Cirkelbanen en gravitatie (Natuurkunde havo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introduction

Uitleg over cirkelbewegingen en banen: baansnelheid en omlooptijd, de middelpuntzoekende kracht, de gravitatiekracht, g op een planeet en de baan van satellieten en de maan. Met foto's, twee animaties en 6 checkvragen, 24 dia's. Havo, syllabus E1.2 en E1.3.

Het ruimtestation ISS in een baan om de aarde, 2006 (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Cirkelbanen en gravitatie

Examenstof natuurkunde havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: E1.2, E1.3. Image credit: NASA / pingnews.com / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan rekenen en redeneren met cirkelbewegingen, de gravitatiekracht en de banen van satellieten en planeten.

Wat houdt de maan in een baan om de aarde?

Verwacht: zwaartekracht, aantrekkingskracht, snelheid, cirkel, valt niet. Hang de woorden op aan Fg en Fmpz: die komen in de les terug. Veelgemaakt idee: er is een kracht naar buiten nodig, of de maan wordt niet meer aangetrokken. Syllabus E1.2 en E1.3.

Hamerwerper in de draaiende worp, Zuidwest-Azië, 2006 (foto: US Air Force, publiek domein)

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Cirkelbeweging en baansnelheid

• Bij een cirkelbeweging met constante snelheid beweegt een voorwerp langs een cirkel.

• De baanstraal r is de straal van de cirkel, de omlooptijd T is de tijd voor één rondje.

• De baansnelheid v wijst langs de baan: de grootte blijft gelijk, de richting verandert steeds.

• Verandert de richting van v, dan is Fres niet nul: er moet een kracht werken.

Syllabus E1.2: cirkelbewegingen met constante baansnelheid analyseren; vakbegrippen omlooptijd, baanstraal en baansnelheid. De foto laat een hamerwerper zien: de hamer beweegt rond in een cirkel voordat hij wordt losgelaten. Veelgemaakte fout: denken dat een constante snelheid altijd betekent dat er geen kracht werkt. Dat geldt alleen bij een rechte baan (eerste wet van Newton, zie de les Krachten en evenwicht). Image credit: Tech. Sgt. Mike Hammond, US Air Force / Wikimedia Commons, publiek domein

Animatie: een puck op een touw, daarna gaat het touw los

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Zonder kracht rechtdoor

• Een puck op glad ijs hangt aan een touw. Het touw trekt de puck steeds naar het midden.

• Gaat het touw los, dan werkt er geen kracht meer: de puck gaat rechtdoor, langs de raaklijn.

• Voor de cirkelbaan is dus een kracht nodig die steeds naar het middelpunt wijst.

• Die kracht heet de middelpuntzoekende kracht, Fmpz.

Syllabus E1.2: middelpuntzoekende kracht. Eigen animatie: de puck draait eerst rond, daarna gaat het touw los. Kijkvraag: welke kant op beweegt de puck als het touw losgaat? Antwoord: in de richting van v op dat moment, dus langs de raaklijn. Veelgemaakte fout: denken dat de puck naar buiten (van het middelpunt af) vliegt. Rechtdoor is langs de raaklijn. Image credit: Eigen animatie

Zweefmolen in München, 2025 (foto: Tiia Monto, CC BY 4.0)

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Baansnelheid uit de omlooptijd

• In één omlooptijd T legt het voorwerp één keer de omtrek af: 2π·r.

• v = 2π·r/T: de baansnelheid in m/s, met r in m en T in s (staat in je informatieboek).

• Voorbeeld: r = 4,0 m en T = 8,0 s geeft v = 2π · 4,0 / 8,0 = 3,1 m/s.

• Reken T altijd om naar seconden: 1 min = 60 s en 1 h = 3600 s.

Syllabus E1.2: v = 2πr/T (formule uit het informatieboek) en A15 (eenheden omrekenen). Rekenvoorbeeld: 2π · 4,0 = 25,13 m; 25,13 / 8,0 = 3,14 m/s, afgerond op twee significante cijfers 3,1 m/s (gegevens met twee cijfers). Controle: de omtrek is 25 m en per 8,0 s gaat dat 3,1 m per seconde. Veelgemaakte fout: 2π vergeten of de omlooptijd in minuten laten staan. Image credit: Tiia Monto / Wikimedia Commons, CC BY 4.0

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Middelpuntzoekende kracht

• De middelpuntzoekende kracht wijst steeds naar het middelpunt van de cirkel, loodrecht op v.

• Fmpz = m·v²/r: Fmpz in N, m in kg, v in m/s en r in m (staat in je informatieboek).

• Fmpz is geen aparte kracht: een spankracht, wrijvingskracht, normaalkracht of Fg speelt die rol.

• Je rekent alleen met Fmpz als één kracht die rol heeft, zoals het touw bij de puck op glad ijs.

Syllabus E1.2: berekeningen aan de middelpuntzoekende kracht alleen in situaties waarin slechts één kracht de rol van middelpuntzoekende kracht heeft. Geen situaties met meerdere krachten die samen Fmpz leveren (bijvoorbeeld een looping of een kegelslinger). Veelgemaakte fout: Fmpz tekenen als extra kracht naast de spankracht. Het is de naam voor de resulterende kracht naar het midden.

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Rekenen en redeneren met Fmpz

• Voorbeeld: een puck van 0,30 kg op glad ijs, r = 0,80 m en v = 2,0 m/s.

• Fmpz = m·v²/r = 0,30 · 2,0² / 0,80 = 1,5 N. Dat is de spankracht van het touw.

• v twee keer zo groot: Fmpz wordt 4 keer zo groot, want v staat in het kwadraat.

• r twee keer zo groot bij dezelfde v: Fmpz wordt 2 keer zo klein.

• In een rotor op de kermis levert de normaalkracht van de wand de Fmpz.

Syllabus E1.2. Rekenvoorbeeld: 2,0² = 4,0; 0,30 · 4,0 = 1,2; 1,2 / 0,80 = 1,5 N (controle: 1,5 · 0,80 / 0,30 = 4,0 = v²). In de rotor drukt de wand de mensen naar het midden: de normaalkracht is de enige kracht in horizontale richting, de wrijvingskracht van de wand houdt ze omhoog (die telt hier niet mee voor Fmpz). Veelgemaakte fout: v niet kwadrateren of Fmpz verwarren met de zwaartekracht.

Bij gelijke m en r wordt v drie keer zo groot. Wat gebeurt er met Fmpz?

A

Fmpz wordt 3 keer zo groot

B

Fmpz wordt 6 keer zo groot

C

Fmpz wordt 9 keer zo klein

D

Fmpz wordt 9 keer zo groot

Fmpz = m·v²/r: v staat in het kwadraat, dus 3² = 9 keer zo groot. Fouten: 3 keer (evenredig met v), 6 keer (3 · 2) en omgekeerd. Syllabus E1.2.

Vul in

De baansnelheid wijst langs de baan, de middelpuntzoekende kracht wijst naar het middelpunt van de cirkel.

baansnelheid

middelpuntzoekende kracht

middelpunt

omlooptijd

baanstraal

Syllabus E1.2: begrippen baansnelheid en middelpuntzoekende kracht. Fout: omlooptijd of baanstraal als snelheid zien.

Fg tegen r voor een satelliet van 1,0·10³ kg bij de aarde

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Gravitatiekracht

• Alle voorwerpen met massa trekken elkaar aan: de gravitatiekracht Fg.

• Fg = G·m·M/r²: m en M zijn de massa's in kg, r is de afstand tussen de middelpunten in m.

• G is de gravitatieconstante (informatieboek). Fg is omgekeerd kwadratisch met r.

• r twee keer zo groot: Fg 4 keer zo klein. Diagram: 4,0 kN bij r = 1,0·10⁷ m (m = 1,0·10³ kg).

Syllabus E1.3: gravitatiekracht (formule uit het informatieboek). G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² (op drie cijfers gelijk in Binas en ScienceData). Fg werkt op beide voorwerpen even groot en tegengesteld. Het diagram is gemaakt met m = 1,0·10³ kg en M = 6,0·10²⁴ kg (aarde): Fg = 4,0·10³ N bij r = 1,0·10⁷ m, 1,0·10³ N bij 2,0·10⁷ m, 0,44·10³ N bij 3,0·10⁷ m en 0,25·10³ N bij 4,0·10⁷ m. Kijkvraag: hoeveel keer kleiner is Fg bij de dubbele afstand? Antwoord: 4 keer. Veelgemaakte fouten: r opvatten als de hoogte boven het oppervlak (het is de afstand tussen de middelpunten) en Fg omgekeerd evenredig met r denken. Image credit: Eigen figuur

Astronaut springt op de maan, Apollo 16, 1972 (foto: Charlie Duke, NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Valversnelling op een planeet

• Aan het oppervlak is de zwaartekracht gelijk aan de gravitatiekracht: Fz = Fg.

• m·g = G·m·M/r², dus g = G·M/r², met M de massa en r de straal van de planeet.

• De massa m van het voorwerp valt weg: g hangt alleen af van M en r van de planeet.

• Grotere M geeft grotere g. Grotere straal geeft kleinere g, want r staat in het kwadraat.

Syllabus E1.3: uitleggen hoe de valversnelling aan het planeetoppervlak afhangt van de massa en de straal van de planeet. Fz = m·g komt uit de les Krachten en evenwicht. De foto: de astronaut springt volgens de beschrijving bij de foto ongeveer 42 cm hoog; op de maan is g veel kleiner dan op aarde. Veelgemaakte fout: denken dat g van de massa van het vallende voorwerp afhangt. Image credit: Charlie Duke, NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

g op de maan berekenen

• Gegeven: M = 7,35·10²² kg en r = 1,74·10⁶ m voor de maan, G uit je informatieboek.

• g = G·M/r² = 6,67·10⁻¹¹ · 7,35·10²² / (1,74·10⁶)² = 1,62 m/s².

• Op aarde is g = 9,81 m/s²: op de maan is g ongeveer 6 keer zo klein (9,81 / 1,62 = 6,06).

• Daarom is de zwaartekracht op een voorwerp op de maan ook 6 keer zo klein.

Syllabus E1.3. Rekenstappen: (1,74·10⁶)² = 3,028·10¹²; 6,67·10⁻¹¹ · 7,35·10²² = 4,902·10¹²; 4,902·10¹² / 3,028·10¹² = 1,619, dus 1,62 m/s² (drie significante cijfers, de gegevens hebben er drie). Controle: 1,62 · 3,03·10¹² / 7,35·10²² = 6,7·10⁻¹¹. Veelgemaakte fout: de straal niet kwadrateren of in km laten staan.

De afstand tussen twee voorwerpen wordt 3 keer zo groot. Wat gebeurt er met Fg?

A

Fg wordt 3 keer zo klein

B

Fg wordt 9 keer zo groot

C

Fg wordt 3 keer zo groot

D

Fg wordt 9 keer zo klein

Fg ~ 1/r²: 3² = 9, dus 9 keer zo klein. Fouten: omgekeerd evenredig met r (3 keer zo klein) en de richting omdraaien. Syllabus E1.3.

Een planeet heeft 4 keer de massa en 2 keer de straal van de aarde. Wat wordt g?

A

g is 2 keer zo groot als op aarde

B

g is even groot als op aarde

C

g is 4 keer zo groot als op aarde

D

g is 2 keer zo klein als op aarde

g = G·M/r²: M · 4 en r² · 4 heffen elkaar op, dus g blijft 9,81 m/s². Fouten: alleen M meenemen (4 keer), M/r (2 keer) en omgekeerd. Syllabus E1.3.

Satelliet in een cirkelbaan: v, Fg en r

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Fg levert de Fmpz

• Op een satelliet in een cirkelbaan werkt alleen Fg van de aarde. r = straal aarde + hoogte.

• Fmpz = Fg: m·v²/r = G·m·M/r². De massa m van de satelliet valt weg.

• Dat geeft v² = G·M/r, dus v = √(G·M/r).

• Zo ook voor de maan om de aarde en voor planeten om de zon: M is de massa van de zon.

Syllabus E1.3: de baan van planeten om de zon en van maan en satellieten om de aarde analyseren met de gravitatiekracht. Afleiding: m·v²/r = G·m·M/r² geeft v² = G·M/r (delen door m en vermenigvuldigen met r). De formule v = √(G·M/r) staat niet in het informatieboek: de leerling leidt hem af door Fmpz gelijk te stellen aan Fg. De planeetbanen zijn bijna cirkelvormig, dus je rekent met een cirkelbaan. Uit baanstraal en omlooptijd van de maan kun je de massa van de aarde berekenen (zie de training). Veelgemaakte fouten: r gelijkstellen aan de hoogte boven het aardoppervlak en de massa van de satelliet of planeet zelf in de formule meenemen (die valt weg). Image credit: Eigen figuur

Het ruimtestation ISS in een baan om de aarde, 2006 (foto: NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Rekenen aan een satelliet

• Satelliet op r = 6,8·10⁶ m om de aarde (M = 5,97·10²⁴ kg): v = √(G·M/r) = 7,7·10³ m/s.

• T = 2π·r/v = 2π · 6,8·10⁶ / 7,65·10³ = 5,6·10³ s, ongeveer 93 minuten.

• Grotere r geeft kleinere v (v ~ 1/√r) en langere T. De massa van de satelliet doet er niet toe.

• Voorbeeld: r vier keer zo groot geeft v twee keer zo klein.

Syllabus E1.3. Rekenstappen: G·M = 6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ = 3,982·10¹⁴; gedeeld door 6,8·10⁶ is 5,856·10⁷; wortel 7,65·10³ m/s, afgerond 7,7·10³ m/s. Daarna T = 2π · 6,8·10⁶ / 7,65·10³ = 4,273·10⁷ / 7,65·10³ = 5,59·10³ s = 93 min (het tussenantwoord 7,65·10³ gebruik je door). De foto toont het ISS, dat in zo'n lage baan draait; de getallen zijn een rekenvoorbeeld, geen meting aan het ISS. Evenredigheid: v ~ 1/√r, dus r · 4 geeft v / 2. Veelgemaakte fout: denken dat een hogere satelliet sneller moet draaien om niet te vallen, of dat een zwaardere satelliet een andere snelheid nodig heeft. Image credit: NASA / pingnews.com / Wikimedia Commons, publiek domein

Animatie: geostationaire baan en een lagere baan om de aarde

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Geostationaire baan

• Een geostationaire baan heeft een omlooptijd van één dag: de satelliet draait mee met de aarde.

• Zo'n satelliet staat altijd boven hetzelfde punt van de evenaar.

• Fg = Fmpz met v = 2π·r/T geeft r³ = G·M·T²/(4π²): r = 4,2·10⁷ m, bij T = 24 h.

• In de animatie draait een lagere satelliet in 6,0 h dus 4 keer per dag rond.

Syllabus E1.3: vakbegrip geostationaire baan. Wat de leerlingen moeten zien: de aarde draait één keer rond en het punt op de evenaar draait mee; de geostationaire satelliet blijft op de lijn naar dat punt. Kijkvraag: hoe vaak draait de lagere satelliet rond in 24 h? Antwoord: 4 keer. Afleiding: Fmpz = m·v²/r met v = 2π·r/T is m·4π²·r/T²; gelijkgesteld aan G·m·M/r² geeft r³ = G·M·T²/(4π²). Rekenstappen met T = 8,64·10⁴ s: G·M·T² = 3,982·10¹⁴ · 7,465·10⁹ = 2,973·10²⁴; gedeeld door 4π² (39,48) is 7,53·10²²; derdemachtswortel 4,22·10⁷ m, dus ongeveer 3,6·10⁷ m boven het aardoppervlak (straal 6,4·10⁶ m). In de les rekenen we met 24 h; de aarde draait precies genomen in 23 h en 56 min om haar as. De schaal van de animatie klopt: r = 4,2·10⁷ m is ruim 6 keer de straal van de aarde. Weersatellieten staan vaak in een geostationaire baan. Veelgemaakte fout: denken dat een geostationaire satelliet stilstaat ten opzichte van de ruimte; hij draait mee met de aarde. Image credit: Eigen animatie

Zet op volgorde: van Fg naar de baansnelheid

1

Die Fg is de middelpuntzoekende kracht

2

Alleen Fg werkt op de satelliet

3

Stel m·v²/r gelijk aan G·m·M/r²

4

De massa m valt weg: v = √(G·M/r)

Syllabus E1.3: volgorde van de afleiding op de dia Fg levert de Fmpz.

Vul in

Een satelliet in een geostationaire baan heeft een omlooptijd van één dag en staat boven de evenaar van de aarde.

geostationaire

één dag

evenaar

één uur

poolcirkel

Syllabus E1.3: vakbegrip geostationaire baan. Fout: omlooptijd van 90 minuten (lage baan) of boven de polen.

Wat vond je het lastigst in deze les?

1

Rekenen met Fmpz en v = 2πr/T

2

Rekenen met Fg = G·m·M/r²

3

g op een planeet berekenen

4

Fg gelijkstellen aan Fmpz

Gebruik de uitslag om in de training extra aandacht te geven aan het lastigste onderdeel.

Waarom valt een satelliet niet op de aarde?

Goed antwoord: Fg werkt wel op de satelliet, maar die kracht is precies de Fmpz die nodig is voor de cirkelbaan; door de baansnelheid blijft de afstand tot de aarde gelijk. Verwachte fout: er is geen zwaartekracht meer in de ruimte. Syllabus E1.3.

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Begrippen (1/2)

• cirkelbeweging: Beweging langs een cirkel met constante baansnelheid.

• baanstraal: De straal r van de cirkelbaan, in m; bij een satelliet de afstand tot het middelpunt van de aarde.

• omlooptijd: De tijd T voor één rondje, in s.

• baansnelheid: De snelheid v langs de baan: v = 2π·r/T, in m/s.

• middelpuntzoekende kracht: De kracht naar het middelpunt van de cirkel: Fmpz = m·v²/r, in N.

EXAMENSTOF · E1 · CIRKELBANEN

Begrippen (2/2)

• gravitatiekracht: De aantrekkingskracht tussen twee massa's: Fg = G·m·M/r², in N.

• gravitatieconstante: De vaste waarde G in de formule voor Fg; op te zoeken in je informatieboek.

• valversnelling: g = G·M/r² aan het oppervlak van een planeet met massa M en straal r.

• satelliet: Een voorwerp dat in een baan om een planeet draait, zoals de maan of een weersatelliet.

• geostationaire baan: Baan met omlooptijd van één dag boven de evenaar: de satelliet staat boven hetzelfde punt.