Demostraciones directas

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Demostraciones directas

¿Qué son?

$$(P\wedge (P\to Q))\to Q$$

Si P es cierto, y demostramos que P implica a Q, entonces Q es cierto.

Ejemplo

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Si sumamos el seno cuadrado y el coseno cuadrado del mismo ángulo entonces el resultado es 1

Ejemplo

• Vamos a eliminar el resultado y buscar como llegar a ese "1"

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=?$$

Ejemplo

• Para las demostraciones necesitamos usar conocimientos ya conocidos

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=?$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=(\frac{co}{h}{)}^2+(\frac{ca}{h}{)}^2$$

Ejemplo

• Para las demostraciones necesitamos usar conocimientos ya conocidos

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=?$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=(\frac{co}{h}{)}^2+(\frac{ca}{h}{)}^2$$

$$(\frac{co}{h}{)}^2+(\frac{ca}{h}{)}^2=\frac{c{o}^2}{h^2}+\frac{c{a}^2}{h^2}=\frac{c{o}^2+c{a}^2}{h^2}$$

Ejemplo

• ¿Recuerdan el teorema de pitágoras?

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=?$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=\frac{c{o}^2+c{a}^2}{h^2}$$

$$h^2=c{o}^2+c{a}^2$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=\frac{h^2}{h^2}$$

Ejemplo

• La división de dos términos iguales es 1

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=?$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=\frac{h^2}{h^2}$$

$$h^2=c{o}^2+c{a}^2$$

$$se{n}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Ejemplo

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

Ejemplo

Toda ecuación de segundo grado es

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Nuestra implicación se podría representar como:

$$a{x}^2+bx+c=0\to x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo

Intentemos despejar "x"

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}$$

Ejemplo

Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}$$

Ejemplo

Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$$

Ejemplo

Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP

$$a{x}^2+bx+c=0\to x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to (x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Ejemplo

Una vez completo el trinomio cuadrado despejamos la x

$$a{x}^2+bx+c=0\to (x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to (x+\frac{b}{2a})=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to (x+\frac{b}{2a})=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo

Una vez completo el trinomio cuadrado despejamos la x

$$a{x}^2+bx+c=0\to (x+\frac{b}{2a})=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to x=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$$

$$a{x}^2+bx+c=0\to x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo

$$2=1$$

Esta demostración se hace al comprobar que si un número es 2, entonces debe de valer 1

Ejemplo

$$2=1\to a=b$$

$$a^2=a\cdot b$$

Multiplicamos por a ambos términos

$$a^2-b^2=a\cdot b-b^2$$

Restamos b^2 de ambos lados

Ejemplo

$$a^2-b^2=ab-b^2$$

$$(a+b)(a-b)=(a-b)b$$

Factorizamos

$$\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)}=b$$

Despejamos "b" del lado izquierdo

Ejemplo

Simplificamos

$$\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)}=b$$

como a y b son iguales:

$$(a+b)=b$$

$$b+b=b\to 2b=b\to 2=1$$

¡TODAS NUESTRAS OPERACIONES DEBEN DE SER CIERTAS!

Donde está el error:

Como a y b son iguales:

$$\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)}=b$$

Cero entre cero no está definido por lo que no se puede simplificar.

$$\frac{(a+b)(0)}{(0)}=b$$