Interest en waarde (Bedrijfseconomie vwo), les 1: Uitleg

• New lesson editor
• Bedrijfseconomie
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitleg over enkelvoudige en samengestelde interest, eindwaarde en contante waarde van een bedrag en van een reeks gelijke bedragen (syllabus 11.2.6-11.2.9). 3 blokken met checks en 1 exit. De somformule staat in het examen, de rest moeten leerlingen kennen.

Euromunten en eurobiljetten

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Interest en waarde

Examenstof bedrijfseconomie vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: B1 11.2.6-11.2.9. Image credit: Avij / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Wat ga je kunnen?

Ik kan interest, eindwaarde en contante waarde berekenen van een bedrag en van een reeks gelijke bedragen.

Je krijgt € 10.000, nu of over 5 jaar. Welke woorden horen daarbij?

Syllabus 11.2.6-11.2.9: verwachte woorden zijn interest, rente, sparen, tijd, waarde, inflatie, rendement, zekerheid. Koppel ze aan de les: interest en tijd horen bij blok 1, 'nu of later' bij contante waarde en eindwaarde in blok 2. Inflatie en rendement zijn geen onderdeel van dit onderwerp, noteer ze en laat ze staan.

Spaarpotten als kip, Indonesië. Foto: Undeka 11, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Interest en beginkapitaal

• Interest is de vergoeding die je krijgt voor geld dat een ander een tijd mag gebruiken.

• Het bedrag waarmee je begint noemen we hier het beginkapitaal (K0). De syllabus zegt kapitaal.

• Het interestpercentage (i) zegt hoeveel interest je per jaar krijgt, bijvoorbeeld 3%.

• Interest kun je op twee manieren berekenen. Dat verschil is de kern van deze les.

Syllabus 11.2.6: voorbereiding op het verschil tussen enkelvoudige en samengestelde interest. Gebruik in deze les steeds 'interestpercentage per jaar'. Veelgemaakte fout: i invullen als 3 in plaats van 0,03 in een formule. Image credit: Undeka 11 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Spaarboekje van een Amerikaanse bank, 1953

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Enkelvoudige interest

• Bij enkelvoudige interest reken je elk jaar alleen over het beginkapitaal.

• Interest = beginkapitaal x interestpercentage x aantal jaren, dus I = K0 x i x n.

• Voorbeeld: € 4.000 tegen 3% gedurende 5 jaar geeft € 4.000 x 0,03 x 5 = € 600 interest.

• De interest is elk jaar even groot: het saldo groeit in een rechte lijn.

Syllabus 11.2.6 en 11.2.7. Reken door: € 4.000 x 0,03 = € 120 per jaar, 5 jaar is € 600. Het saldo na 5 jaar is € 4.600 (beginkapitaal plus interest). Veelgemaakte fout: interest en eindsaldo door elkaar halen. Image credit: Onbekende maker / Wikimedia Commons, publiek domein

Klanten bij het loket van een bank, Brisbane, 1940

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Samengestelde interest

• Bij samengestelde interest krijg je ook interest over eerder bijgeschreven interest.

• Het saldo groeit elk jaar met 1 + i, bij 6% met 1,06. Hulpterm in deze les: groeifactor.

• € 2.000 bij 6% voor 3 jaar: enkelvoudig € 2.360, samengesteld € 2.000 x 1,06^3 = € 2.382,03.

• Samengesteld groeit steeds sneller, enkelvoudig steeds even snel.

Syllabus 11.2.6. Reken na: 1,06^3 = 1,191016, maal € 2.000 is € 2.382,03. Enkelvoudig: € 2.000 + 3 x € 120 = € 2.360. Het verschil van € 22,03 is interest over interest. Groeifactor is een hulpterm van de les, geen syllabusbegrip. Image credit: Queensland Newspapers / State Library of Queensland via Wikimedia Commons, publiek domein

Saldo na 1, 2 en 3 jaar: € 1.050, € 1.100, € 1.150. Start € 1.000. Welke interest?

A

Samengesteld, 5% per jaar

B

Samengesteld, 10% per jaar

C

Enkelvoudig, 5% over het beginkapitaal

D

Enkelvoudig, 15% over het beginkapitaal

Het saldo stijgt elk jaar met € 50, steeds 5% van € 1.000: enkelvoudig. Bij samengesteld 5% zou jaar 2 op € 1.102,50 uitkomen. Verwachte fout: 'samengesteld' kiezen omdat het saldo stijgt, of 15% omdat dat het totaal is.

Vul in

Bij 4% interest is de groeifactor 1,04. Bij samengestelde interest vermenigvuldig je het saldo elk jaar met die factor; bij enkelvoudige interest tel je elk jaar dezelfde interest erbij.

1,04

vermenigvuldig

enkelvoudige

0,04

deel

Syllabus 11.2.6. Verwachte fout: 0,04 als groeifactor (dat is alleen de interest).

Zakrekenmachine, ca. 1977. Foto: Joe Haupt, CC BY-SA 2.0

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Eindwaarde van een bedrag

• De eindwaarde is wat een kapitaal aan het einde van de looptijd waard is, inclusief interest.

• Eindwaarde = beginkapitaal x (1 + i)^n. Deze formule krijg je niet in het examen: ken hem.

• Voorbeeld: € 8.000, 3,5% samengesteld, 6 jaar: € 8.000 x 1,035^6 = € 9.834,04.

• Schattingscontrole: de eindwaarde is altijd groter dan het beginkapitaal.

Syllabus 11.2.8. Reken na: 1,035^6 = 1,229255, maal € 8.000 is € 9.834,04. Tik op de rekenmachine eerst de macht, dan maal. Veelgemaakte fout: 8.000 x 1,035 x 6 (enkelvoudig denken). Image credit: Joe Haupt / Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Contante waarde van een bedrag

• De contante waarde is wat een bedrag dat je later krijgt of betaalt nu waard is.

• Contante waarde = bedrag later / (1 + i)^n: je deelt in plaats van te vermenigvuldigen. Ook deze formule ken je zelf.

• Voorbeeld: € 15.000 over 4 jaar bij 2,5%: € 15.000 / 1,025^4 = € 13.589,26.

• Eindwaarde en contante waarde zijn elkaars omgekeerde: dezelfde factor, de andere kant op.

• Schattingscontrole: de contante waarde is altijd kleiner dan het bedrag later.

Syllabus 11.2.8. Reken na: 1,025^4 = 1,103813, € 15.000 / 1,103813 = € 13.589,26. Veelgemaakte fout: eindwaarde en contante waarde omdraaien, dus vermenigvuldigen bij terugrekenen.

Klantenbalie in een bankkantoor, Brisbane, 1953

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Bedragen in de tijd vergelijken

• Bedragen uit verschillende jaren vergelijk je pas als je ze naar hetzelfde moment brengt.

• Zet de bedragen op een tijdlijn en kies een moment om te vergelijken, meestal nu.

• € 20.000 nu of € 23.000 over 3 jaar bij 4%? De contante waarde van € 23.000 is € 20.446,92.

• Wachten levert nu gerekend iets meer op, want € 20.446,92 is meer dan € 20.000.

Syllabus 11.2.8. Reken na: 1,04^3 = 1,124864, € 23.000 / 1,124864 = € 20.446,92. Laat leerlingen ook de eindwaarde van € 20.000 over 3 jaar uitrekenen (€ 22.497,28): dezelfde conclusie op een ander moment. Image credit: Queensland Newspapers / State Library of Queensland via Wikimedia Commons, publiek domein

Zet de stappen van de contante waarde op volgorde

1

Bepaal de groeifactor 1 + i

2

Neem de groeifactor tot de macht 3

3

Controleer: uitkomst kleiner dan het bedrag later

4

Deel het bedrag later door die uitkomst

Syllabus 11.2.8. Verwachte fout: delen en machtsverheffen omdraaien.

De contante waarde van € 5.000 over 4 jaar bij 3% is € 4.442,44. Wat betekent dat?

A

Over 4 jaar ontvang je € 4.442,44 aan interest

B

Met € 4.442,44 nu wordt het over 4 jaar € 5.000

C

€ 5.000 nu is over 4 jaar € 4.442,44 waard

D

Het beginkapitaal is € 5.000, de eindwaarde € 4.442,44

Reken na: 1,03^4 = 1,125509 en € 5.000 / 1,125509 = € 4.442,44. Verwachte fout: de richting van eindwaarde en contante waarde omdraaien.

Euromunten en eurobiljetten

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Een reeks gelijke bedragen

• Een reeks gelijke bedragen is een rij even grote stortingen of betalingen, steeds een jaar na elkaar.

• We rekenen eerst met bedragen aan het einde van elk jaar.

• Voor de eindwaarde staat elk bedrag een ander aantal jaren weg, dus tel je elk bedrag apart.

• € 1.000 per jaar, 3 jaar, 5%: € 1.000 x 1,05^2 + € 1.000 x 1,05 + € 1.000 = € 3.152,50.

Syllabus 11.2.9. Reken na: 1.102,50 + 1.050 + 1.000 = 3.152,50. Het eerste bedrag staat 2 jaar weg, het laatste 0 jaar (het wordt aan het einde gestort). Veelgemaakte fout: het laatste bedrag ook nog met (1 + i) vermenigvuldigen. Image credit: Avij / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

De somformule gebruiken

• De bedragen vormen een meetkundige reeks: elke term is een vaste factor maal de term ervoor.

• Somformule (wordt in het examen gegeven): som = a x (1 - r^n) / (1 - r), met a de eerste term, r de reden en n het aantal termen.

• Eindwaarde: a = het bedrag B en r = 1 + i. Dat geeft EW = B x ((1 + i)^n - 1) / i.

• Contante waarde: a = B / (1 + i), r = 1 / (1 + i), dus CW = B x (1 - (1 + i)^-n) / i. Die twee krijg je niet: leid ze af.

• Voorbeeld: € 2.000 per jaar, 5 jaar, 3%: CW = € 2.000 x (1 - 1,03^-5) / 0,03 = € 9.159,41.

Syllabus 11.2.9 en Bijlage 4: de somformule wordt in de examenopgave gegeven, leerlingen moeten hem kunnen gebruiken (a, r en n kiezen). Controle voorbeeld: 1,03^-5 = 0,862609, (1 - 0,862609) / 0,03 = 4,579707, maal € 2.000 is € 9.159,41. Afleiding CW: a / (1 - r) = (B / (1 + i)) / (i / (1 + i)) = B / i. Veelgemaakte fout: r = i of r = 0,03. De uitgewerkte formules voor EW en CW van een reeks staan niet in Bijlage 4 en worden niet gegeven: leerlingen halen ze uit de somformule of leren ze.

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Begin of einde van het jaar

• Staat er een bedrag aan het begin van het jaar, dan staat het een jaar langer weg dan aan het einde.

• Eindwaarde en contante waarde zijn dan allebei (1 + i) keer zo groot als bij bedragen aan het einde.

• Voorbeeld: € 1.000 per jaar, 3 jaar, 5%: einde jaar € 3.152,50, begin jaar € 3.152,50 x 1,05 = € 3.310,13.

• Is de eindwaarde gegeven en zoek je het bedrag B, los de formule dan op: B = EW x i / ((1 + i)^n - 1).

• Lees dus altijd of de tekst begin of einde van het jaar noemt.

Syllabus 11.2.9. Reken na: 3.152,50 x 1,05 = 3.310,125, afgerond € 3.310,13. Het oplossen naar B komt uit de eindwaardeformule door beide kanten met i te vermenigvuldigen en te delen door ((1 + i)^n - 1). Veelgemaakte fout: het woord 'begin' over het hoofd zien.

Je stort aan het einde van jaar 1, 2 en 3. Hoe lang telt storting 1 mee?

A

3 jaar, want er zijn drie stortingen

B

1 jaar, want je stort per jaar

C

0 jaar, want je stort achteraf

D

2 jaar, tot het einde van jaar 3

Storting 1 staat aan het einde van jaar 1 op rekening en blijft tot het einde van jaar 3: 2 jaar. Verwachte fout: n kiezen in plaats van n - 1.

Vul in

Bij de eindwaarde van een reeks is de reden r gelijk aan 1 + i, bij de contante waarde is r gelijk aan 1 / (1 + i) en n is het aantal bedragen in de reeks.

1 + i

1 / (1 + i)

bedragen

i

1 - i

Syllabus 11.2.9. Verwachte fout: r gelijk aan i.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Enkelvoudig of samengesteld herkennen

2

Contante waarde: terugrekenen

3

Een reeks gelijke bedragen

4

De somformule gebruiken

Kijk welk blok het meest wordt gekozen en herhaal dat deel.

Waarom is € 100 nu meer waard dan later?

Een goed antwoord noemt dat je met € 100 nu interest kunt krijgen, zodat het over drie jaar meer is dan € 100. Verwachte fout: 'door inflatie', dat is geen onderdeel van dit onderwerp.

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Begrippen (1/2)

• interest: vergoeding voor het mogen gebruiken van geld

• beginkapitaal: hulpterm in deze les: het kapitaal waarmee je begint

• enkelvoudige interest: interest alleen over het beginkapitaal

• samengestelde interest: interest ook over eerder bijgeschreven interest

• groeifactor: hulpterm in deze les: 1 + i, de factor waarmee het saldo per jaar groeit

EXAMENSTOF · FINANCIEEL · INTEREST

Begrippen (2/2)

• eindwaarde: waarde van een kapitaal of reeks aan het einde van de looptijd

• contante waarde: waarde nu van een bedrag of reeks in de toekomst

• reeks gelijke bedragen: even grote bedragen, steeds een jaar na elkaar

• meetkundige reeks: reeks waarin elke term een vaste factor maal de vorige is

• somformule: a x (1 - r^n) / (1 - r), wordt in het examen gegeven