Breuken optellen, aftrekken en vereenvoudigen (1K woensdag)

• newEditor
• Rekenen
• ISK

Niet door les heen praten

Wat gaan we doen vandaag?

1. Huiswerk (reminder)

2. Vragen over het huiswerk?

3. Rekenen met breuken.

4. Afsluiten 

Huiswerk voor de komende week:

Groep 1:

Werkboek 1F tot en met vraag 13

Groep 2:

Math for all => Wiskunde MBO =>

3 Algebra 1 => 3.1 tot en met vraag 7

Groep 2:

Math for all => Wiskunde MBO =>

2 Breuken => 2.1 tot en met vraag 9

Vragen over het huiswerk?

Rekenen met breuken

De les opent breed: eerst herkenning oproepen dat breuken verschillende noemers kunnen hebben, maar toch dezelfde waarde kunnen voorstellen.

Leerdoel

Ik kan breuken met verschillende noemers gelijknamig maken, breuken optellen en aftrekken met gelijknamige breuken en breuken vereenvoudigen tot de eenvoudigste vorm.

Welke breuk kun je maken?

A

1/3

B

3/10

C

1/4

D

5/10

Welke breuk kun je maken?

A

7/10

B

3/10

C

1/2

D

5/10

Gelijknamig maken

• Breuken zijn gelijknamig als de noemers hetzelfde zijn

• Dan kun je breuken makkelijker vergelijken, optellen en aftrekken

• Voorbeeld: `1/3` en `2/3` zijn al gelijknamig

• `1/2` en `1/4` zijn dat nog niet

Benadruk het woord noemer consequent. Veel leerlingen kijken eerst naar de teller; hier moet de aandacht naar de noemer.

Een gemeenschappelijke noemer vinden

• Zoek een getal dat een veelvoud is van beide noemers

• Dat getal gebruik je als gemeenschappelijke noemer

• Bij `1/2` en `1/4` kan dat `4` zijn

• Bij `1/3` en `1/6` kan dat `6` zijn

• Vaak kies je de kleinste passende noemer

Noem desgewenst dat de kleinste gemeenschappelijke noemer handig is, maar dat elke gemeenschappelijke noemer in principe werkt.

De waarde blijft gelijk

Als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt, verandert de waarde van de breuk niet.

`1/2 = 2/4 = 3/6`

Je maakt de stukken alleen kleiner, maar het geheel blijft even groot.

Leg de betekenis uit met een pizza of reep chocolade: twee helften is evenveel als vier kwarten.

De waarde blijft gelijk

Als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt, verandert de waarde van de breuk niet.

Leg de betekenis uit met een pizza of reep chocolade: twee helften is evenveel als vier kwarten.

Voorbeeld van gelijknamig maken

• Maak `1/2` en `1/4` gelijknamig

• Gemeenschappelijke noemer: `4`

• `1/2 = 2/4`

• `1/4` blijft `1/4`

• Nu kun je beide breuken samen gebruiken

Werk het voorbeeld hardop stap voor stap uit: wat moet er met de noemer gebeuren, en dus ook met de teller?

Gelijknamig maken

Je maakt de noemer gelijk, zodat je kunt optellen

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$$

Leg de betekenis uit met een pizza of reep chocolade: twee helften is evenveel als vier kwarten.

De waarde blijft gelijk

Als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt, verandert de waarde van de breuk niet.

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+$$

Leg de betekenis uit met een pizza of reep chocolade: twee helften is evenveel als vier kwarten.

De waarde blijft gelijk

Als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt, verandert de waarde van de breuk niet.

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{1+3}{6}=$$

Leg de betekenis uit met een pizza of reep chocolade: twee helften is evenveel als vier kwarten.

Welke noemer kan bij 1/2 en 1/4 als gemeenschappelijke noemer?

A

8

B

4

C

2

D

3

De juiste keuze is 4, omdat 4 een veelvoud is van 2 en van 4. Optie 2 is een veelgemaakte fout: leerlingen kiezen dan één van de bestaande noemers zonder te controleren of beide breuken daarop passen.

Gelijknamig maken

Bij gelijknamig maken zoek je eerst een gemeenschappelijke noemer. Daarna verander je de breuk zonder de waarde te veranderen. Dat doe je door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen.

gemeenschappelijke noemer

waarde

getal

teller

som

verschil

stuk

noemer

Alle drie de invulwoorden komen letterlijk uit het eerste lesblok en testen of leerlingen het proces en het behoud van waarde begrijpen.

Optellen met gelijknamige breuken

• Tel de tellers bij elkaar op

• De noemer blijft hetzelfde

• Voorbeeld: `2/7 + 3/7 = 5/7`

• Je telt stukken van dezelfde grootte op

Laat leerlingen verwoorden waarom de noemer niet verandert: de grootte van de stukken blijft gelijk.

Aftrekken met gelijknamige breuken

• Trek de tellers van elkaar af

• De noemer blijft hetzelfde

• Voorbeeld: `5/8 - 2/8 = 3/8`

• Je houdt een aantal stukken van dezelfde grootte over

Wanneer moet je eerst gelijknamig maken?

• Kijk eerst naar de noemers

• Zijn de noemers gelijk? Dan kun je direct rekenen

• Zijn de noemers verschillend? Maak de breuken eerst gelijknamig

• Voorbeeld: `1/3 + 1/6` kan niet meteen

Een veelgemaakte fout is tellers en noemers allebei optellen. Benoem dat dit niet mag bij ongelijke noemers.

Voorbeeld: eerst gelijknamig maken

`1/3 + 1/6`

`1/3 = 2/6`

`2/6 + 1/6 = 3/6`

Daarna kun je de uitkomst nog vereenvoudigen.

Gebruik dit voorbeeld als brug naar het volgende deel van de les: een antwoord is soms nog niet in de eenvoudigste vorm.

Wat doe je eerst bij 1/3 + 1/6?

A

Noemers optellen

B

Tellers aftrekken

C

Gelijknamig maken

D

Direct vereenvoudigen

Deze vraag checkt of leerlingen herkennen wanneer direct rekenen niet kan. De foutoptie 'noemers optellen' sluit aan bij de benoemde misconceptie.

Optellen en aftrekken

Bij gelijknamige breuken tel of trek je de tellers van elkaar. De noemer blijft hetzelfde, omdat de stukken even groot blijven. Zijn de noemers verschillend, dan moet je eerst gelijknamig maken.

tellers

noemer

gelijknamig maken

breuken

uitkomst

vereenvoudigen

delen

Laat leerlingen na afloop verwoorden waarom de noemer hetzelfde blijft: de grootte van de stukken verandert niet.

Hoe zie je snel of je eerst gelijknamig moet maken?

Bespreek dat leerlingen moeten letten op de noemers: gelijk = direct rekenen, verschillend = eerst gelijknamig maken. Eventueel mogen ze een kort voorbeeld noemen, zoals 2/5 + 1/5 of 1/2 + 1/3.

Breuken vereenvoudigen

• Vereenvoudigen is een breuk kleiner opschrijven met dezelfde waarde

• Deel teller en noemer door hetzelfde getal

• De breuk blijft dan evenveel voorstellen

• Je zoekt een gelijkwaardige breuk in simpelere vorm

Koppel terug aan gelijkwaardige breuken: vereenvoudigen is eigenlijk de omgekeerde beweging van uitbreiden.

Eenvoudige voorbeelden

• `2/4 = 1/2` omdat je beide deelt door `2`

• `6/8 = 3/4` omdat je beide deelt door `2`

• Controleer steeds: deel je teller en noemer door hetzelfde getal?

De grootste gemene deler

• Soms kun je in één keer vereenvoudigen

• Gebruik dan de grootste gemene deler van teller en noemer

• Bij `6/8` is dat `2`

• Bij `12/18` is dat `6`

• Zo kom je sneller in de eenvoudigste vorm

Houd het functioneel: de grootste gemene deler is hier een hulpmiddel om direct volledig te vereenvoudigen, geen doel op zich.

De eenvoudigste vorm

Een breuk staat in de eenvoudigste vorm als teller en noemer niet meer samen door hetzelfde getal groter dan `1` deelbaar zijn.

Voorbeelden: `1/2` en `3/4` zijn al in de eenvoudigste vorm.

Laat eventueel zien dat 3 en 4 geen gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben.

Van som naar eenvoudigste vorm

• Reken eerst de breuken uit

• Vereenvoudig daarna de uitkomst als dat kan

• Voorbeeld: `1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2`

• Zo noteer je het eindantwoord zo eenvoudig mogelijk

Benadruk de volgorde: eerst gelijknamig maken en rekenen, daarna vereenvoudigen.

Welke breuk staat al in de eenvoudigste vorm?

A

4/6

B

3/4

C

2/8

D

6/9

3/4 is al eenvoudigst, omdat teller en noemer geen gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben.

Vereenvoudigen

Bij vereenvoudigen deel je de teller en de noemer door hetzelfde getal. Met de grootste gemene deler kun je soms in één stap de eenvoudigste vorm vinden.

teller

noemer

gemene deler

som

veelvoud

uitkomst

breuk

Deze invuloefening sluit aan op slides 10-14: omgekeerde beweging van uitbreiden, en de rol van de grootste gemene deler als hulpmiddel.

Wat vond je vandaag het lastigst?

1

Gelijknamig maken

2

Optellen

3

Aftrekken

4

Vereenvoudigen

Wat is één ding dat jij nu beter kunt met breuken?

Laat leerlingen kort terugblikken op hun eigen leerproces. Mogelijke antwoorden: noemers vergelijken, eerst gelijknamig maken, daarna vereenvoudigen, of het gebruik van de grootste gemene deler.

Welke stap hielp jou het meest in deze les?

Stimuleer metacognitie: leerlingen kunnen noemen dat voorbeelden, stap-voor-stap rekenen, of het kijken naar de noemer hen hielp.

Begrippen

breuk - een deel van een geheel

teller - het bovenste getal van een breuk

noemer - het onderste getal van een breuk

gelijknamige breuken - breuken met dezelfde noemer

gemeenschappelijke noemer - een noemer die bij meerdere breuken past

vereenvoudigen - teller en noemer delen door hetzelfde getal

eenvoudigste vorm - de simpelste schrijfwijze van een breuk met dezelfde waarde