Wiskunde week 35 les 1
Formules en grafieken
Éléments de cette leçon
Formules en grafieken
Open met de link naar voorkennis: leerlingen kennen al lineaire en kwadratische formules uit eerdere jaren. Deze les bouwt daarop voort en bereidt hen voor op zelfstandig werken.
Lesdoel
Ik kan bij een formule of tabel herkennen welk soort verband erbij hoort en daarvan de grafiek of formule bepalen.
Cet élément n'a pas d'instructions
Welke woorden passen volgens jou bij formules en grafieken?
Gebruik de reacties om voorkennis op te halen, zoals: lijn, tabel, parabool, stijgen, dalen, x, y, formule. Koppel daarna terug aan het lesdoel.
Lineair verband herkennen
Een lineair verband heeft steeds dezelfde toename of afname.
In een tabel zijn de verschillen tussen opeenvolgende waarden gelijk.
De grafiek is een rechte lijn.
De formule heeft vaak de vorm y = ax + b.
Leg uit dat a het hellingsgetal is en b het startgetal. Houd het op basisniveau: gelijke stapjes in de tabel geven een rechte lijn.
Startgetal en hellingsgetal
Startgetal: de waarde bij x = 0.
Hellingsgetal: hoeveel y verandert als x 1 groter wordt.
Bij `l = 14 - 2t` is 14 het startgetal.
Het hellingsgetal is -2: de kaars wordt per uur 2 cm korter.
Gebruik het kaarsvoorbeeld uit de voorkennis. Benadruk dat een minteken bij het hellingsgetal betekent dat de grafiek daalt.
Van formule naar tabel
Voor `l = 14 - 2t` vul je waarden van `t` in.
`t = 0` → `l = 14`
`t = 1` → `l = 12`
`t = 2` → `l = 10`
`t = 3` → `l = 8`
Zo maak je punten voor de grafiek.
Werk de eerste twee invullingen hardop voor. Laat zien dat tabel en grafiek dezelfde informatie geven.
Van grafiek naar formule
Lees eerst twee dingen af:
het startgetal bij `x = 0`
het hellingsgetal: hoeveel omhoog of omlaag per stap
Daarna schrijf je de formule als:
`y = hellingsgetal · x + startgetal`
Gebruik eventueel de kaarsgrafiek: beginlengte 12 en per uur 1,5 cm korter geeft `l = 12 - 1,5t`.
Horizontale en verticale lijnen
Een horizontale lijn heeft steeds dezelfde y-waarde.
De formule is dan bijvoorbeeld y = 4.
Een verticale lijn heeft steeds dezelfde x-waarde.
De formule is dan bijvoorbeeld x = 3.
Een verticale lijn is geen grafiek van een gewone formule `y = ...`.
Dit is vaak nieuw of verwarrend. Leg rustig het verschil uit tussen 'y blijft gelijk' en 'x blijft gelijk'.
Welke formule hoort bij een horizontale lijn?
x = 4
y = 4
y = 4x
x = y
Check of leerlingen horizontaal koppelen aan gelijke y-waarde. x = 4 is juist een verticale lijn.
Maak de zinnen compleet
Bij een lineair verband is de grafiek een rechte lijn. Het startgetal is de waarde bij x = 0. Het hellingsgetal geeft aan hoeveel y per stap verandert.
Deze invulling herhaalt de kern van lineair verband herkennen en de betekenis van startgetal en hellingsgetal.
Kwadratisch verband herkennen
Een kwadratische formule bevat meestal x².
Voorbeeld: `y = 2x² - 3` of `y = (x - 2)²`.
De grafiek heet een parabool.
In een tabel zijn de toenamen niet gelijk.
Het verschil van de toenamen is wel gelijk.
Verbind dit met de voorkennis uit de tabel met toenamen. Dat is een herkenningspunt voor leerlingen die nog niet zeker zijn met formules.
Bergparabool en dalparabool
Een dalparabool opent omhoog.
Een bergparabool opent omlaag.
Bij een positieve coefficient van `x²` krijg je meestal een dalparabool.
Bij een negatieve coefficient van `x²` krijg je meestal een bergparabool.
Noem desnoods alleen 'positief voor x² = dal, negatief voor x² = berg'. Dat is voor deze doelgroep de kern.
Top en symmetrieas
De top is het hoogste of laagste punt van een parabool.
De symmetrieas is de verticale lijn door de top.
Bij `y = x²` ligt de top in (0, 0).
De symmetrieas is dan x = 0.
Bij `y = (x - 2)²` ligt de top in (2, 0) en is de symmetrieas x = 2.
Koppel de vorm `(x - a)²` direct aan top `(a, 0)` als basisregel. Dat helpt leerlingen snel grafieken te lezen.
Negatieve getallen invullen
Bij kwadratische formules zijn haakjes belangrijk.
`(-3)² = 9`
`-3² = -9`
Dus bij `x = -3` in `y = x²` schrijf je:
`y = (-3)² = 9`
Dit is een bekende foutbron. Besteed hier expliciet aandacht aan voordat leerlingen zelfstandig gaan rekenen.
Welke grafiek hoort bij een negatieve coëfficiënt van x²?
rechte lijn
bergparabool
dalparabool
verticale lijn
Veel leerlingen verwarren berg- en dalparabool. Leg nogmaals: positief x² = dal, negatief x² = berg.
Vul de juiste woorden in
Een kwadratische formule bevat meestal x². De grafiek heet een parabool. De top is het hoogste of laagste punt. Bij x = -3 in y = x² schrijf je (-3)² = 9.
Laat vooral bij de laatste leegte controleren of leerlingen de haakjes goed gebruiken.
Derdemachtsformules
Een derdemachtsformule bevat x³.
Voorbeelden: `y = x³` en `y = -2x³`.
Je herkent het verband aan de macht 3.
De uitkomst kan positief of negatief zijn.
Voorbeeld: `(-2)³ = -8`.
Laat verschil zien tussen kwadraat en derdemacht: bij een oneven macht blijft een negatief getal negatief.
Grafiek van x³
De grafiek van `y = x³` is geen rechte lijn en geen parabool.
De grafiek gaat door (0, 0).
Links van 0 zijn de y-waarden negatief.
Rechts van 0 zijn de y-waarden positief.
De grafiek buigt in een S-vorm.
Gebruik enkele punten: `(-2,-8)`, `(-1,-1)`, `(0,0)`, `(1,1)`, `(2,8)` om de vorm te laten zien.
Omgekeerd evenredig verband
Bij een omgekeerd evenredig verband geldt: als de ene grootheid groter wordt, wordt de andere kleiner.
De formule heeft de vorm y = a / x.
Voorbeelden: `y = 12 / x` of `y = 20 / x`.
Het product van x en y blijft gelijk.
Houd het eenvoudig: 'meer van het ene betekent minder van het andere'. Als passend voorbeeld kun je noemen: meer personen betekent minder werk per persoon.
Tabel bij omgekeerd evenredig
Voor `y = 12 / x`:
`x = 1` → `y = 12`
`x = 2` → `y = 6`
`x = 3` → `y = 4`
`x = 4` → `y = 3`
`x = 6` → `y = 2`
Je ziet: grotere x geeft kleinere y.
Laat leerlingen zien dat het product steeds 12 is. Dat is vaak het snelste controlemiddel.
Grafiek van omgekeerd evenredig
De grafiek is een kromme.
De grafiek raakt de assen niet.
Bij positieve waarden ligt de grafiek in het rechterdeel boven de x-as.
Het is geen rechte lijn en geen parabool.
Gebruik de term hyperbool alleen als je wilt verrijken; de kern is dat leerlingen de vorm herkennen.
Wat is waar voor y = x³?
altijd positief
paraboolvorm
S-vorm
zelfde y-waarde
Distractors sluiten aan bij andere verbanden uit de les: parabool bij kwadratisch, dezelfde y-waarde bij horizontale lijn.
Maak het verband compleet
Bij een omgekeerd evenredig verband heeft de formule vaak de vorm a / x. Als x groter wordt, wordt y kleiner. De grafiek is een kromme en raakt de assen niet.
Benadruk dat leerlingen het verband herkennen aan de vorm van de formule én aan het gedrag van de tabel.
Begeleide inoefening 1
Gegeven: `t = 5m + 18`
Startgetal: 18
Hellingsgetal: 5
Bij `m = 0` is `t = 18`
Bij `m = 1` is `t = 23`
Bij `m = 2` is `t = 28`
Dit hoort bij een lineair verband.
Laat leerlingen meeschrijven hoe je stap voor stap invult. Benoem expliciet waarom dit lineair is: gelijke toename van 5.
Begeleide inoefening 2
Gegeven: `y = x² - 3`
Bij `x = -2`: `y = (-2)² - 3 = 1`
Bij `x = 0`: `y = -3`
Bij `x = 2`: `y = 1`
De grafiek is een dalparabool.
De top ligt in (0, -3).
Laat zien dat de waarden links en rechts van de symmetrieas gelijk zijn. Dat maakt de vorm van de parabool logisch.
Begeleide inoefening 3
Gegeven: `y = (x - 2)²`
Bij `x = 2`: `y = 0`
Bij `x = 1`: `y = 1`
Bij `x = 3`: `y = 1`
De top ligt in (2, 0).
De symmetrieas is x = 2.
Benadruk dat de 2 in `(x - 2)` de parabool 2 plaatsen naar rechts schuift.
Begeleide inoefening 4
Gegeven: `y = x³`
Bij `x = -2`: `y = -8`
Bij `x = -1`: `y = -1`
Bij `x = 1`: `y = 1`
Bij `x = 2`: `y = 8`
Dit is een derdemachtsformule.
Als leerlingen twijfelen, laat ze echt de machtsberekening uitvoeren. Vergelijk eventueel kort met `x²`.
Begeleide inoefening 5
Gegeven: `y = 12 / x`
Bij `x = 2`: `y = 6`
Bij `x = 3`: `y = 4`
Bij `x = 6`: `y = 2`
Grotere x → kleinere y
Dit is een omgekeerd evenredig verband.
Noem dat `x = 0` niet kan, omdat delen door 0 niet mag.
Zo kies je de juiste aanpak
Zie je gelijke toename? → lineair
Zie je x² of gelijke 2e verschillen? → kwadratisch
Zie je x³? → derdemacht
Zie je a / x? → omgekeerd evenredig
Kijk daarna of je een tabel, formule of grafiek moet maken.
Deze slide is de brug naar zelfstandig werken. Gebruik hem als beslisschema voordat leerlingen aan hun verwerking beginnen.
Welk kenmerk past bij een lineair verband?
gelijke toename
x² in formule
a / x
S-vorm
Deze vraag sluit aan op het beslisschema op slide 21 en helpt bij de overstap naar zelfstandig werken.
Welk soort verband vind jij nu het duidelijkst?
lineair
kwadratisch
derdemacht
omgekeerd evenredig
Cet élément n'a pas d'instructions
Wat is één ding dat je vandaag beter begrijpt?
Laat leerlingen kort benoemen wat is blijven hangen, bijvoorbeeld: lineair herkennen, top vinden, verschil tussen x² en x³, of omgekeerd evenredig herkennen.
Welk onderdeel vond je nog lastig?
Mogelijke antwoorden: negatieve getallen invullen bij x², verschil tussen verbanden herkennen, formule uit grafiek halen, top en symmetrieas bepalen. Gebruik dit om te beslissen wie nog extra steun nodig heeft.
Belangrijke woorden
lineair verband - verband met gelijke toename of afname
startgetal - de waarde van y bij x = 0
hellingsgetal - de verandering van y als x 1 groter wordt
grafiek - tekening van een verband in een assenstelsel
kwadratische formule - formule met x²
parabool - grafiek van een kwadratische formule
symmetrieas - lijn die een parabool in twee gelijke helften verdeelt
Cet élément n'a pas d'instructions
Belangrijke woorden
top - hoogste of laagste punt van een parabool
dalparabool - parabool met een laagste punt
bergparabool - parabool met een hoogste punt
derdemachtsformule - formule met x³
omgekeerd evenredig verband - verband met een formule van de vorm a / x
horizontale lijn - lijn met steeds dezelfde y-waarde
verticale lijn - lijn met steeds dezelfde x-waarde
Cet élément n'a pas d'instructions
