Afgeleide functies (Wiskunde B havo), les 2: Examentraining

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introduction

Examentraining afgeleide functies voor havo wiskunde B: vier vraagtypen (verandering in een context, afgeleide bepalen, kettingregel, grafiek en hellinggrafiek) met acht vragen in examenstijl, een stappenplan en tips.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Examentraining

Afgeleide functies: zo pak je examenvragen aan

Les 2 van 3. Laat leerlingen in tweetallen overleggen bij de open vragen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Wat ga je kunnen?

Ik kan examenvragen over hellingen en afgeleiden herkennen en stap voor stap uitwerken.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Zo pak je een examenvraag aan

• 1. Lees het werkwoord: bereken, toon aan, exact? Bij exact of algebraïsch geen GR-optie.

• 2. Herschrijf: wortels en breuken als macht van x; (ax + b)ⁿ laat je staan.

• 3. Differentieer per term en noteer f′(x) = ...

• 4. Vul in en controleer zo mogelijk met de GR.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Vraagtype 1: verandering in een context

• Gemiddelde verandering op een interval: het differentiequotiënt Δy/Δx.

• Verandering op één moment: de afgeleide in dat punt.

• Zet de eenheid erbij: hoogte in m en tijd in s geeft m/s.

In examens staat de afgeleide vaak in een context: snelheid, groeisnelheid, kosten per stuk. Laat leerlingen bij elke vraag eerst zeggen: gemiddeld (interval) of op één moment (punt)?

Hiernaast de hoogte h van een bal (in m) na t seconden. Bereken de gemiddelde snelheid op [0, 2] in m/s.

h(0) = 1 en h(2) = −4,9 · 4 + 40 + 1 = 21,4. Δh/Δt = (21,4 − 1)/2 = 10,2 m/s. Verwachte fout: alleen h(2) uitrekenen (21,4) of niet delen door 2.

Dezelfde bal. Hoe snel stijgt de bal op het moment t = 1,5?

A

5,3 m/s

B

14,7 m/s

C

10,2 m/s

D

20,0 m/s

h′(t) = −9,8t + 20, dus h′(1,5) = −14,7 + 20 = 5,3 m/s. 14,7 is alleen −9,8 · 1,5 zonder teken; 10,2 is de gemiddelde snelheid op [0, 2] uit de vorige vraag; 20,0 m is ongeveer de hoogte h(1,5) = 19,975, geen snelheid.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Vraagtype 2: de afgeleide bepalen

• Herschrijf eerst, differentieer dan per term.

• Schrijf de tussenstap met machten op: zo blijkt welke regel je gebruikt.

Laat de tussenstap met machten altijd opschrijven: daar zitten de punten bij een vraag als 'bepaal de afgeleide'.

Gegeven is f(x) = 3x⁴ − 2x + 7. Bereken f′(1).

f′(x) = 12x³ − 2, dus f′(1) = 12 − 2 = 10. Verwachte fouten: f(1) = 8 uitrekenen in plaats van f′(1), of de 7 laten staan (f′(1) = 17).

Wat is de afgeleide van f(x) = 1/x³?

A

f′(x) = −3/x²

B

f′(x) = 3/x⁴

C

f′(x) = 1/(3x²)

D

f′(x) = −3/x⁴

1/x³ = x⁻³, dus f′(x) = −3x⁻⁴ = −3/x⁴. −3/x² rekent −3 − 1 als −2; 3/x⁴ vergeet het minteken; 1/(3x²) differentieert alleen de noemer en zet hem eronder.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Vraagtype 3: kettingregel

• Herken de vorm (ax + b)ⁿ, ook in een wortel.

• Vergeet de factor a niet.

Bij een wortel eerst herschrijven tot exponent ½. Op havo wiskunde B is de binnenste functie altijd lineair.

Wat is de afgeleide van f(x) = (1 − 2x)⁵?

A

f′(x) = 5(1 − 2x)⁴

B

f′(x) = −10(1 − 2x)⁴

C

f′(x) = 10(1 − 2x)⁴

D

f′(x) = −10x(1 − 2x)⁴

5(1 − 2x)⁴ · −2 = −10(1 − 2x)⁴. 5(1 − 2x)⁴ vergeet de kettingregel; 10(1 − 2x)⁴ vergeet het minteken van −2x; −10x(1 − 2x)⁴ vermenigvuldigt met −2x in plaats van met −2.

Gegeven is f(x) = √(2x + 5). Bereken f′(2) exact.

f(x) = (2x + 5) tot de macht ½, dus f′(x) = ½ · (2x + 5) tot de macht −½ · 2 = 1/√(2x + 5). f′(2) = 1/√9 = 1/3. Exact betekent: geen afgerond antwoord als 0,33 en geen dy/dx van de GR. Verwachte fout: de factor 2 vergeten, dan krijg je 1/6.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Vraagtype 4: grafiek en hellinggrafiek

• Lees bij een grafiek van f af waar hij stijgt en daalt: daar is f′ positief of negatief.

• Lees bij een grafiek van f′ de tekenwisselingen af: daar heeft f een top of dal.

• Let op: de hoogte van f′ zegt iets over de steilheid van f, niet over de hoogte.

Teken bij twijfel een tekenschema van f′ onder de grafiek: + of − per interval.

Hieronder de grafiek van f. Op welk interval is f′(x) negatief?

A

1 < x < 3

B

x < 1 of x > 3

C

0 < x < 4

D

x > 3

f daalt tussen de top bij x = 1 en het dal bij x = 3, dus daar is f′(x) negatief. Ter controle: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 en f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Wie x < 1 of x > 3 kiest, verwisselt stijgen en dalen; 0 < x < 4 kijkt naar waar f laag is. Image credit: Eigen figuur

Hieronder de grafiek van f′. Welke uitspraak over f klopt?

A

f heeft een top bij x = 3

B

f heeft een dal bij x = 1

C

f heeft een dal bij x = 3

D

f daalt voor x > 3

f′ gaat bij x = 3 van negatief naar positief, dus f heeft daar een dal (bij x = −1 een top). x = 1 is het laagste punt van f′: daar daalt f het steilst, maar het is geen dal van f. Voor x > 3 is f′ positief, dus f stijgt. Image credit: Eigen figuur

Welk vraagtype vind jij het lastigst?

1

Verandering in een context

2

De afgeleide bepalen

3

Kettingregel

4

Grafiek en hellinggrafiek

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Tips voor op het examen

• Schrijf bij een differentiequotiënt het interval en de berekening op.

• Herschrijf wortels en breuken als macht van x voordat je differentieert.

• Kettingregel: vergeet de factor voor x binnen de haakjes niet.

• Bij exact: geen afgeronde tussenantwoorden en geen dy/dx van de GR.