Krachten ontbinden (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitleg over krachten als vectoren: samenstellen en ontbinden met sin en cos, zwaartekracht en schuifwrijving op een helling, evenwicht met touwen, de eerste en derde wet van Newton en het begrip gewicht. Vwo, syllabus C1.3, C1.4 en C1.6, met foto's en twee animaties.

Vrouw trekt kind op een slee, circa 1915 (foto: Carl Michel, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Krachten ontbinden

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C1.3, C1.4, C1.6. Image credit: Carl Michel / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan krachten ontbinden en samenstellen met goniometrie, evenwicht en schuifwrijving op een helling berekenen en de eerste en derde wet van Newton toepassen.

Waarom trek je een slee liever schuin omhoog dan recht naar voren?

Verwacht: schuin trekken geeft ook een stukje omhoog, een deel van de kracht wordt dus niet gebruikt voor vooruit; minder wrijving omdat de slee een beetje wordt opgetild. Gebruik dit om de component te introduceren. Syllabus C1.3.

Vrouw trekt kind op een slee, circa 1915 (foto: Carl Michel, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Krachten zijn vectoren

• Een kracht is een vector: grootte, richting en aangrijpingspunt. Je tekent hem als een pijl.

• De resulterende kracht is de vectorsom: Fres = ΣF. Staat in je informatieboek.

• De spierkracht trekt via het touw schuin omhoog aan de slee. Alleen het deel langs de grond trekt vooruit.

• Zo'n deel heet een component: de kracht in een gekozen richting, meestal x en y.

Syllabus C1.3: krachten analyseren met een vectortekening, samenstellen van en ontbinden in componenten. Vwo gebruikt vectornotatie en het sommatieteken (syllabus 2.4), daarom Fres = ΣF. De foto is een historische opname: het touw trekt schuin omhoog, dus de spankracht (door de spierkracht van de vrouw) heeft een horizontale en een verticale component. Veelgemaakte fout: de krachtgroottes gewoon optellen, ook als de richtingen verschillen. Image credit: Carl Michel / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Samenstellen met componenten

• Kies een x- en een y-richting en schrijf elke kracht als componenten Fx en Fy.

• Tel per richting op: Fres,x = ΣFx en Fres,y = ΣFy. Let op het teken: links of omlaag is negatief.

• Grootte: Fres² = Fres,x² + Fres,y² (Pythagoras).

• Richting: tan α = Fres,y / Fres,x, met α de hoek met de x-as.

• Een vectortekening op schaal (parallellogram of kop-staart) geeft hetzelfde antwoord.

Syllabus C1.3: samenstellen en het bepalen van grootte en richting van krachten, zowel met een vectortekening als met goniometrische relaties. Voorbeeld voor op het bord: Fx = 6,0 N en Fy = 8,0 N geeft Fres = 10 N (36 + 64 = 100) en tan α = 8,0/6,0, dus α = 53°. Veelgemaakte fout: tan α omdraaien (Fres,x / Fres,y) en daarmee de hoek met de verkeerde as nemen.

Animatie: een kracht ontbinden in Fx en Fy

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Ontbinden met sin en cos

• Maakt F een hoek α met de x-as, dan is Fx = F·cos α en Fy = F·sin α.

• Let op: α is de hoek met die as. Meet je de hoek met de andere as, dan wissel je sin en cos.

• Kijk in de animatie wat er met Fx en Fy gebeurt als α groter wordt.

• Controle: Fx² + Fy² = F². Zo reken je terug naar F.

Syllabus C1.3: ontbinden in componenten met goniometrische relaties. In de animatie is F = 60 N. Bij 30° zijn Fx = 52 N en Fy = 30 N (60·cos 30° = 51,96 en 60·sin 30° = 30,0). Kijkvraag: bij welke hoek zijn Fx en Fy even groot? Antwoord: bij 45°, dan zijn ze allebei 42 N (60·cos 45° = 42,43). Veelgemaakte fout: cos en sin verwisselen. Eerst een schets van de driehoek maken helpt: de component naast de hoek krijgt cos, de component tegenover de hoek krijgt sin. Image credit: Eigen animatie

Een kracht van 80 N maakt 30° met de x-as. Hoe groot is Fx?

A

40 N

B

92 N

C

69 N

D

80 N

Fx = F·cos α = 80·cos 30° = 69,28 N, dus 69 N. Afleiders: sin gebruikt (40 N), delen door cos (92 N) en de hoek vergeten (80 N). Syllabus C1.3.

Vul in

Maakt F een hoek α met de x-as, dan is Fx = F·cos α en Fy = F·sin α. Met Pythagoras reken je de componenten weer terug naar F.

cos α

sin α

Pythagoras

tan α

de eerste wet

Syllabus C1.3: ontbinden met cosinus en sinus; Pythagoras voor het terugrekenen naar de grootte.

Skiër op een piste, 2006 (foto: Stupid Dingo, CC BY 2.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Zwaartekracht op een helling

• Op een helling kies je de x-as langs de helling en de y-as loodrecht erop.

• Fz wijst recht omlaag. De hoek tussen Fz en de loodlijn op de helling is gelijk aan de hellingshoek α.

• Fz,x = Fz·sin α wijst langs de helling omlaag; Fz,y = Fz·cos α drukt loodrecht op de helling.

• Op een vlakke ondergrond (α = 0°) is Fz,x = 0 en Fz,y = Fz.

Syllabus C1.3: ontbinden in componenten, krachten: zwaartekracht. Fz = m·g staat in je informatieboek (g = 9,81 m/s²). Veelgemaakte fout: sin en cos verwisselen. Controle: bij een bijna loodrechte helling (α dicht bij 90°) valt het voorwerp bijna vrij, dus Fz,x moet dan bijna Fz zijn: dat klopt met sin 90° = 1. Hoe steiler, hoe meer Fz langs de helling. Image credit: Stupid Dingo / Wikimedia Commons, CC BY 2.0

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Normaalkracht en schuifwrijving

• De normaalkracht FN staat loodrecht op het oppervlak. Je vindt hem uit evenwicht loodrecht op dat oppervlak.

• Fw,s,max = f·FN: de maximale schuifwrijvingskracht, met f de wrijvingscoëfficiënt (geen eenheid).

• Staat een voorwerp stil, dan is Fw,s precies zo groot als nodig is, maar nooit groter dan Fw,s,max.

• Fw,s wijst langs het oppervlak, tegengesteld aan de beweging of aan de neiging om te bewegen.

• Fv = C·u: de veerkracht, met C de veerconstante in N/m en u de uitrekking in m. Beide formules staan in je informatieboek.

Syllabus C1.3: krachten: schuifwrijvingskracht, normaalkracht; formule Fw,s,max = f·FN. Belangrijk: de formule geeft de grens, niet altijd de grootte. Een kist die je met 80 N duwt maar die blijft staan, heeft Fw,s = 80 N, ook als Fw,s,max groter is. Veelgemaakte fout: FN gelijk stellen aan Fz, ook op een helling of als er ook een schuine trekkracht is. Rolweerstandskracht en luchtweerstandskracht komen in dit onderwerp niet aan bod als berekening. Syllabus C1.3: veerkracht, formule Fv = C·u (u in m, niet in cm).

Animatie: een blok op een helling met f = 0,60

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Evenwicht op een helling

• Staat het blok stil, dan is ΣF = 0 langs de helling en loodrecht erop.

• Loodrecht: FN = Fz·cos α. Langs de helling: Fw,s = Fz·sin α.

• Het blok blijft staan zolang Fz·sin α ≤ f·Fz·cos α, dus zolang tan α ≤ f.

• Kijk in de animatie bij welke hoek het blok gaat glijden.

Syllabus C1.3 en C1.4: ontbinden, schuifwrijving en evenwicht (eerste wet). De animatie heeft Fz = 100 N en f = 0,60. Het blok gaat glijden bij tan α = 0,60, dus α = 31° (atan 0,60 = 30,96°). Voor die hoek is Fw,s gelijk aan Fz·sin α; erna is Fw,s,max kleiner dan Fz·sin α. Let op: de hoek hangt niet af van de massa, want Fz valt weg uit de ongelijkheid. Kijkvraag: wat verandert er met de glijhoek als het blok zwaarder is? Antwoord: niets, de krachten worden groter, maar de glijhoek blijft gelijk. Veelgemaakte fout: denken dat een zwaar voorwerp eerder glijdt. Image credit: Eigen animatie

Een blok van 12 kg staat op een helling van 25°. Bereken Fz langs de helling.

A

50 N

B

1,1·10² N

C

55 N

D

1,2·10² N

Fz = 12·9,81 = 117,72 N. Fz,x = Fz·sin 25° = 49,75 N, dus 50 N (twee significante cijfers). Afleiders: cos gebruikt (1,1·10² N, 106,7 N), tan gebruikt (55 N) en Fz zelf (1,2·10² N). Syllabus C1.3.

De helling wordt steiler. Wat gebeurt er met FN van een stilstaand blok?

A

FN neemt toe, want Fz,x wordt groter

B

FN neemt af, want FN = Fz·cos α

C

FN blijft gelijk, want Fz blijft gelijk

D

FN neemt af, want FN = Fz·sin α

FN = Fz·cos α en cos α wordt kleiner als α toeneemt. Afleiders: denken dat de helling harder duwt, denken dat Fz de enige factor is, of sin en cos verwisselen. Syllabus C1.3 en C1.4.

Slackline: de lijn zakt door, 2011 (foto: Tom468, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Eerste wet en evenwicht

• Eerste wet: is ΣF = 0, dan blijft een voorwerp in rust of beweegt het rechtuit met constante snelheid.

• Omgekeerd: rust of constante snelheid rechtuit betekent ΣFx = 0 én ΣFy = 0. Dit is traagheid.

• Slackline: de lijn zakt door. De y-componenten van de twee spankrachten dragen samen Fz.

• Hoe vlakker de lijn, hoe groter de spankracht: 2·F·sin α = Fz met een kleine α.

Syllabus C1.4: de eerste wet uitleggen en toepassen, vakbegrip traagheid; C1.3: spankracht, ontbinden. Bij een symmetrische situatie zijn de x-componenten gelijk en tegengesteld, dus alleen y levert een vergelijking: 2·F·sin α = Fz. Voorbeeld: Fz = 60 N en α = 35° geeft F = 30/sin 35° = 52 N. Bij α = 5° zou F = 30/sin 5° = 344 N; de spankracht kan dus veel groter zijn dan het gewicht. Veelgemaakte fout: denken dat een bewegend voorwerp een kracht in de bewegingsrichting nodig heeft; zonder ΣF verandert de snelheid niet. Image credit: Tom468 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Roeiboot met vier roeiers van boven, 2023 (foto: TudorTulok, CC0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

De derde wet van Newton

• Oefent A een kracht uit op B, dan geldt FAB = −FBA: even groot, tegengesteld en van dezelfde soort.

• Het zijn de actiekracht en de reactiekracht. Ze werken op verschillende voorwerpen.

• Daarom heffen ze elkaar nooit op: ze staan niet in dezelfde ΣF.

• Roeien: de riem duwt het water naar achteren, het water duwt de riem en de boot naar voren.

Syllabus C1.6: de derde wet uitleggen en toepassen; vakbegrippen actiekracht en reactiekracht; FAB = −FBA staat in je informatieboek. De kracht van het water op de riem wijst vooruit en werkt op de boot; de actiekracht (riem op water) werkt op het water. Veelgemaakte fout: denken dat actie en reactie elkaar opheffen, waardoor niets zou kunnen bewegen. Laat leerlingen steeds zeggen: kracht van ... op .... Image credit: TudorTulok / Wikimedia Commons, CC0

Gondels van een kabelbaan, 2013 (foto: Immanuel Giel, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Gewicht en krachtparen

• Het gewicht is de kracht van een voorwerp op de ondergrond of het ophangpunt, in N.

• Gondel aan een kabel: Fz is de kracht van de aarde op de gondel. De reactiekracht is de gondel op de aarde.

• De spankracht van de kabel trekt de gondel omhoog. Het gewicht is de kracht van de gondel op de kabel.

• Hangt de gondel stil, dan is Fspan = Fz, maar het zijn geen actie en reactie: beide werken op de gondel.

Syllabus C1.6: derde wet, vakbegrippen actiekracht, reactiekracht en gewicht. De syllabus noemt gewicht als vakbegrip; de omschrijving is de gangbare natuurkundige betekenis: de kracht op de ondergrond of het ophangpunt, de reactiekracht van de normaalkracht of de spankracht. Controle van het paar: Fz en Fspan werken allebei op de gondel, dus geen paar (derde wet: verschillende voorwerpen). Bij stilstaan geldt Fspan = Fz door de eerste wet. Veelgemaakte fout: gewicht in kg opgeven of gewicht altijd gelijkstellen aan de zwaartekracht. Image credit: Immanuel Giel / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Een auto trekt een caravan met de trekkracht. Wat is de reactiekracht daarvan?

A

De kracht van de weg op de caravan

B

De kracht van de caravan op de weg

C

De zwaartekracht op de caravan

D

De kracht van de caravan op de auto

Actie: auto op caravan; reactie: caravan op auto (FAB = −FBA). De kracht van de weg op de caravan is een andere soort (wrijving of normaalkracht) en de zwaartekracht werkt op de caravan met een andere partner (de aarde). Syllabus C1.6.

Stofzuiger: 40 N onder 55°, constante v. Bereken Fw,s.

Antwoord: 23 N. Constante snelheid, dus ΣFx = 0 (eerste wet): Fw,s = F·cos 55° = 40·0,5736 = 22,94 N, dus 23 N. Verwachte fouten: sin gebruiken (33 N) of 40 N invullen zonder te ontbinden. Syllabus C1.3 en C1.4.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Ontbinden met sin en cos

2

Evenwicht op een helling

3

Evenwicht met touwen

4

Actie, reactie en gewicht

Gebruik de uitslag voor de aandacht in de training: bespreek het meest gekozen onderdeel nog een keer met een tekening.

Leg uit waarom actie en reactie elkaar niet opheffen.

Goed antwoord: ze werken op verschillende voorwerpen, dus ze staan niet in dezelfde ΣF. Verwachte fout: alleen zeggen dat ze even groot en tegengesteld zijn. Syllabus C1.6.

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Begrippen (1/2)

• vector: grootheid met grootte en richting, zoals een kracht

• component: het deel van een kracht in een gekozen richting: Fx = F·cos α, Fy = F·sin α

• resulterende kracht: de vectorsom van alle krachten, Fres = ΣF

• normaalkracht: kracht van het oppervlak loodrecht op dat oppervlak

• schuifwrijvingskracht: kracht langs het oppervlak, maximaal Fw,s,max = f·FN

EXAMENSTOF · C1 · KRACHTEN ONTBINDEN

Begrippen (2/2)

• wrijvingscoëfficiënt: f, de verhouding tussen Fw,s,max en FN, zonder eenheid

• traagheid: zonder resulterende kracht verandert de snelheid niet

• actiekracht en reactiekracht: kracht van A op B en van B op A, FAB = −FBA

• gewicht: kracht van een voorwerp op de ondergrond of het ophangpunt, in N

• hellend vlak: schuin oppervlak: ontbind Fz langs en loodrecht erop