Tweede graads vergelijking oplossen
Kwadraatafsplitsing bij vergelijkingen
Onderdelen in deze les
Kwadraatafsplitsing bij vergelijkingen
Open met het idee dat niet elke tweedegraadsvergelijking direct te ontbinden is. Deze les laat een algemene methode zien die werkt door een kwadraat herkenbaar te maken.
Lesdoel
Ik kan een tweedegraadsvergelijking oplossen met kwadraatafsplitsing.
Deze slide heeft geen instructies
Welke woorden passen bij kwadraatafsplitsing?
Gebruik dit als voorkennisactivatie. Verwachte woorden: kwadraat, vergelijking, wortel, parabool, x^2, oplossen, helft, coefficient.
Wat is kwadraatafsplitsing?
Bij kwadraatafsplitsing herschrijf je een uitdrukking zo dat er een volledig kwadraat ontstaat.
Voorbeeld:
`x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2`
Dat is handig, omdat een vergelijking met `(x + a)^2` vaak eenvoudiger op te lossen is.
Benadruk dat het doel niet herleiden om het herleiden is, maar een vorm maken waarin de wortelregel gebruikt kan worden.
Het patroon van een volledig kwadraat
Een volledig kwadraat heeft de vorm:
`(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2`
of
`(x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2`
De middelste term bepaalt welke waarde van `p` nodig is.
Laat zien dat de helft van de coefficient bij x daarna in het kwadraat terugkomt. Dat is de kern van de methode.
De hoofdgedachte
Bij een vergelijking van de vorm `x^2 + bx + c = 0` kijk je eerst naar `x^2 + bx`.
neem de helft van `b`
kwadrateer die helft
voeg dat getal toe om een volledig kwadraat te krijgen
Zo verander je de vergelijking in een vorm met een kwadraat.
Noem nog niet alle formele stappen tegelijk; houd het hier conceptueel. De concrete volgorde komt op de volgende slide.
Stappenplan
Zorg dat de coefficient van `x^2` gelijk is aan `1`.
Zet de constante term naar de andere kant.
Neem de helft van de coefficient van `x`.
Kwadrateer die helft en tel die aan beide kanten op.
Schrijf de linkerkant als een kwadraat.
Trek de wortel en los verder op.
Als de coefficient van x² niet 1 is, moet eerst gedeeld worden. In deze les kan dat kort genoemd worden; het uitgewerkte voorbeeld kan beginnen met coefficient 1.
Welk getal voeg je toe bij x^2 + 6x om een volledig kwadraat te krijgen?
3
6
9
12
De helft van 6 is 3, en 3^2 = 9. Veelgemaakte fout: alleen halveren en niet kwadrateren.
Vul de stappen aan
Bij kwadraatafsplitsing zorg je eerst dat de coefficient van x^2 gelijk is aan . Daarna zet je de term naar de andere kant. Vervolgens neem je de helft van de coefficient van x en je die helft. Zo ontstaat een kwadraat.
Correcte invulling: 1, constante, kwadrateer, volledig.
Voorbeeld: begin van de oplossing
Los op:
`x^2 + 6x - 7 = 0`
Zet eerst de constante term apart:
`x^2 + 6x = 7`
Nu kun je van de linkerkant een volledig kwadraat maken.
Kies dit voorbeeld omdat de getallen netjes uitkomen en beide oplossingen geheel zijn.
Voorbeeld: maak het kwadraat af
De coefficient van `x` is `6`.
de helft van `6` is `3`
`3^2 = 9`
Tel `9` aan beide kanten op:
`x^2 + 6x + 9 = 7 + 9`
Dus:
`(x + 3)^2 = 16`
Leg expliciet uit waarom je aan beide kanten hetzelfde optelt: dan blijft de vergelijking gelijkwaardig.
Voorbeeld: werk de oplossing af
Nu los je op vanuit het kwadraat:
`(x + 3)^2 = 16`
Dus:
`x + 3 = 4` of `x + 3 = -4`
Daaruit volgt:
`x = 1` of `x = -7`
Benadruk dat bij worteltrekken altijd twee mogelijkheden horen, positief en negatief, zolang de rechterkant positief is.
Waarom zijn er vaak twee oplossingen?
Een kwadraatvergelijking hoort bij een parabool.
Als de parabool de `x`-as in twee punten snijdt, heeft de vergelijking twee oplossingen.
Bij `(x + 3)^2 = 16` horen twee waarden, omdat zowel `4` als `-4` na kwadrateren `16` geven.
Koppel de algebra aan het grafische beeld, maar houd het kort: dit is ondersteuning van begrip, geen volledige grafische oplossingsmethode.
Waarom krijg je uit (x + 3)^2 = 16 twee mogelijkheden?
Omdat 16 even is
Omdat 4 en -4 passen
Omdat x positief is
Omdat 3 ook wortelt
Benadruk dat zowel 4 als -4 bij kwadrateren 16 geven.
Waarom tel je bij x^2 + 6x = 7 aan beide kanten 9 op?
Verwachte elementen: je zet eerst de constante term apart, neemt de helft van 6, kwadrateert die tot 9, telt 9 aan beide kanten op en schrijft daarna de linkerkant als (x+3)^2.
Als de coefficient van x² niet 1 is
Voorbeeld:
`2x^2 + 8x - 10 = 0`
Deel eerst alles door `2`:
`x^2 + 4x - 5 = 0`
Daarna gebruik je hetzelfde stappenplan:
`x^2 + 4x = 5`
Laat zien dat kwadraatafsplitsing het makkelijkst werkt als de coefficient van x² gelijk is aan 1.
Voorbeeld met coefficient 1 vervolgd
Ga verder met:
`x^2 + 4x = 5`
helft van `4` is `2`
`2^2 = 4`
Tel `4` aan beide kanten op:
`x^2 + 4x + 4 = 9`
Dus:
`(x + 2)^2 = 9`
Deze slide heeft geen instructies
Tweede voorbeeld afgerond
Los nu verder op:
`(x + 2)^2 = 9`
`x + 2 = 3` of `x + 2 = -3`
Dus:
`x = 1` of `x = -5`
Dat zijn ook de oplossingen van `2x^2 + 8x - 10 = 0`.
Noem eventueel dat je de oplossingen altijd kunt controleren door invullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Wat doe je eerst bij 2x^2 + 8x - 10 = 0?
Worteltrekken
9 optellen
Door 2 delen
x naar rechts
De methode werkt het handigst als de coefficient van x^2 gelijk is aan 1.
Maak het voorbeeld af
Bij 2x^2 + 8x - 10 = 0 deel je eerst alles door . Dan krijg je x^2 + 4x - 5 = 0. Daarna zet je de constante term apart: x^2 + 4x = . De helft van 4 is 2, en 2^2 = . Zo krijg je (x + 2)^2 = .
Correcte invulling: 2, 5, 4, 9.
Een geval met één oplossing
Voorbeeld:
`x^2 - 6x + 9 = 0`
Dan geldt:
`(x - 3)^2 = 0`
Dus alleen:
`x - 3 = 0`
`x = 3`
Leg uit dat twee gelijke oplossingen samen één oplossing vormen. Grafisch raakt de parabool dan de x-as in één punt.
Een geval zonder reële oplossing
Voorbeeld:
`x^2 + 4x + 8 = 0`
`x^2 + 4x = -8`
Tel `4` op aan beide kanten:
`(x + 2)^2 = -4`
Een kwadraat kan in de reële getallen niet negatief zijn.
Dus deze vergelijking heeft geen reële oplossing.
Gebruik dit als belangrijk tegenvoorbeeld: kwadraatafsplitsing levert niet altijd twee oplossingen op.
Veelgemaakte fouten
de helft van `b` vergeten te kwadrateren
het getal maar aan één kant optellen
`(x + 3)^2 = 16` alleen oplossen met `x + 3 = 4`
te vroeg worteltrekken
terugrekenen zonder haakjes zorgvuldig te gebruiken
Besteed aandacht aan de derde fout; die komt het vaakst voor en leidt direct tot een gemiste oplossing.
Samenvatting van de methode
Kwadraatafsplitsing werkt via deze lijn:
`x^2 + bx + c = 0`
`x^2 + bx = -c`
`x^2 + bx + (b/2)^2 = -c + (b/2)^2`
`(x + b/2)^2 = -c + (b/2)^2`
Daarna los je op met worteltrekken.
Dit is de generalisatie van de eerdere voorbeelden. Houd de notatie rustig en koppel elk symbool aan wat leerlingen al hebben gedaan.
Wat betekent (x + 2)^2 = -4 in de reële getallen?
Twee oplossingen
Één oplossing
Geen oplossing
Oneindig veel
Een kwadraat kan in de reële getallen niet negatief zijn.
Samenvatting van de methode
Vanuit x^2 + bx + c = 0 krijg je eerst x^2 + bx = . Daarna tel je aan beide kanten op. Dan ontstaat = -c + (b/2)^2. Daarna kun je verder met .
Correcte invulling: -c, (b/2)^2, (x + b/2)^2, worteltrekken.
Welke fout wil jij bij kwadraatafsplitsing zeker vermijden?
Bespreek fouten zoals: helft van b niet kwadrateren, maar aan één kant optellen, de negatieve wortel vergeten, of te vroeg worteltrekken.
Wat hielp jou het meest om deze methode te begrijpen?
Laat leerlingen benoemen wat hielp: stappenplan, voorbeelden, patroon van volledig kwadraat, of de koppeling met de parabool.
Eén woord: wat onthoud jij van deze les?
Gebruik de uitkomsten als korte afronding. Verwachte woorden: helft, kwadraat, wortel, twee oplossingen, volledig kwadraat.
Begrippen
tweedegraadsvergelijking - vergelijking waarin `x^2` de hoogste macht van `x` is
kwadraatafsplitsing - methode waarbij je een uitdrukking herschrijft tot een volledig kwadraat
volledig kwadraat - uitdrukking van de vorm `(x + p)^2` of `(x - p)^2`
coefficient - getal dat voor een letter staat, zoals `6` in `6x`
constante term - term zonder letter, zoals `-7` in `x^2 + 6x - 7`
reële oplossing - oplossing die een gewoon getal op de getallenlijn is
worteltrekken - de stap waarbij je van `a^2 = b` naar `a = √b` of `a = -√b` gaat
Als leerlingen 'volledig kwadraat' nieuw vinden, koppel het terug aan de patronen `(x+p)^2` en `(x-p)^2`.
