op: deze prijs is inclusief de contributie voor de fanclub.

Vraag

Nu willen we de totale prijs van de kaartjes inclusief de fanclub contributie in een formule zetten. Welke formule is juist?

K is hierbij de totale kosten en t het aantal tickets. 

1. K=50t+30
2. K=30t+50
3. K=55t+30
4. K=50t

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 2

Via de fanclub kan de prijs van de tickets berekend worden met de volgende formule:                       .

Gebruik het werkblad om deze formule te visualiseren. Doe dit als volgt:

1. Vul de tabel in: gebruik de formule om de totale prijs te berekenen bij de hoeveelheid kaartjes.
   
2. Teken de grafiek: zet de coördinaten op het assenstelsel en teken de grafiek. 

K=50t+30

Les 1. Wat is creativiteit?

Lineair verband 

Hiernaast zie je de grafiek van de totaalprijs van de tickets via TicketPlein zonder fanclub (blauw) en mét fanclub (oranje). Hier is te zien dat de grafiek van totale prijs met fanclubkorting niet door de oorsprong (0,0) heen gaat. Dit is dus geen evenredig verband. 

Ook kan je zien dat beide grafieken rechte lijnen zijn. In wiskunde noemen we dit een lineair verband. De algemene formule die hier bij hoort, is y = ax + b. In dit geval zou a dan dus de prijs per kaartje zijn, b de fanclub contributie, y is de totale prijs (K) en x is het aantal kaartjes (t).

Grafiek van de formule 

K= 55t en K = 50t + 30

Vraag

Voordat je bestelt vragen 2 vrienden of je ook een kaartje voor hen wilt halen. Je hebt nu dus 7 kaartjes nodig. Laat met een berekening zien of het voordeliger is om lid te worden van de fanclub.

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 3

In de grafiek zie je dat de lijnen elkaar snijden. Dit is het omslagpunt. Vanaf dit punt wordt het goedkoper om bij de fanclub te gaan.

Om met behulp van de formules erachter te komen vanaf welk aantal tickets de fanclub goedkoper is, kun je de formules aan elkaar gelijkstellen. 

Stel de formules aan elkaar gelijk en bereken bij hoeveel tickets de prijs met en zonder gebruik van de fanclub hetzelfde is. Gebruik hiervoor het werkblad. 

Grafiek van de formule

K = 55t en K = 50t + 30

Je kunt de formules aan elkaar gelijkstellen door het volgende te doen:

formule zonder fanclub = formule met fanclub

55t = 50t + 30

Bereken nu de waarde van t. Dit geeft je het aantal tickets waarbij de prijs voor de tickets hetzelfde is voor beide situaties. 

Vraag

Vanaf hoeveel kaartjes is het voordeliger om lid te worden van de fanclub?

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

Uitleg:

Door de formules aan elkaar gelijk te stellen kom je erachter dat t gelijk is aan 6. Dat betekent dat de prijs voor 6 kaartjes hetzelfde is wanneer je deze via TicketPlein of via de fanclub aanschaft. Het maakt bij 6 kaartjes dus nog niet uit waar je de kaartjes aanschaft. Daarom is het vanaf 7 kaartjes voordeliger om de kaartjes via de fanclub aan te schaffen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Wat is een stelsel?

Wanneer de situatie ingewikkelder wordt, heb je niet genoeg aan 1 formule om tot een antwoord te komen. Bij het concert van Roxy Dekker hebben we bijvoorbeeld te maken met 2 voorwaarden tegelijk:

• Hoeveel mensen gaan er mee?
• Wat is het budget?

Ook is het bij het concert van Roxy Dekker mogelijk om een kaartje voor een zitplek en een staplek te kopen. Wanneer je deze formules samenvoegt om een oplossing te vinden, noem je dit een stelsel van vergelijkingen. 

{​x+y=AantalPersonen​(PrijsZitplek)x+(PrijsStaplek)y=Budget​​

In het voorbeeld van het stelsel is x het aantal personen dat een zitplek krijgt en y het aantal personen dat een staplek krijgt. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Stelsels oplossen

Je weet inmiddels hoe je een snijpunt kunt bepalen door de formules gelijk te stellen, maar dat is niet altijd de snelste weg. Als je een stelsel van vergelijkingen krijgt, zijn er ook twee andere manieren om het snijpunt te bepalen:

• Substitutie: Schrijf één van de vergelijkingen in de vorm y = ... of x = ... en vul deze in de andere vergelijking in.

• Eliminatie: Vermenigvuldig beide vergelijkingen slim en tel de vergelijkingen bij elkaar op of trek ze van elkaar af. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Substitutie

Bij gebruik van substitutie schrijf je een van de twee vergelijkingen met 1 term aan de linkerkant. 

Daarna kan je deze formule in de andere vergelijking voegen, waardoor je een vergelijking overhoudt met maar 1 onbekende erin. Deze vergelijking kun je vervolgens oplossen. Vervolgens kun je het antwoord hiervan in een van de gegeven formules stoppen om de andere onbekende uit te rekenen.

Hiernaast zie je een voorbeeld van een stelsel dat met behulp van substitutie wordt opgelost.  

{​y=2x+1​3x+y=10​​

​3x+(2x+1)=10​3x+2x+1=10​5x+1=10​5x=9​x=1​5​​4​​​​y=2⋅1​5​​4​​+1=4​5​​3​​​​

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 4

Hiernaast zie je een stelsel dat je met substitutie kunt oplossen. Bereken zowel de waarde voor x als voor y. Gebruik hiervoor het werkblad. 

{​3x+y=28​y=2x+4​​

Antwoord:

x = 4 4/5

y = 13 3/5

Les 1. Wat is creativiteit?

Eliminatie

Bij gebruik van eliminatie vermenigvuldig je de vergelijkingen, zodat je deze makkelijk bij elkaar op kan tellen of van elkaar af kan halen. 

Hiernaast zie je voorbeeld van een stelsel dat met behulp van eliminatie op twee manieren opgelost kan worden.

{​5x+3y=2​x−6y=5​​

__________

__________

​10x+6y​x−6y​​​​=4​=5+​​

​5x+3y​5x−30y​​​​=2​=25−​​

​​33y=−23​y=−​33​​23​​​​

​​11x=9​x=​11​​9​​​​

onderkant⋅5

bovenkant⋅2

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 5

Hiernaast zie je een stelsel dat je met eliminatie kunt oplossen. Bereken zowel de waarde voor x als voor y. Gebruik hiervoor het werkblad. 

{​6x+4y=32​2x+8y=26​​

Antwoord:

x = 3 4/5

y = 2 3/10

Les 1. Wat is creativiteit?

Kaartjes op budget 

Je gaat tickets kopen voor je ouders, jijzelf en 3 vrienden, waarvoor je €330,- budget hebt gekregen. Bij TicketPlein kun je kiezen voor 2 soorten plekken. Voor een zitplaats (Z) betaal je €65,- en voor een staplaats (S) €55,-. 

Los het stelsel van vergelijkingen op door te berekenen hoeveel staplaatsen en hoeveel zitplaatsen je kan kopen van dit budget. Denk hiervoor eerst na op welke manier je dit stelsel op wilt lossen. Gebruik hiervoor het werkblad.

{​55S+65Z=330​S+Z=6​​

Les 1. Wat is creativiteit?

Antwoord

Dit stelsel kan met alle drie de manieren opgelost worden, maar substitutie is in dit geval het snelst.

Eerst schrijven we de tweede vergelijking om naar de vorm                . Dit kunnen we invullen in de eerste vergelijking:                                    .

Als we deze vergelijking oplossen, komen we uit op Z = 2 en daarmee ook S = 4.

Dus van het budget van €330,- kun je 2 tickets halen voor zitplaatsen en 4 tickets voor staplaatsen.  

{​55S+65Z=330​S+Z=6​​

55(6−Z)+65Z=330

S=6−Z

Alle manieren kunnen gebruikt worden om de deze vraag op te lossen. De vraag is vooral bedoeld om de leerlingen na te laten denken over de handigste manier. Ze kunnen deze vraag het handigste oplossen door gebruik te maken van substitutie, maar een andere methode is niet fout. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Gefeliciteerd!

Nu kun je...

...uitleggen wat een recht evenredig en lineair verband is;

...een lineair stelsel oplossen;

...bepalen in welke situatie je gelijkstellen, subsitutie of eliminatie kunt toepassen om een stelsel op te lossen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Geïnspireerd?

Vond je dit een leuke les? Dan is één van deze vervolgopleidingen misschien iets voor jou: 

Applied Mathematics (Universiteit Twente)

https://www.utwente.nl/onderwijs/bachelor/opleidingen/applied-mathematics/

Technisch Bedrijfskunde (TU Eindhoven)

https://www.tue.nl/studeren/bachelor-college/bachelor-industrial-engineering

Technisch Wiskunde (TU Delft)

https://www.tudelft.nl/onderwijs/opleidingen/bachelors/tw/bsc-technische-wiskunde

Les 1. Wat is creativiteit?

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd

Klik hier om naar de vragenlijst voor leerlingen te gaan

Link naar vragenlijst voor leerlingen: 

ut.onl/leerling4tu 

Les 1. Wat is creativiteit?

De makers van deze les willen graag weten wat je van de les vond. Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst. Heel veel dank!

Feedback gevraagd

Vragenlijst voor docenten

ut.onl/docent4tu

Link naar vragenlijst voor docenten:

ut.onl/docent4tu

Les 1. Wat is creativiteit?

Check www.4tuschools.nl voor meer inspirerende lessen!

Les 1. Wat is creativiteit?

vwo 3 | Math4All. (z.d.). https://www.math4all.nl/overzichten/vwo-3/6

Bronnen