H7

H7 - Meetkunde met coördinaten

1 / 70

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

This lesson contains 70 slides, with text slides.

Lesson duration is: 80 min

Items in this lesson

H7 - Meetkunde met coördinaten

Slide 1 - Slide

7.1 - Lijnen en hoeken

Slide 2 - Slide

7.1 - Leerdoelen

Ik kan van twee lijnen bepalen of zij strijdig (parallel), afhankelijk (samenvallen) of onafhankelijk (snijden) zijn.
Ik kan de vergelijking van een lijn uitdrukken in een assenvergelijking.
Ik kan de richtingshoek van een lijn berekenen.
Ik kan de hoek tussen twee lijnen berekenen.

Slide 3 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Gegeven zijn de lijnen:

l: 2x + 4y = = 15

k: 4x - 2y = 11

Deze lijnen hebben een snijpunt.

Hoe bereken ik de coördinaten van het snijpunt?

Slide 4 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Gegeven zijn de lijnen: Gegeven zijn de lijnen:

p: 6x - 4y = = 26 r: 2x + 3y = = -3

q: 3x - 2y = 13 s: 8x + 12y = 5

(Waar) snijden de lijnen p en q? (Waar) snijden de lijnen r en s?

Slide 5 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Er zijn drie mogelijke opties:

- De lijnen snijden elkaar in een punt --> onafhankelijk (één opl.)

- De lijnen vallen samen --> afhankelijk (∞ opl.)

- De lijnen lopen evenwijdig (parallel) --> strijdig (geen opl.)

Slide 6 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Stel, je hebt twee lijnen met de algemene vergelijking:

k: ax + by = c

l: px + qy = r

1. Als geldt:

Dan zijn de twee lijnen afhankelijk (en vallen ze samen)

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ q ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ r ​}

Slide 7 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

2. Als geldt:

Dan zijn de twee lijnen strijdig (en lopen ze evenwijdig)

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ q ​}

\neq \frac{​ c ​ ​}{​ r ​}

Slide 8 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

3. Als geldt:

Dan zijn de twee lijnen onafhankelijk (en snijden ze elkaar)

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} \neq \frac{​ b ​ ​}{​ q ​}

Slide 9 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Zelf proberen:

Gegeven zijn de lijnen l, k en m , onderzoek voor elke combinatie of de lijnen onafhankelijk, afhankelijk of strijdig zijn (gebruik de algemene formule)

l: 2y - 4x = -8

k: 2x + 3x - 6 = 0

m: 5y +24 = 10x

Slide 10 - Slide

7.1A - Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

l: 2y - 4x = -8

k: 2x + 3x - 6 = 0

m: 5y +24 = 10x

l en k zijn onafhankelijk

l en m zijn strijdig

k en m zijn onafhankelijk

Slide 11 - Slide

7.1B - De assenvergelijking van een lijn

Stel we hebben een vergelijking in de algemene vorm:

k: ax + by = c

bijvoorbeeld

Slide 12 - Slide

7.1B - De assenvergelijking van een lijn

Stel we hebben een vergelijking in de algemene vorm:

k: ax + by = c

bijvoorbeeld

k: 4x - 3y = 8

Hoe vind ik dan de snijpunten met de x-as en de y-as?

Slide 13 - Slide

7.1B - De assenvergelijking van een lijn

Nu andersom.

Stel ik heb een lijn die de x-as snijdt in (3,0) en de y-as in (0,8). Wat is een vergelijking van de lijn?

Slide 14 - Slide

7.1B - De assenvergelijking van een lijn

Je kunt dit sneller doen door een assenvergelijking op te stellen:

assenvergelijking:

\frac{​ x ​ ​}{​ a ​} + \frac{​ y ​ ​}{​ b ​} = 1

Slide 15 - Slide

7.1B - De assenvergelijking van een lijn

Je kunt dit sneller doen door een assenvergelijking op te stellen:

assenvergelijking:

Waarbij de lijn de x-as snijdt in (a , 0) en de y-as in (0, b)

Let op dat en

Hierna kun je de lijn nog omschrijven naar elke gewenste vorm.

\frac{​ x ​ ​}{​ a ​} + \frac{​ y ​ ​}{​ b ​} = 1

a \neq 0

b \neq 0

Slide 16 - Slide

7.1 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.1

7.1A: 3 ,4, 5
7.1B: 7, 8, 9, 10
7.1C: 14, 15, 16

Slide 17 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Zie hiernaast de lijn l:

Elke lijn heeft naast een richtings-

coëfficient (rc) ook een richtingshoek.

y = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} x - 1

Slide 18 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Zie hiernaast de lijn k:

De richtingshoek is de hoek waarmee

je de lijn moet draaien om hem op de

x-as te leggen.

Hoe bereken je dit?

y = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} x - 1

Slide 19 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Voor de richtingshoek α van

een lijn k geldt:

^{tan(α) = rc}_k

oftewel:

^{α = arctan (rc}_k⁾

Slide 20 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Zie hiernaast de lijnen:

Bereken de hoek φ die p en q met

elkaar maken.

y = 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x - 1

y = - 3 x + 6

Slide 21 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Afspraak: voor de hoek tussen

twee lijnen kiezen we φ altijd zo dat

geldt:

90° ≥ φ ≥ 0°

Je neemt dus altijd de 'kleinste' hoek

Slide 22 - Slide

7.1C - De hoek tussen twee lijnen

Je mag dit ook uit je hoofd leren,

maar dit is niet verplicht.

Maak altijd een schets!

Slide 23 - Slide

7.1 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.1

7.1A: 3 ,4, 5
7.1B: 7, 8, 9, 10
7.1C: 14, 15, 16

Slide 24 - Slide

7.2 - Afstanden bij punten en lijnen

Slide 25 - Slide

7.2 - Leerdoelen

Ik kan de afstand uitrekenen tussen twee punten
Ik kan de afstand uitrekenen tussen een punt en een lijn, met de loodrechte projectie
Ik kan de afstandsformule gebruiken om de afstand tussen een punt en een lijn te berekenen

Slide 26 - Slide

7.2A - Afstand tussen twee punten

Zie de punten A en B

Wat is de afstand tussen A en B?

Slide 27 - Slide

7.2A - Afstand tussen twee punten

Algemene formule, voor de afstand tussen twee punten:

geldt:

A (x^{​ A ​ ​}, y^{​ A ​ ​})

B (x^{​ B ​ ​}, y^{​ B ​ ​})

= \sqrt ​ (x^{​ B ​ ​} - x^{​ A ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y^{​ B ​ ​} - y^{​ A ​ ​})^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 28 - Slide

7.2A - Afstand tussen twee punten

Tussen twee punten loopt ook een lijn

Het midden van het lijnstuk (punt M) ligt

halverwege:

A (x^{​ A ​ ​}, y^{​ A ​ ​})

B (x^{​ B ​ ​}, y^{​ B ​ ​})

x^{​ M ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (x^{​ B ​ ​} + x^{​ A ​ ​})

y^{​ M ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (y^{​ A ​ ​} + y^{​ B ​ ​})

Slide 29 - Slide

7.2 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.2

7.2A: 18 t/m 21
7.2B: 25 t/m 29
7.2C: 32 t/m 37

Slide 30 - Slide

7.2B - Afstand van een punt tot een lijn

Slide 31 - Slide

7.2B - Afstand van een punt tot een lijn

Afstand van het punt tot de lijn bepalen:

Stel de vergelijking op van de lijn door punt A, die lijn l loodrecht snijdt.
Vind het snijpunt van deze twee lijnen. Dit is de loodrechte projectie.
Bereken de afstand van punt A tot het snijpunt (Pythagoras)

Slide 32 - Slide

7.2 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.2

7.2A: 18 t/m 21
7.2B: 25 t/m 27, 29
7.2C: 33 t/m 37

Slide 33 - Slide

7.2C - De afstandsformule

De afstandsformule kun je gebruiken om in één keer de afstand van een punt tot een lijn te vinden. Zo sla je de stap van de loodrechte projectie over.

Slide 34 - Slide

7.2C - De afstandsformule

d(P,k) = afstand van punt P naar lijn k

punt

lijn k: ax + by = c

P : (x^{​ P ​ ​}, y^{​ P ​ ​})

Slide 35 - Slide

7.2C - De afstandsformule

d(P,k) = afstand van punt P naar lijn k

punt

lijn k: ax + by = c

Let goed op wat je waar invult:

a, b, en c komen van de lijn xp en yp komen van het punt

P : (x^{​ P ​ ​}, y^{​ P ​ ​})

Slide 36 - Slide

7.2C - De afstandsformule

Voorbeeldopgave:

Men heeft het punt P: (7, -1) en

de lijn k: 2x + 5y = 18

Wat is de afstand van P tot k?

Rond af op 2 decimalen.

Slide 37 - Slide

7.2 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.2

7.2A: 18 t/m 21
7.2B: 25 t/m 27 en 29
7.2C: 33 t/m 37

Slide 38 - Slide

7.3 - Cirkelvergelijkingen

Slide 39 - Slide

7.3 - Leerdoelen

Ik kan berekeningen uitvoeren aan afstanden tussen cirkels en lijnen
Ik kan een cirkelvergelijking omschrijven naar de vorm
(x-x_m)² + (y-y_m)² = r²

Slide 40 - Slide

7.3A - Cirkels

Wat is een cirkel?

Slide 41 - Slide

7.3A - Cirkels

Wat is een cirkel?

= alle punten met dezelfde

afstand tot een bepaald punt.

Slide 42 - Slide

7.3A - Cirkels

Wat is een cirkel?

= alle punten met dezelfde

afstand tot een bepaald punt.

De afstand noemen we de ....

Het punt noemen we het ....

Slide 43 - Slide

7.3A - Cirkels

Wat is een cirkel?

= alle punten met dezelfde

afstand tot een bepaald punt.

De afstand noemen we de straal (r)

Het punt noemen we het middelpunt (M)

Slide 44 - Slide

7.3A - Cirkelvergelijkingen

Dus we weten:

d(M,c) = r

en voor een punt tot een lijn geldt ook:

d(M,c) =

\sqrt ​ (x - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 45 - Slide

7.3A - Cirkelvergelijkingen

dus = r

kwadrateren geeft:

= r²

Dit is de cirkelvergelijking

\sqrt ​ (x - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

(x - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​}

Slide 46 - Slide

7.3A - Cirkelvergelijkingen

Belangrijk om te realiseren:

Elke raaklijn aan een cirkel staat

loodrecht op de lijn MA (MA ⊥ k)

A is het raakpunt

Dan is d(M,k) = r

Zo kun je de afstand van het middelpunt tot de lijn vinden.

Slide 47 - Slide

7.3 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.3

7.3A: 40 t/m 43 en 49
7.3B: 53 t/m 55

Slide 48 - Slide

7.3B - Cirkelvergelijkingen in andere vorm

Je kunt cirkelvergelijkingen ook in een andere vorm tegenkomen:

Hieruit valt niet direct het middelpunt en de straal af te leiden.

Je zult deze vergelijking dus moeten omschrijven.

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} + a x + b y + c = 0

Slide 49 - Slide

7.3B - Cirkelvergelijkingen in andere vorm

voorbeeld: Gegeven is de cirkel:

Bereken exact de coördinaten van het middelpunt en de straal van c

1. Omschrijven d.m.v. kwadraatafsplitsen

2. Middelpunt en straal afleiden

c : x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} - 8 x - 6 y + 16 = 0

Slide 50 - Slide

7.3B - Cirkelvergelijkingen in andere vorm

Middelpunt: (4 , 3)

Straal: = 3

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} - 8 x - 6 y + 16 = 0

(x - 4)^{​ 2 ​ ​} + (y - 3)^{​ 2 ​ ​} = 9

\sqrt ​ 9 ​ ​ ​

Slide 51 - Slide

7.3B - Cirkelvergelijkingen in andere vorm

Gegeven is de cirkel c:

En de lijn l:

Zelf proberen:
1. Bereken d(MP,l) wanneer d = -6. Leg vervolgens, met dit antwoord, uit of c en l elkaar niet raken / raken / snijden

2. Bereken exact alle waarden van d waarvoor de cirkel en de lijn elkaar raken.

x^{​ 2 ​ ​} - 2 x + y^{​ 2 ​ ​} + 12 y + 18 = 0

- 2 x + 4 y = d

Slide 52 - Slide

7.3B - Cirkelvergelijkingen in andere vorm

Slide 53 - Slide

7.3 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.3

7.3A: 40 t/m 43 en 49
7.3B: 53 t/m 55

Slide 54 - Slide

7.4 - Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Slide 55 - Slide

7.4 - Leerdoelen

Ik kan de afstand berekenen tussen een cirkel en een punt
Ik kan de vergelijking opstellen voor een raaklijn aan een cirkel (in een bepaald punt)

Slide 56 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

Stel ik heb de cirkel c₁:

En het punt A

Hoe bereken je de afstand

tussen de cirkel en A?

Slide 57 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

d(A,c) = d(A,M) - r

Slide 58 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

Nu is het punt B ook

gegeven.

B ligt binnen de cirkel.

Hoe bereken je de afstand

tussen de cirkel en B?

Slide 59 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

d(B,c) = r - d(B,M)

Slide 60 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

Gegeven is

Bereken nu d(A,c) en d(B,c).

Rond af op één decimaal

Slide 61 - Slide

7.4A - Afstand van een cirkel tot een punt

r = 4

M = (3, -4)

d(A,M)=

d(A,c) = ≈ 2,3

d(B,M) =

d(B,c) = ≈ 2,6

\sqrt ​ 36 + 4 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 40 ​ ​ ​

\sqrt ​ 40 ​ ​ ​ - 4

\sqrt ​ 1 + 1 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

4 - \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 62 - Slide

7.4 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.3

7.4A: 58, 60 t/m 63
7.4B: 67 t/m 69
7.4C: 73 t/m 75

Slide 63 - Slide

7.4B - Raaklijn aan een cirkel opstellen

Gegeven is de cirkel c₁:

En het punt A: (9,4)

Hoe stel je de raaklijn op aan

de cirkel in het punt A?

Slide 64 - Slide

7.4B - Raaklijn aan een cirkel opstellen

c1:

A: (9,4)

1. Lijn opstellen van M naar A

2. Rc bepalen (raaklijn staat ⟂

hierop)

3. Vergelijking opstellen door punt in te vullen.

Slide 65 - Slide

7.4 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.3

7.4A: 58, 60 t/m 63
7.4B: 67 t/m 69
7.4C: 73 t/m 75

Slide 66 - Slide

7.4C - Raaklijn aan een cirkel deel 2

Soms heeft een cirkel meerdere

raaklijnen die door hetzelfde punt gaan.

Zoals in onderstaande opgave:

Slide 67 - Slide

7.4C - Raaklijn aan een cirkel deel 2

1. Schrijf de cirkelvergelijking naar de andere vorm

2. De raaklijnen hebben de algemene vergelijking k: y = ax+b

3. Je hebt het punt (1,1). Vul deze in k, druk b uit in a

4. Gebruik de afstandsvergelijking voor d(M,k) en los op voor a

5. Vul a in k: y = ax+b en los op voor b met het punt (1,1)

Slide 68 - Slide

7.4C - Raaklijn aan een cirkel deel 2

1. Schrijf de cirkelvergelijking naar de andere vorm

2. De raaklijnen hebben de algemene vergelijking k: y = ax+b

3. Je hebt het punt (1,1). Vul deze in k, druk b uit in a

4. Gebruik de afstandsvergelijking voor d(M,k) en los op voor a

5. Vul a in k: y = ax+b en los op voor b met het punt (1,1)

Slide 69 - Slide

7.4 - Zelfwerkzaamheid

Opgaven van 7.3

7.4A: 58, 60 t/m 63
7.4B: 67 t/m 69
7.4C: 73 t/m 75

Slide 70 - Slide

H7

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Slide 40 - Slide

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Slide

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide

Slide 45 - Slide

Slide 46 - Slide

Slide 47 - Slide

Slide 48 - Slide

Slide 49 - Slide

Slide 50 - Slide

Slide 51 - Slide

Slide 52 - Slide

Slide 53 - Slide

Slide 54 - Slide

Slide 55 - Slide

Slide 56 - Slide

Slide 57 - Slide

Slide 58 - Slide

Slide 59 - Slide

Slide 60 - Slide

Slide 61 - Slide

Slide 62 - Slide

Slide 63 - Slide

Slide 64 - Slide

Slide 65 - Slide

Slide 66 - Slide

Slide 67 - Slide

Slide 68 - Slide

Slide 69 - Slide

Slide 70 - Slide

More lessons like this

Meetkunde met coördinaten

Wis B H6:Afstand van een punt tot een lijn

H7.1 tm 7.3 Herhalen

Herhaling H2

wisB G&R H8 les 9

wisB G&R H8 les 12

Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7 vanaf cirkels