Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7 vanaf cirkels

Cirkelvergelijking herschrijven
Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

  • Herschrijven tot:



Zodat je weet: M(2,4) en straal r =
x24x+y28y+10=0
(x2)24+(y4)216+10=0
(x2)2+(y4)2=10
10
1 / 14
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 5

This lesson contains 14 slides, with interactive quizzes and text slides.

time-iconLesson duration is: 121 min

Items in this lesson

Cirkelvergelijking herschrijven
Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

  • Herschrijven tot:



Zodat je weet: M(2,4) en straal r =
x24x+y28y+10=0
(x2)24+(y4)216+10=0
(x2)2+(y4)2=10
10

Slide 1 - Slide

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?
  • Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
  • bereken d(A,M)
  • vergelijk d(A,M) met de straal
         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel
         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel
         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Slide 2 - Slide

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?
x2+y22x+6y=26
A
buiten
B
binnen
C
op

Slide 3 - Quiz

Uitwerking



      dus M(1,-3) en straal=6
  •     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

  •  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
x2+y22x+6y=26
(x1)21+(y+3)29=26
(x1)2+(y+3)2=36
(23)2+(61)2507,07

Slide 4 - Slide

Cirkels en raaklijnen
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Slide 5 - Slide

Raaklijnprobleem 1
Stel vgl op van c met M(xm, ym) die lijn k raakt
  • Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

  • stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
  • bereken snijpunt m en k (S)
  • r =d(M,k) = d(M,S)
(xxm)2+(yym)2=r2

Slide 6 - Slide

Raaklijnprobleem 2
Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B
  • Bereken rc van de lijn k door M en B
      rck=

  •  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt
       bereken hiermee rcl=a
  • Bereken b door B in te vullen.
(xBxM)(yByM)
rclrck=1

Slide 7 - Slide

Raaklijnprobleem 3
Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.
- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie
- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 
waarvan je discriminant D kunt berekenen
- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b
ax2+bx+c=0
D=b24ac

Slide 8 - Slide



De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.
c1x2+y2=16
c2x210x+y2+16=0

Slide 9 - Open question

Uitwerking
  • De straal r1 van c1 is 4


       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3
  • In OAM geldt
  • Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden

x210x+y2+16=0
(x5)225+y2+16=0
(x5)2+y2=9
OA2+AM2=OM2want42+32=52

Slide 10 - Slide

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

Slide 11 - Open question

Cirkels en afstanden
  • Afstand punt A tot cirkel c met M en r
        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r
  •  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  
        middelpunt N
        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Slide 12 - Slide

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Slide 13 - Open question

Uitwerking

Slide 14 - Slide