Beweging en afgeleiden (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Uitlegles over beweging en afgeleiden (vwo, C1): bewegingen herkennen, v = dx/dt en a = dv/dt, raaklijn, differentiëren van x(t), oppervlakte onder een (v,t)-diagram, vrije val, valbeweging met wrijving en rekenen aan inhalen, met foto's, een animatie en checkvragen.

Lancering van een spaceshuttle (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Beweging en afgeleiden

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C1.1, C1.2. Image credit: NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Wat ga je kunnen?

Ik kan met afgeleiden, raaklijnen en oppervlakte uit diagrammen en functies snelheid, versnelling en verplaatsing bepalen.

Wat is voor jou het verschil tussen snelheid en versnelling?

Verwacht: snelheid is hoe snel je gaat (m/s), versnelling is hoe snel je snelheid verandert (m/s²). Gebruik dit om te laten zien dat je in deze les van plaats naar snelheid naar versnelling gaat met afgeleiden, en terug met oppervlakte. Syllabus C1.1 en C1.2.

Een jachtluipaard met halsband rent in een dierenpark (foto: Mark Dumont, CC BY 2.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Bewegingen herkennen

• Eenparig: constante snelheid, s = v·t. (x,t) is een rechte lijn, (v,t) een horizontale lijn.

• Eenparig versneld of vertraagd: constante a. (v,t) is een schuine rechte lijn, (x,t) een kromme.

• Vrije val: alleen zwaartekracht, a = g = 9,81 m/s² (informatieboek), constant.

• Valbeweging met wrijving: a wordt kleiner, de (v,t)-grafiek buigt af.

Syllabus C1.1: berekeningen aan eenparige rechtlijnige bewegingen met s = v·t (v constant). Syllabus C1.2: de bewegingen eenparig, eenparig versneld of vertraagd, vrije val en valbeweging met wrijving herkennen. Een jachtluipaard rent niet eenparig: hij trekt op en remt af. Veelgemaakte fout: s = v·t gebruiken terwijl de snelheid verandert. Kijkvraag: welke van de vier bewegingen is dit, denk je? Image credit: Mark Dumont / Wikimedia Commons, CC BY 2.0

Animatie: van gemiddelde naar momentane snelheid

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Van gemiddeld naar momentaan

• vgem = Δx/Δt: de helling van de lijn door twee punten van het (x,t)-diagram.

• Neem Δt steeds kleiner: de lijn wordt de raaklijn. De momentane snelheid hoort bij één moment.

• v = dx/dt: de snelheid is de afgeleide van de plaats naar de tijd.

• Loopt de grafiek omlaag, dan is v negatief: het voorwerp beweegt de andere kant op.

Syllabus C1.2: de snelheid op een bepaald moment bepalen met het inzicht dat de snelheid de afgeleide is van de plaats naar de tijd; formules vgem = Δx/Δt en v = dx/dt. In de animatie is x = 0,25·t² en het punt ligt bij t = 6,0 s. Bij Δt = 6,0 s is vgem = 4,50 m/s, bij Δt = 1,0 s 3,25 m/s, en voor Δt naar 0 wordt het 3,00 m/s. Controle: v = 0,50·t geeft 3,0 m/s op t = 6,0 s. Kijkvraag: wat gebeurt er met de lijn en met vgem als Δt kleiner wordt? Veelgemaakte fout: denken dat dx/dt een deling van x door t is. Image credit: Eigen animatie

Een raaklijn aan een (x,t)-kromme bij t = 6,0 s

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Snelheid met een raaklijn

• Teken de raaklijn in het punt van het gevraagde moment, met je liniaal langs de kromme.

• Kies twee punten ver uit elkaar op de raaklijn, niet op de kromme zelf, en lees Δx en Δt af.

• v = (Δx/Δt) raaklijn: hier 18 m in 6,0 s, dus 3,0 m/s op t = 6,0 s.

• Controle met de formule: x = 0,25·t² geeft v = 0,50·t, dus 3,0 m/s op t = 6,0 s.

Syllabus C1.2: uit een (x,t)-diagram de snelheid op een bepaald moment bepalen. In de figuur gaat de raaklijn door (3,0 s; 0 m) en (9,0 s; 18 m): Δx = 18 m, Δt = 6,0 s, v = 3,0 m/s. Veelgemaakte fout: het driehoekje op de kromme zelf nemen, of x/t op het raakpunt (9,0/6,0 = 1,5 m/s). Image credit: Eigen figuur

Waaraan is de snelheid op één moment in een (x,t)-diagram gelijk?

A

De helling van de lijn vanaf de oorsprong

B

De oppervlakte onder de grafiek op dat moment

C

De helling van de raaklijn op dat moment

D

De waarde van x op dat moment, in meters

Syllabus C1.2: v = dx/dt, de helling van de raaklijn. Fouten: x/t (lijn vanaf de oorsprong), de oppervlakte (hoort bij een (v,t)-diagram), de plaats zelf.

Vul in

De gemiddelde snelheid hoort bij een tijdvak. De momentane snelheid is de afgeleide van x naar t.

gemiddelde snelheid

momentane snelheid

afgeleide

versnelling

oppervlakte

Syllabus C1.2. Fout: de versnelling noemen; die is de afgeleide van v naar t.

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Differentiëren van x(t)

• Bij een gegeven functie bereken je v en a: v = dx/dt en a = dv/dt.

• Machtsfunctie: x = c·t² geeft v = 2·c·t, en x = c·t³ geeft v = 3·c·t². Een constante term valt weg.

• Voorbeeld: x = 5,0 + 2,0·t + 0,50·t² geeft v = 2,0 + 1,0·t en daarna a = 1,0 m/s².

• Vul het moment pas na het differentiëren in: op t = 3,0 s is v = 2,0 + 1,0·3,0 = 5,0 m/s.

Syllabus A12 (differentiëren van lineaire en kwadratische functies en machtsfuncties) en C1.2: v is de afgeleide van x, a de afgeleide van v. Nagerekend: x = 5,0 + 2,0·t + 0,50·t²; dx/dt = 2,0 + 1,0·t; op t = 3,0 s is v = 5,0 m/s; dv/dt = 1,0 m/s². Veelgemaakte fouten: eerst t invullen en dan differentiëren (geeft 0), de exponent niet laten zakken, of de eenheid m/s² vergeten bij a.

Een raaklijn aan een (v,t)-kromme bij t = 4,0 s

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Versnelling uit een (v,t)-diagram

• agem = Δv/Δt: de helling tussen twee punten van het (v,t)-diagram, in m/s².

• a = dv/dt: de versnelling op één moment is de helling van de raaklijn.

• Hier gaat de raaklijn door (2,0 s; 20 m/s) en (6,0 s; 44 m/s): a = 24/4,0 = 6,0 m/s².

• Rechte lijn: a is constant. Een kromme die vlakker wordt: a neemt af.

Syllabus C1.2: uit een (v,t)-diagram de (val)versnelling op een bepaald moment bepalen met het inzicht dat a de afgeleide is van v. In de figuur is v = 10·t - 0,5·t²; bij t = 4,0 s is v = 32 m/s en a = 10 - 4,0 = 6,0 m/s². De raaklijn gaat door (2,0; 20) en (6,0; 44): Δv = 24 m/s, Δt = 4,0 s. Veelgemaakte fout: v/t op het raakpunt (32/4,0 = 8,0), of de eenheid m/s in plaats van m/s². Image credit: Eigen figuur

De oppervlakte onder een (v,t)-diagram is de verplaatsing

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Oppervlakte onder een (v,t)-diagram

• De oppervlakte onder de grafiek van een (v,t)-diagram is de verplaatsing Δx, in m.

• Splits in rechthoeken en driehoeken: ½·2,0·4,0 + 8,0·4,0 + ½·4,0·4,0 = 44 m.

• vgem = Δx/Δt: de gemiddelde snelheid is 44 m in 14 s, dus 3,1 m/s.

• Bij een kromme tel je hokjes: elk hokje is een stukje verplaatsing. Onder de t-as telt de oppervlakte negatief.

Syllabus C1.2: uit een (v,t)-diagram de verplaatsing en de gemiddelde snelheid bepalen met de oppervlakte; syllabus A15.2: helling en oppervlakte interpreteren als natuurkundige grootheid. Nagerekend: ½·2,0·4,0 = 4,0 m; 8,0·4,0 = 32 m; ½·4,0·4,0 = 8,0 m; totaal 44 m; 44/14 = 3,14 dus 3,1 m/s. Eenheid: m/s · s = m. Veelgemaakte fout: de hoogste snelheid maal de hele tijd (4,0·14 = 56 m). Image credit: Eigen figuur

Je differentieert v(t) naar de tijd. Wat krijg je?

A

De plaats x(t)

B

De versnelling a(t)

C

De verplaatsing Δx

D

De gemiddelde snelheid

Syllabus C1.2: a = dv/dt. De plaats krijg je niet door te differentiëren maar door de oppervlakte onder het (v,t)-diagram te nemen.

Zet op volgorde: a bepalen met een raaklijn

1

Lees Δv en Δt af bij die twee punten

2

Teken de raaklijn in het punt bij t = 4,0 s

3

Bereken a = Δv/Δt met de eenheid m/s²

4

Kies twee punten ver uit elkaar op de raaklijn

Syllabus C1.2. De volgorde volgt de dia: raaklijn tekenen, punten kiezen, aflezen, rekenen.

Stroboscoopfoto van een vallende bal (foto: M. Maggs, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Vrije val

• Bij vrije val werkt alleen de zwaartekracht: a = g = 9,81 m/s², constant (informatieboek).

• Uit a = Δv/Δt volgt Δv = g·Δt: de snelheid groeit elke seconde met 9,81 m/s.

• (v,t): een rechte lijn door de oorsprong als je uit rust loslaat. (x,t): steeds steiler.

• Op de foto groeit de afstand tussen de beelden steeds sneller: de bal gaat steeds sneller.

Syllabus C1.2: vrije val herkennen; de valversnelling g staat in het informatieboek. Rekenvoorbeeld: na 2,0 s is de snelheid 9,81·2,0 = 20 m/s (twee significante cijfers). Veelgemaakte fout: denken dat een zwaarder voorwerp sneller valt zonder luchtweerstand. Kijkvraag: wat zie je aan de afstanden tussen de beelden? Image credit: Michael Maggs / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Parachutisten vallen met luchtwrijving, scherm nog dicht (foto: Rstpch, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Valbeweging met wrijving

• Met luchtwrijving neemt a af als v groeit: de raaklijn aan het (v,t)-diagram wordt vlakker.

• Aan het begin is a ongeveer g. Later is a = 0: de snelheid is constant, de eindsnelheid.

• In het (x,t)-diagram is de grafiek dan een rechte lijn, in het (v,t)-diagram een horizontale lijn.

• Een (v,t)-kromme die afbuigt naar een horizontale lijn hoort bij een valbeweging met wrijving.

Syllabus C1.2: valbeweging met wrijving herkennen en de (val)versnelling op een moment bepalen met een raaklijn. De krachten zelf komen bij een ander onderwerp (C1.3 tot C1.5). Veelgemaakte fout: denken dat a = 0 betekent dat het voorwerp stilstaat; de snelheid is dan constant maar niet nul. Kijkvraag: waar in de val is de raaklijn aan (v,t) horizontaal? Image credit: Rstpch / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Eenparig: inhalen en passeren

• Bij een eenparige beweging is v constant: s = v·t (informatieboek). Reken km/h eerst om naar m/s: deel door 3,6.

• Inhalen: de afstand tussen twee voertuigen verandert met het snelheidsverschil vA - vB.

• Tegemoet rijden: de afstand wordt kleiner met de som van de snelheden, vA + vB.

• In een (x,t)-diagram zijn het twee rechte lijnen. Het snijpunt geeft waar en wanneer ze naast elkaar zijn.

• Voorbeeld: 90 m achterstand en 3,0 m/s snelheidsverschil geeft inhalen na 90/3,0 = 30 s.

Syllabus C1.1: berekeningen aan eenparige rechtlijnige bewegingen met s = v·t (v constant); C1.2: (x,t)-diagram. Nagerekend: 90 m / 3,0 m/s = 30 s. In het (x,t)-diagram is de helling van elke lijn de snelheid; de steilere lijn haalt de andere in bij het snijpunt. Het numeriek model (A14.1) komt aan bod bij harmonische trillingen. Veelgemaakte fouten: met de snelheid van één voertuig rekenen, of km/h niet omrekenen. Kijkvraag: waarom gebruik je bij tegemoet rijden de som van de snelheden?

Welke (v,t)-grafiek hoort bij een vrije val vanuit rust?

A

Een horizontale lijn op 9,81 m/s

B

Een lijn die afbuigt naar een eindwaarde

C

Een lijn die steeds steiler wordt

D

Een rechte lijn door de oorsprong

Syllabus C1.2: bij vrije val is a constant, dus v groeit evenredig met t. Fouten: g aflezen als snelheid, afbuigen is een val met wrijving, steeds steiler zou een toenemende versnelling zijn.

Vul in

Bij inhalen reken je met het snelheidsverschil. In een (x,t)-diagram is het snijpunt van de twee lijnen het moment van inhalen.

snelheidsverschil

snijpunt

raakpunt

gemiddelde snelheid

Syllabus C1.1 en C1.2. Fouten: de gemiddelde snelheid van de twee voertuigen gebruiken, of het snijpunt verwarren met een raakpunt.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Een raaklijn gebruiken

2

Differentiëren van x(t)

3

Helling of oppervlakte kiezen

4

Rekenen aan inhalen

Gebruik de uitslag om te bepalen welk vraagtype in de examentraining extra aandacht krijgt.

Leg v = dx/dt uit met een raaklijn.

Goed antwoord: de snelheid op één moment is de helling van de raaklijn aan het (x,t)-diagram; Δt wordt zo klein dat de lijn door twee punten de raaklijn wordt. Verwachte fout: v = x/t zeggen.

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Begrippen (1/2)

• gemiddelde snelheid: Verplaatsing gedeeld door tijd: vgem = Δx/Δt, de helling tussen twee punten van een (x,t)-diagram.

• momentane snelheid: De snelheid op één moment: de helling van de raaklijn aan het (x,t)-diagram.

• raaklijn: Rechte lijn die een kromme op één punt net raakt; de helling is de waarde op dat moment.

• afgeleide: v = dx/dt is de afgeleide van x naar t; a = dv/dt is de afgeleide van v naar t.

• versnelling: Verandering van de snelheid per seconde, in m/s²: de helling van het (v,t)-diagram.

EXAMENSTOF · C1 · KRACHT EN BEWEGING

Begrippen (2/2)

• verplaatsing: Verandering van de plaats, Δx: de oppervlakte onder het (v,t)-diagram.

• vrije val: Val met alleen zwaartekracht; a = g = 9,81 m/s², constant.

• valbeweging met wrijving: Val waarbij a afneemt tot 0; de snelheid nadert een eindwaarde.

• eenparige beweging: Beweging met constante snelheid: s = v·t; het (x,t)-diagram is een rechte lijn.

• snelheidsverschil: Bij inhalen: de afstand tussen twee voertuigen verandert met vA - vB per seconde.